二○○一年全国高中数学联合竞赛题.pdf

二一年全国高中数学联合竞赛题二一年全国高中数学联合竞赛题（10 月 4 日上午 8：009：40）题号得分评卷人复核人一二三131415合计加试总成绩学生注意：学生注意：1 1、本试卷共有三大题（、本试卷共有三大题（1515 个小题）个小题），全卷满分，全卷满分 150150 分。分。2 2、用圆珠笔或钢笔作答。、用圆珠笔或钢笔作答。3 3、解题书写不要超过装订线。、解题书写不要超过装订线。4 4、不能使用计算器。、不能使用计算器。一、一、选择题（本题满分选择题（本题满分 3636 分，每小题分，每小题 6 6 分）分）本题共有本题共有 6 6 个小是题，每题均给出（个小是题，每题均给出（A A）（B B）（C C）（D D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 6 分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内）论是否写在括号内），一律得，一律得 0 0 分。分。1、已知 a 为给定的实数，那么集合 M=x|x2-3x-a2+2=0,xR的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定2、命题 1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题 2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题 3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（A）0 个（B）1 个（C）2 个（D）3 个3、在四个函数 y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是2（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|4、如果满足ABC=60，AC=12，BC=k 的ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是（A）k=83（B）0k12（C）k12（D）0k12 或 k=835、若(1+x+x2)1000的展开式为 a0+a1x+a2x2+a2000 x2000,则 a0+a3+a6+a9+a1998的值为（A）3333（B）3666（C）3999（D）320016、已知 6 技玫瑰与 3 枝康乃馨和价格之和大于 24 元，而 4 技玫瑰与 5 枝康乃馨和价格之和小于 22 元，则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是（A）2 枝玫瑰价格高（B）3 枝康乃馨价格高（C）价格相同（D）不确定二、二、填空题（本题满分填空题（本题满分 2424 分，每小题分，每小题 9 9 分）分）本题共有本题共有 6 6 小题，要求直接将答案写在横线上。小题，要求直接将答案写在横线上。7、椭圆12 cos的短轴长等于。328、若复数 z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,则 z1z2=。9、正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则直线 A1C1与 BD1的距离是。1log1210、不等式x 2 32的解集为。11、函数y x 2x 3x 2的值域为。12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择，则有种栽种方案。三、解答题（本题满分解答题（本题满分 6060 分，每小题分，每小题 2020 分）分）13、设an为等差数列，bn为等比数列，且b1 a1，b2 a2，b3 a3（a1a2）,又n 22FEABCD2lim(b1 b2 bn)2 1，试求an的首项与公差。14、设曲线 C1:xa22 y2 1(a 为正常数)与 C2:y=2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。2（1）求实数 m 的取值范围（用 a 表示）；（2）O 为原点，若 C1与 x 轴的负半轴交于点 A，当 0aa2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。20012001 年全国高中数学联合竞赛年全国高中数学联合竞赛一试题参考答案及评分标准一试题参考答案及评分标准一一 选择题：选择题：1C2B3D4D5C6A二填空题：填空题：23378273013327213i96610(0,1)(1,2)(4,)111,)2,)12732三解答题三解答题：13设所求公差为 d，a1a2，d0由此得a12(a1 2d)2(a1 d)4化简得：2a12 4a1d d2 0解得：d (2 2)a15 分而 2 2 0，故 a10若d (2 2)a1，则q a2a122(2 1)2若d (2 2)a1，则q a2a122(2 1)10 分2但lim(b1 b2 bn)n 2 1存在，故|q|1，于是q (2 1)2不可能从而a1222 11 (2 1)a1(22 2)(2 1)22所以a1 2,d (2 2)a1 22 220 分x222 y 114解：(1)由 a消去 y 得：x2 2a2x 2a2m a2 02y 2(x m)设f(x)x2 2a2x 2a2m a2，问题(1)化为方程在 x(a，a)上有唯一解或等根只需讨论以下三种情况：10 得：m a2 12，此时 xpa2，当且仅当aa2a，即 0a1 时适合；222f(a)f(a)0，当且仅当ama；3f(a)0 得 ma，此时 xpa2a，当且仅当aa2a a，即 0a1 时适合f(a)0 得 ma，此时 xpa2a2，由于a2a2a，从而 ma综上可知，当 0a1 时，m a2 12或ama；当 a1 时，ama10 分(2)OAP 的面积S 0a1212ayp22，故ama 时，0 a aa 1 2ma，由唯一性得xp a2 aa2 1 2mxpa22显然当 ma 时，xp取值最小由于 xp0，从而 yp1 2取值最大，此时yp 2a a2，S aa a2当m a 122时，xpa2，yp1 a，此时S 12a1 a22下面比较aa a与12a1 a2的大小：令aa a2故当 0a当13 a 131212a1 a2，得a 1212132时，aa a2时，aa a2a1 aa1 a，此时Smax12a1 a22，此时Smax aa a220 分15解：设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG，当 Ria i，i3，4，5，6，R1、R2是 a1、a2的任意排列时，RFG最小5 分证明如下：1设当两个电阻 R1、R2并联时，所得组件阻值为 R，则1R1R11R2故交换二电阻的位置，不改变 R 值，且当 R1或 R2变小时，R 也减小，因此不妨取 R1R22设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RABRABR1R2R1 R2 R3R1R2 R1R3 R2R3R1 R2显然 R1R2越大，RAB越小，所以为使 RAB最小必须取 R3为所取三个电阻中阻值最小的个3设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为 RCD1RCD1RAB1R4R1R2 R1R3 R1R4 R2R3 R2R4R1R2R4 R1R3R4 R2R3R4若记S1R1i j4iRj,S2RiRjRk，则 S1、S2为定值，于是RCDS2 R1R2R3S1 R3R41i jk 4只有当 R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取 R4R3，R3R2，R3Rl，即得总电阻的阻值最小15 分4对于图 3 把由 R1、R2、R3组成的组件用等效电阻 RAB代替要使 RFG最小，由 3必需使 R6R5；且由 1应使 RCE最小由 2知要使 RCE最小，必需使 R5R4，且应使 RCD最小而由 3，要使 RCD最小，应使 R4R3R2且 R4R3R1，这就说明，要证结论成立20 分二一年全国高中数学联合竞赛加试试题二一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10 月 4 日上午 10：0012：00）学生注意：学生注意：1 1、本试卷共有三大题，全卷满分、本试卷共有三大题，全卷满分 150150分。分。2 2、用圆珠笔或钢笔作答。、用圆珠笔或钢笔作答。3 3、解题书写不要超过装订线。、解题书写不要超过装订线。4 4、不能使用计算器。、不能使用计算器。一、一、（本题满分（本题满分 5050 分）分）如图：ABC 中，O 为外心，三条高 AD、BE、CF 交于点 H，直线 ED 和 AB 交于点 M，FD 和 AC 交于点 N。求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。二、二、（本题满分（本题满分 5050 分）分）n设 xi0(I=1,2,3,n)且xi 2i121k jnkjnxkxj 1，求xi的最大值与最小值。i1三、三、（本题满分（本题满分 5050 分）分）将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。ADCnmB2001 年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一证明：(1)A、C、D、F 四点共圆BDFBAC又OBC12(180BOC)90BACOBDF(2)CFMAMC2MH2AC2AH2BENANB2NH2AB2AH2DABCBD2CD2BA2AC2OBDFBN2BD2ON2OD2OCDECM2CD2OM2OD230 分，得NH2MH2ON2OM2MO2MH2NO2NH2OHMN50 分另证：以 BC 所在直线为 x 轴，D 为原点建立直角坐标系，设 A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则kAC 直线 AC 的方程为y aac,kAB abc(x b)(x c)，直线 BE 的方程为y ca由y c(x b)222aa c bcac abca得 E 点坐标为 E(a22,22)y c(x c)ca c222同理可得 F(a b b cab abca2 b2,a2 b2)直线 AC 的垂直平分线方程为y ac(x c2a2)直线 BC 的垂直平分线方程为x b c2由y a2ca(x c2)得 O(b cbc a22,2)x b ca2bc a22k2abc a2OBb cac ab,kab abcDFa2b b2cab aca2 bc2 bkOBkDF 1OBDF同理可证 OCDE在直线 BE 的方程y ca(x b)中令 x0 得 H(0，bca)bc a2bck2aa2OHb ca 3bcab ac2直线 DF 的方程为y ab aca2 bcx由y ab aca2 bcx得 N(a2c bc22,abc ac2y ac(x c)a2 2bc c2a 2bc c2)a2b b2同理可得 M(ca2 2bc b2,abc ab2a2 2bc b2)22ka(b c)(a2 bc)ab acMN(c b)(a2 bc)(a2 3bc)a2 3bckOHkMN1，OHMNnn2二解：先求最小值，因为(xi)i1i12xi 21k jnkjnxkxj 1xi1i1等号成立当且仅当存在 i 使得 xi1，xj0，jinxi最小值为 110 分i1再求最大值，令xknk ykkyk2 2k 1ky1k jnkyj 1nnk设M xk 1k 1 y1 y2 yn a1y2 yn a2k yk，令yn an22则a12 a2 an 130 分令an10，则M nk 1k(ak ak 1)nnnnnk 1k akk 1k ak 1k 1k akk 1k 1ak(k 1k k 1)ak由柯西不等式得：M (k k 1)(2k 1k 1n12n2ak)12n(k 1k k 1)212等号成立a112 ak(k 22k 1)2 an(n ak22n 1)2a1 a2 an1 (2 2221)(n n 1)2(k k 1)2 akk nk 1k 1)212(k=1，2，n)(k 1k 由于 a1a2an，从而yk ak ak 12k (k 1 nk 1)212 0，即 xk0(k 1k k 1)n12所求最大值为(k k 1)250 分k 1三解：记所求最小值为 f(m，n)，可义证明 f(m，n)rnn(m，n)(*)其中(m，n)表示 m 和 n 的最大公约数10 分事实上，不妨没 mn(1)关于 m 归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为 rnn(m，n)当用 m1 时，命题显然成立假设当，mk 时，结论成立(k1)当 mk1 时，若 nk1，则命题显然成立若 nk1，从矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形 A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为 mnn(mn，n)m(m，n)，于是原矩形 ABCD 有DD1C一种分 法使得 所得 正方形 边长之 和为 rnn(m，n)20 分(2)关于 m 归纳可以证明(*)成立当 m1 时，由于 n1，显然f(m，n)rnn(m，n)nmA1假设当 mk 时，对任意 1nm 有 f(m，n)rnn(m，n)若 mk1，当 nk1 时显然 f(m，n)k1rnn(m，n)当 1nk 时，设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形，其边长分别为 al，a2，ap不妨 a1a2ap显然 a1n 或 a1nAB若 a1n，则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形(或其边界)于是 a1a2ap不小于 AB 与 CD之和所以 a1a2ap2mrnn(m，n)若 a1n，则一个边长分别为 mn 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2，ap的正方形，由归纳假设a2apmnn(mn，n)rn(m，n)从而 a1a2aprnn(m，n)于是当 rnk1 时，f(m，n)rnn(m，n)再由(1)可知 f(m，n)rnn(m，n)50 分