常微分方程试题及答案.pdf
常微分方程模拟试题常微分方程模拟试题一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）1一阶微分方程的通解的图像是2维空间上的一族曲线2二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x),y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是3方程y 2y y 0的基本解组是4一个不可延展解的存在在区间一定是区间dy1 y2的常数解是dx二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1dy x3 y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）6方程dx5方程（A）上半平面（B）xoy 平面（C）下半平面（D）除 y 轴外的全平面7.方程dydxy 1（）奇解dy f(y)解存在且唯一的（）条件dx（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个8f(y)连续可微是保证方程（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分9二阶线性非齐次微分方程的所有解（）（A）构成一个 2 维线性空间（B）构成一个 3 维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间dy 3y3过点(0,0)有（B）10方程dx(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解三、计算题（每小题分，本题共 30 分）求下列方程的通解或通积分：2dy yln ydxdyyy1()212.dxxxdy13.y xy5dx22142xydx (x y)dy 0315y xy 2(y)四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分）216求方程y5y 5x的通解11.17求下列方程组的通解1dx y dtsintdy xdt五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分）18设f(x)在0,)上连续，且lim f(x)0，求证：方程x1dy y f(x)dx的一切解y(x)，均有lim y(x)0 x19 在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x),q(x)在(,)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(,)上的严格单调函数常微分方程模拟试题参考答案常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）122线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3e,xe4开5y 1二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）6D7C8B9C10A三、计算题（每小题分，本题共 30 分）11解解：y 1为常数解（1 分）当y 0，y 1时，分离变量取不定积分，得通积分为xxdydx C（3 分）yln yln y Cex（6 分）注注：y 1包含在常数解中，当c 0时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。513解解：方程两端同乘以y，得5dyy y4 x（1 分）dxdz45dy令y z，则 4y，代入上式，得dxdx1 dz z x（3 分）4 dx这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为z ce4x（4 分）利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为z Ce因此原方程通解为4x x 1（5 分）41 Ce4x x（6 分）4MN 2x 14解解：因为，所以原方程是全微分方程（2 分）yx取(x0,y0)(0,0)，原方程的通积分为y4x02xydx y2dy C（4 分）0y计算得x2y 13y C（6 分）315解解：原方程是克莱洛方程，通解为2y Cx 2C（6 分）四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分）16解解：对应齐次方程的特征方程为325 0，（1 分）特征根为1 0，2 5，（2 分）齐次方程的通解为y C1C2e5x（4 分）因为 0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y21(x)x(Ax Bx C)代入原方程，比较系数确定出A 13，B 15，C 225原方程的通解为y C5x1121C2e3x35x225x17解解：齐次方程的特征方程为11 21 0特征根为 i求得特征向量为1i因此齐次方程的通解为xcost sinty C1-sintC2cost令非齐次方程特解为xy Ccost sint1(t)-sintC2(t)costC1(t),C2(t)满足 costsintC1(t)1sintcostC sint2(t)0解得Ccost1(t)sint,C2(t)1积分，得C1(t)lnsint，C2(t)t通解为xy Ccost sintcostlnsint tsint1-sintC2cost-sintlnsint tcost五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分）3（6 分）（9 分）（10 分）（1 分）（2 分）（3 分）（4 分）（5 分）（6 分）（8 分）（9 分）10 分）（18证明证明：设y y(x)是方程任一解，满足y(x0)y0，该解的表达式为y(x)取极限lim y(x)limxy0exx0 xx0f(s)e(sx0)dsexx0（4 分）xy0exx0 x limx0f(s)e(sx0)dsexx0 x0,若f(s)e(sx0)ds x0=0（10 分）(xx0)f(x)e(sx)0lim 0,若f(s)eds xx0 xx0e19证明证明：设y1(x)，y2(x)是方程的基本解组，则对任意x(,)，它们朗斯基行列式在(,)上有定义，且W(x)0又由刘维尔公式W(x)W(x0)ex0p(s)dsx，x0(,)（5 分）W(x)W(x0)ep(x)由于W(x0)0，p(x)0，于是对一切x(,)，有W(x)0或W(x)0故W(x)是(,)上的严格单调函数（10 分）x0p(s)dsx4
