五年级奥数巧求表面积例题、试题及答案.pdf

巧求表面积巧求表面积教学目标教学目标掌握长方体和正方体的特征、表面积和体积计算公式,并能运用公式解决一些实际问题。教学过程教学过程一、例题讲解一、例题讲解我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积。如果长方体的长用a 表示、宽用b 表示、高用h 表示,那么，长方长方体的表面积体的表面积=（ababahahbhbh）2 2。如果正方体的棱长用 a 表示，则正方体的表面积正方体的表面积=6a=6a2 2.对于由几个长方体或正方体组合而成的几何体,或者是一个长方体或正方体组合而成的几何形体，它们的表面积又如何求呢？涉及立体图形的问题，往往可考查同学们的看图能力和空间想象能力。小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方体，这些图形的特点都是可以从六个方向去看，特别是求表面积时，就是上下、左右和前后六个方向（有时只考虑上、左、前三个方向）的平面图形的面积的总和。有了这个原则，在解决类似问题时就十分方便了。例例 1 1在一个棱长为在一个棱长为 5 5 分米的正方体上放一个棱长为分米的正方体上放一个棱长为 4 4 分米的小正方体（下图）分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。求这个立体图形的表面积。(例例 1 1 图）图）（例（例 2 2 图图)分析分析我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起,正好是大正方体的上面。这样这个立体图形有表面积就可以分成这样两部分：上下方向上下方向:大正方体的两个底面；侧面：大正方体的两个底面；侧面：小正方体的四个侧面小正方体的四个侧面大正方体的四个侧面。大正方体的四个侧面。解：上下方向解：上下方向:5:55 52=502=50（平方分米）（平方分米）侧面：侧面：5 55 54=1004=100（平方分米）（平方分米）4 44 44=644=64（平方分米）（平方分米）这个立体图形的表面积为这个立体图形的表面积为:505010010064=21464=214（平方分米）答：这个立体图形的表面积为（平方分米）答：这个立体图形的表面积为 214214 平方分米平方分米.例例 2 2下图是一个棱长为下图是一个棱长为 2 2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为棱长为 1 1 厘米的正方体小洞，厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方体小接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方体小洞洞,第三个正方体小洞的挖法与前两个相同，棱长为厘米。那么最后得到的立体图形的第三个正方体小洞的挖法与前两个相同，棱长为厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米表面积是多少平方厘米?分析分析这道题的难点是洞里的表面积不易求.在小洞里,平行于上下表面的所有面的面积和等于边长为 1 厘米的正方形的面积，这个边长为 1 厘米的正方形再与图中阴影部分的面积合在一起正好是边长为 2 厘米的正方体的上表面的面积。这个立体图形的表面积分成两部分:上下方向：上下方向：2 2 个边长为个边长为 2 2 厘米的正方形的面积；厘米的正方形的面积；边长为边长为 2 2 厘米的厘米的 4 4 个正方形的面积和个正方形的面积和侧面：侧面：边长为边长为 1 1 厘米的厘米的 4 4 个正方形的面积和个正方形的面积和边长为厘米的边长为厘米的 4 4 个正方形的面积和个正方形的面积和边长为厘米的边长为厘米的 4 4 个正方形的面积和个正方形的面积和解：平行于上下表面的各面面积之和：解：平行于上下表面的各面面积之和：2 22 22=82=8（平方厘米）（平方厘米）侧面：侧面：2 22 24=164=16（平方厘米）（平方厘米）1 11 14=44=4（平方厘米）（平方厘米）4=1(4=1(平方厘米）平方厘米）4=(4=(平方厘米）平方厘米）这个立体图形的表面积为：这个立体图形的表面积为：8 816164 41 1=29(=29(平方厘米平方厘米)答：这个立体图形的表面积为答：这个立体图形的表面积为 2929 平方厘米。平方厘米。例例3 3把把1919个棱长为个棱长为1 1厘米的正方体重叠在一起厘米的正方体重叠在一起,按下图中的方式拼成一个立体图按下图中的方式拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。形，求这个立体图形的表面积。分析分析从上下、左右、前后看时的平面图形分别如下面三图所示：因此，这个立体图形的表面积为:2 2 个上面个上面2 2 个左面个左面2 2 个前面个前面解：上面的面积为：解：上面的面积为：9 9 平方厘米；平方厘米；左面的面积为：左面的面积为：8 8 平方厘米；平方厘米；前面的面积为：前面的面积为：1010 平方厘米。平方厘米。因此，这个立体图形的表面积为：因此，这个立体图形的表面积为：(9(98 81010）2=542=54（平方厘米）（平方厘米）答：这个立体图形的表面积为答：这个立体图形的表面积为 5454 平方厘米。平方厘米。例例 4 4一个正方体开头的木块，棱长为一个正方体开头的木块，棱长为 1 1 米，沿着水平方向将它锯成米，沿着水平方向将它锯成 3 3 片，每片片，每片又按任意尺寸锯成又按任意尺寸锯成 4 4 条，条，每条又按任意尺寸锯成每条又按任意尺寸锯成 5 5 小块小块,共得到大大小小的长方体共得到大大小小的长方体 6060 块，块，如下图。问这如下图。问这 6060 块长方体表面积的和是多少平方米？块长方体表面积的和是多少平方米？分析分析原来的正方体有六个外表面,每个面的面积是 11=1(平方米），无论后来锯成多少块，这六个外表面的 6 平方米总是被计入后来的小木块的表面积的。再考虑每锯一刀,就会得到两个 1 平方米的表面，现在一共锯了:234=9（刀）,一共得到 18 平方米的表面。因此,总的表面积为总的表面积为:6:6（2 23 34)4)2=242=24（平方米）（平方米）解解:每锯一刀，就会得到两个每锯一刀，就会得到两个 1 1 平方米的表面。平方米的表面。1 12=22=2（平方米（平方米)一共锯了：一共锯了：2 23 34=94=9（刀）得到：（刀）得到：2 29=189=18（平方米（平方米)的表面的表面.因此因此,这大大小小的这大大小小的 6060 块长方体的表面积的和为：块长方体的表面积的和为：6 618=2418=24（平方米（平方米)答：这答：这 6060 块长方体表面积的和为块长方体表面积的和为 2424 平方米。平方米。例例 5 5有一些棱长是有一些棱长是 1 1 厘米的正方体厘米的正方体,共共 19931993 个，要拼成一个大长方体，问表面积最小个，要拼成一个大长方体，问表面积最小是多少是多少?解：因为解：因为 19931993 是一个质数，所以这是一个质数，所以这 19931993 个正方体只能摆成长个正方体只能摆成长 19931993 厘米、宽厘米、宽 1 1厘米、高厘米、高 1 1 厘米的长方体，因此这个长方体的表面积为：厘米的长方体，因此这个长方体的表面积为：199319931 14 41 11 12=7974(2=7974(平方厘米平方厘米)答：摆成的大长方体表面积最小是答：摆成的大长方体表面积最小是 79747974 平方厘米平方厘米.例例 6 6用用 1212 个长个长 5 5 厘米、宽厘米、宽 4 4 厘米、高厘米、高 3 3 厘米的长方体码放成一个表面积最小的长方厘米的长方体码放成一个表面积最小的长方体体,码放后得到的这个长方体的表面积是多少？码放后得到的这个长方体的表面积是多少？分析分析用这 12 个长方体可以码放出许多不同的长方体，当然得到的表面积就不会相同。我们可以把所有不同情况下的长方体的表面积都计算出来，再选出最小值,但这样做，会浪费很多时间，情况还不一定考虑得周全。因此，要考虑有没有巧妙的方法。先重申一下基本原理:在体积固定的所有长方体中，只有各棱长相等的立方体在体积固定的所有长方体中，只有各棱长相等的立方体,其各棱长之和最小，其表面积其各棱长之和最小，其表面积也最小也最小.因为所给长方体的长、宽、高都已确定，而且已知是12 个长方体，所以拼成的这个大长方体的体积就已固定(34512=720 立方厘米）。因为这个大长方体的体积不是一个立方数，因而不可能使各棱长都相等，但我们可以使长方体的长、宽、高这三个数尽可能地接近,这样使其各棱长之和最小,这个大长方体的表面积也最小。解：一方面解：一方面 12=212=22 23 3，另一方面，长、宽、高应尽量接近，观察到，另一方面，长、宽、高应尽量接近，观察到720720 立方厘米立方厘米=8=8（厘米（厘米)9 9（厘米）（厘米）1010（厘米）（厘米），并且有，并且有 5 52=102=10（厘米）（厘米）,4,42=82=8（厘米）（厘米），3 33=93=9（厘米）（厘米）。拼成的大长方体的长、宽、高分别为拼成的大长方体的长、宽、高分别为 1010 厘米、厘米、8 8 厘米、厘米、9 9 厘米，这时长方体的表厘米，这时长方体的表面积为：面积为：（10109 910108 89 98 8）2=4842=484（平方厘米）（平方厘米）。答：码放后得到的这个长方体的表面积为答：码放后得到的这个长方体的表面积为 484484 平方厘米平方厘米.二、实题演练二、实题演练1 1，如下图所示，如下图所示,由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为 1 1 米、米、2 2米、米、4 4 米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？是多少平方米？2 2，将高都是将高都是 1 1 米，米，底面半径分别是底面半径分别是 1 1。5 5 米、米、1 1 米和米和 0.50.5 米的三个圆柱体如下图所米的三个圆柱体如下图所示组成一个物体示组成一个物体,求这个物体的表面积（取为求这个物体的表面积（取为 3.143.14）。（第二题图）第二题图）3,3,小明小制作时把小明小制作时把 6 6 个棱长分别为个棱长分别为 1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6（单位：分米）的正方体按（单位：分米）的正方体按由大到小的顺序码放成一个宝塔，由大到小的顺序码放成一个宝塔，并且把重合部分用胶固定粘牢，并且把重合部分用胶固定粘牢，再把所有外露的部分再把所有外露的部分涂上油漆，交给老师。所有涂上油漆部分的面积是多少平方分米？涂上油漆，交给老师。所有涂上油漆部分的面积是多少平方分米？4 4，有，有 3030 个棱长为个棱长为 1 1 米的正方体，在地面上摆成如下图的形式，求这个立体图形米的正方体，在地面上摆成如下图的形式，求这个立体图形的表面积是多少平方米？的表面积是多少平方米？5 5，下图（下图（a a）中的一些积木是由中的一些积木是由 1616 块棱长为块棱长为 2 2 厘米的正方体堆成的，它的表面积厘米的正方体堆成的，它的表面积是多少平方厘米？是多少平方厘米？6 6，一个正方体的棱长为，一个正方体的棱长为4 4 厘米，在它的前、后、左、右、上、下面中心各挖去一厘米，在它的前、后、左、右、上、下面中心各挖去一个棱长为个棱长为 1 1 厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积。如果把本题的条件“厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积。如果把本题的条件“4 4厘米厘米 改换为“改换为“3 3 厘米”厘米”，那么这个玩具的表面积是多少？，那么这个玩具的表面积是多少？图（图（b)b)。7 7，下图（，下图（c)c)中是一个表面被涂上红色的棱长为中是一个表面被涂上红色的棱长为 1010 厘米的正方体木块，如果把它厘米的正方体木块，如果把它沿着虚线切成沿着虚线切成 8 8 个正方体个正方体,这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？平方厘米？8 8，有一个棱长为，有一个棱长为5 5 厘米的正方体木块厘米的正方体木块,从它的每一个面看都有一个穿透“十字形”从它的每一个面看都有一个穿透“十字形”的孔（如下图阴影部分的孔（如下图阴影部分),),如果将其全部浸入黄漆后取出，晒干后，再切成棱长为如果将其全部浸入黄漆后取出，晒干后，再切成棱长为 1 1 厘米厘米的小正方体，这些小正方体未被染上黄漆的面积总和是多少的小正方体，这些小正方体未被染上黄漆的面积总和是多少?答案：答案：1。解：44（112244）4=100（平方米）。答：模型涂刷油漆的面积是 100 平方米.2。解：1。5222（0.5+1+1.5）132。97(平方米）.答：这个物体的表面积为 32。97 平方米。3.解：622（1222324252+62)4=436（平方分米）。答：涂上油漆部分的面积是 436 平方分米。4。解：422（12121314）472(平方米）。答：这个立体图形的表面积为72 平方米。5。解：上下方向：2292=72（平方厘米），前后方向：227256(平方厘米），左右方向：229272（平方厘米），(计算左右方向面积时，请注意底层前部凹进去的二个侧面).表面积为：725672200（平方厘米).答：立体图形的表面积为 200 平方厘米.6.解：由于本题所给出的正方体棱长为4 厘米，从六个面的中心位置各挖去一个棱长为 1 厘米的正方体,这样得到的玩具中心部分是实体.原正方体的表面积为：426=96（平方厘米）.在它的六个面各挖去一个棱长为 1 厘米的正方体后增加的面积为：1246=24（平方厘米），这个玩具的表面积为：96+24120（平方厘米）。答:这个玩具的表面积为 120 平方厘米。如果把本题的条件“4 厘米”改换成“3 厘米，那么解法就要发生变化，因为挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的新玩具是镂空的.把这个玩具分成 20 部分，8 个“角和 12 条“梁”，如右图。每个“角为棱长 1 厘米的小正方体，它外露部分的面积为：123=3（平方厘米)，则 8 个“角”外露部分的面积为：38=24(平方厘米）。每条“梁为棱长 1 厘米的小正方体，它外露部分的面积为：1244（平方厘米），则 12 条“梁”外露部分的面积为：412=48(平方厘米）。这个玩具的表面积为:2448=72（平方厘米）。答：这个玩具的表面积为 72 平方厘米。7.解:102(32）600（平方厘米）答：这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和为600 平方厘米。8。解：先求切成棱长为1 厘米的小正方体后，所有这些小正方体的表面积:把这个几何体分成 20 部分，8 个“角”和12 条“梁”。每个“角”有8 个小正方体，则 8 个“角共有 8864 个小正方体.每条“梁”有 1 个小正方体，则 12 条“梁”共有 11212 个小正方体。所以共有小正方体：641276 个）,这些小正方体的表面积和为:12676456（平方厘米）。再求被染上黄漆的面积总和：8 个“角被染上黄漆的面的个数：（463）8168(个)。12 条“梁”被染上黄漆的面的个数：412=48（个)。被染上黄漆的面积总和为：12（16848）=216（平方厘米).最后求未被染上黄漆的面积总和：456-216=240（平方厘米).答:这些小正方体未被染上黄漆的面积总和为240 平方厘米.