郑州大学2008至2009学年第一学期线性代数期末模拟试题.pdf

郑州大学郑州大学 20082008 至至 20092009 学年第一学期线性代数期末模拟试题学年第一学期线性代数期末模拟试题郑州大学软件学院郑州大学软件学院线性代数线性代数课程试题课程试题2008-20092008-2009 学年第一学期（【模拟试卷】）学年第一学期（【模拟试卷】）（适用专业：（适用专业：考试时间：）考试时间：）题号题号分数分数一一二二三三四四五五六六七七总分总分合分人：合分人：复查人：复查人：一、一、填空题：【每空填空题：【每空 2 2 分，共分，共 16 16 分】分】分数分数评卷人评卷人1 1设设 A A 为为 4 4 阶方阵且阶方阵且3 3，则，则;=48.=48.2 2设设 A A，则，则;3 3 设设 A A，B B 均为均为 n n 阶方阵，阶方阵，且且 R R（A A）2 2，R R（B B）n,n,则则 R R（ABAB）=_2_;=_2_;4 4设设 A A 为可逆方阵，为可逆方阵，k k 为实数，为实数，则则 kAkA 为可逆矩阵的充要条件是为可逆矩阵的充要条件是_k_k0_;0_;5 5实对称阵的属于不同特征值的特征向量必实对称阵的属于不同特征值的特征向量必_正交正交_;_;6 6设设 A A 与与 B B 合同，则合同，则 R R（A A）_R(B);_R(B);7 7与二次与二次 f(f(个正的特征值。个正的特征值。=对应的实对称阵有对应的实对称阵有_1_1_二、二、是非判断题：（正确打，错误打）【每是非判断题：（正确打，错误打）【每分数分数空空 2 2 分，共分，共 10 10 分】分】1 1设设的第的第 1 1、2 2、。、。9 9 列分别是列分别是评卷人评卷人的第的第 9 9、8.8.。1 1 列，且列，且 A A 与与 B B均为均为 9 9 阶方阵，则阶方阵，则（）；）；，则，则 A AB B（）；）；2 2设设 A A 与与 B B 是同阶方阵，若是同阶方阵，若3.3.任意方阵都与任意方阵都与 n n 阶对角阵相似。阶对角阵相似。（）；）；4.4.若方程组若方程组 A A=导出组导出组 A A=有无穷多解，则有无穷多解，则 A A=必有无穷多解必有无穷多解（）；）；5.5.若若 A A 与与 B B 为同阶正定阵，则为同阶正定阵，则 A A 与与 B B 必合同必合同。（）。）。三、三、【，共【，共 26 26 分】分】分数分数评卷人评卷人1.1.计算计算 D D（8 8 分）分）D D9 99 92.2.求满足方程求满足方程的矩阵的矩阵 X X（1010 分）分）9 9X X3.3.确定参数确定参数 t,t,使得矩阵使得矩阵 A A的一个特征值为的一个特征值为 1 1（8 8 分）分）=9(6-=9(6-)=0)=0t=t=四、四、（共（共 10 10 分）分）设向量组：设向量组：问问，（1 1，3 3，1 1，2 2），），分数分数评卷人评卷人（2 2，1 1，4 4，3 3），），（0 0，5 5，6 6，7 7），），（3 3，4 4，3 3，1 1）.是否线性相关？若线性相关，求其极大无关组并是否线性相关？若线性相关，求其极大无关组并将其余向量用该无关组线性表出。将其余向量用该无关组线性表出。(,)=)=，为最大无关组，为最大无关组，3 3五、五、（共（共 10 10 分）分）当当 a,ba,b 取何值时，方程组：取何值时，方程组：分数分数评卷人评卷人有解？在有解的情况下，求它的通解。有解？在有解的情况下，求它的通解。所以当所以当 a=0,b=2a=0,b=2 时方程时方程组有解。组有解。，R R）（六、六、（共（共 14 14 分）分）分数分数评卷人评卷人求一个正交线性变换求一个正交线性变换，将二次型，将二次型f(f(=2=23 33 32 2化为标准形化为标准形解：解：A A，0 04 4当当时，时，；令；令，当当4 4 时，时，T T所求正交所求正交变换为变换为f f2 2七、七、（共（共 14 14 分）分）分数分数评卷人评卷人1.1.设设 A A 为方阵，试证明：为方阵，试证明：A A 与与有相同的特征值有相同的特征值证明：证明：，所以，所以 A A 与与的特征多形式相同，的特征多形式相同，从而有相同的特征值。从而有相同的特征值。2.2.设设 n n 阶方阵阶方阵 A A 满足方程：满足方程：。试证明。试证明 A A 可逆并求可逆并求证：因为证：因为 A A（A A3E3E）2E2E 所以所以 A A（）E E故故 A A 可逆，且可逆，且