二次函数 应用题.pdf

二次函数 应用题学习要求：通过经历探索最大利润问题、拱形桥、图形面积最大值等实际问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值，提高用数学知识解决问题的能力解决此类问题的一般思维过程：将实际问题转化为数学问题（建立二次函数的模型）解决此类问题的一般思维过程：将实际问题转化为数学问题（建立二次函数的模型），然后利用二次，然后利用二次函数的知识求解，最后再回答实际问题。函数的知识求解，最后再回答实际问题。例题分析：1某玩具厂计划生产一种玩具熊，每日最高产量为 40 只，且每日生产的玩具熊全部售出，已知生产 x 只玩具熊的成本为 R（元），售价为每只 P（元），且 R、P 与 x 之间的函数关系式分别为，（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750 元？（2）当日产量为多少时，每日获得的利润最大？最大利润是多少？解：设每日产量为 只，获得利润 y 元，则即（1）当（2）因为2某旅行社有客房120 间，每间客房的日租金为50 元，每天都客满装修后欲提高租金，经调查，一间客房的日租金每增加5 元，则客房每天少租 6 间，不考虑其他因素，每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金的总收入最高？比装修前的日租金的总收入增加多少元？解：设日租金增加即当时，（元）元，则收入，x 是非负整数（x 是非负整数）时，所以当，其中，且 x 是整数，解得时，利润最大，（元）（舍），即日租金提高到75 元时，总收入最高，比装修前增加750 元【总结】：例 1、例 2 都是和利润相关的问题1、解决的步骤为：（1）将利润表示成某变量（通常是售价）的二次函数；（2）利用二次函数的最值求出利润的最大值或最小值，回答实际问题。2、注意的问题（1）熟练掌握基本关系：每件的利润=每件的售价-每件的进价；总的利润=每件的利润件数（或者总的利润=总的售价-总的进价）；（2）认真审题，如例 1 中，R（元）是总的成本，售价P（元）是每只的售价。（3）求最大值或最小值时，要注意自变量的取值范围，当顶点的横坐标在自变量的取值范围之内时，在顶点处取得最值，而当顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内时，通常在自变量的两端处取得最值，此时要画出草图辅助观察。3、有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20 米，如果水位上升 3米时，水面 CD 的宽是 10 米（1）建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救灾物质的货车从甲地经此桥到乙地，已知甲地到此桥280km（桥身忽略不计）货车正以 40km/h 的速度开往乙地，当行驶一小时时，忽然接到紧急通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点时，禁止车辆通行）问：货车以原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？分析：（1）在平面直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，需要知道抛物线上点的坐标，因此将题目中的条件转化为抛物线上点的坐标是解决问题的关键。（2）货车能否安全通过此桥，可从三个方面考虑。一、可以对货车从接到通知到到达桥的时间与水位到达最高点的时间进行比较。前者小于后者，就可以安全通过，否则，不可以。二、先求出水位到达最高点需要的时间，然后计算出按原速度行驶的总路程与甲地到此桥的路程进行比较，前者大于后者，就可以安全通过，否则，不可以。三、先求出水位到达最高点需要的时间，然后计算出按此时间到达此桥需要的速度与原速度进行比较，前者小于后者，就可以安全通过，否则，不可以。这里，给出一种方法，其余的方法请同学们自己尝试。解：如图，设 AB、CD 分别交 y 轴于 E、F，抛物线顶点为 O 点（1）设解析式为，根据题意，（5，25a），B（10，100a）则，所以，即解析式为；（2）由（1）可知，即水位距离桥顶还有 1m，所以水位达到桥拱最高点还要货车以原速行驶，可以行驶（h）；，说明不能通过此桥要想通过此桥，速度应超过（km/h）4.一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮框，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米若该运动员身高 1.8 米，球在头顶上方 0.25 米出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？分析：由于篮球运行的路线是抛物线，可建立适当的直角坐标系，并把相关的数椐写成点的坐标，再利用点的坐标及待定系数法求出运行路线的解析式 最后算出跳离地面的高度解：在直角坐标系中，点A（1.5，3.05）表示篮框，点B（0，3.5）表示球运行的最大高度，点 C 表示球员篮球出手处，其横坐标为设 C 点的纵坐标为 n，设点 C、B、A 所在的抛物线的解析式为，由于抛物线的开口向下，则点B（0，3.5）为顶点坐标，所以抛物线经过点A（1.5，3.05），解得抛物线的解析式为所以，球员跳离地面的高度为注意在解题过程中把实际语言转化为数学语言【总结】例3、例4 都是在平面直角坐标系中，通过建立抛物线的解析式来解决实际问题，解决这类问题的关键是要把相关的线段长转化为抛物线上点的坐标，确定出抛物线的解析式，然后再把问题转化为已知抛物线上点的横坐标（或纵坐标），求其纵坐标或（横坐标），再转化为线段长回答实际问题。5、用 18 米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子：（1）若横档为 2 米，面积为多少平方米？（2）若横档为 4 米，面积为多少平方米？（3）为使透进的光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米？解：（1）横档为 2 米时，长为 6 米，面积为 12 平方米（2）横档为 4 米，长为 3 米，面积为 12 平方米（3）设每条水平窗框的长为x 米，矩形窗户的面积为y 平方米则有，其中且即（）当（m）时，y 最大值为（）6如图，从一张矩形纸较短的一边上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是 AE，DE要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E 应选在何处？为什么？讨论：不妨设矩形短边长为a，AE 为 x，则 DE 为设两个正方形面积的和为y则有，即即当时，y 有最小值；即当 E 为短边的中点时，两个正方形面积的和最小【总结】例5、例 6 都是求图形面积的最值问题，通常要将图形面积（或周长）表示成某变量（通常是某线段）的二次函数，利用二次函数的最值知识解决。