合肥工业大学2005年复变函数与积分变换期末考试试题A.pdf

合肥工业大学合肥工业大学 20052005 年复变函数与积分变换期末考试试题年复变函数与积分变换期末考试试题 A A合肥工业大学 2005 年复变函数与积分变换试卷一、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分。）（1）的实部是，虚部是。（2）若，则 Res=。（3）映射在处的伸缩率为；转动角为。（4）设，则=.（5）设，则=。二、选择题（本题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）（1）复变函数在点解析与在点（）等价。（A）可导（B）某邻域内可展开成幂级数（C）满足条件（D）可微（2）设（）在单连通域内解析，为内一条正向简单闭曲线，则必有（A）（B）（C）（D）（3）是的（）。（A）可去奇点（B）本性奇点（C）二级极点（D）以上全不正确（4）分式线性映射，将映射成（）。（A）（B）（C）（D）（5）如果函数半径为（）。的幂级数为，则此幂级数的收敛（A）0（B）1（C）2（D）（6）设，则（）。（A）1（B）（C）（D）三、（9 分）设。，求的值使 为调和函数，并求出解析函数四、计算下列积分（本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分。）（1）沿从原点到的直线段，计算积分。（2），其中为正向。（3），其中为正向。（4），其中，正向圆周。（5）求五、（5 分）求级数的收敛半径，并讨论和 2 时级数的敛散性。六、（10 分）将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数。（1）；（2）；（3）。七、（9 分）应用拉氏变换解满足初始条件的微分方程八、（4 分）设函数中在区域内解析，且满足条件在内恒为常数。，其是不全为零的常数，证明合肥工业大学 2005 年复变函数与积分变换试题解答一、（1）；（2）；（3）2，；（4）；（5）.二、（1）B；（2）D；（3）D；（4）A；（5）B；（6）D。三、因为 是调和函数，所以，。，即，所以1当时，。又，所以又,所以.2当时,.又,所以.四、（1）原式（2）原式（3）是的可去奇点。Res.是的一级极点，Res。原式（4）原式（5）设，为在上半平面内的二级极点，所以原式Res五、当时，原级数成为.。实部和虚部级数均收敛，这时该级数收敛。当时，原级数成为，该级数发散，六、（1）在圆环域内，（2）在圆环域内，（3）在圆环域内，七、设，对方程两边取拉氏变换，得解得再取拉氏逆变换，得八、因为，且不全为零，所以不能同时为零。否则，若，则.不妨设，所以（1）又在内解析，所以（2）由（1），（2）两式可得所以均为常数，即在内为常数.