(第2讲)极限的概念.ppt

1 12 2 极限的概念（第极限的概念（第2 2讲）讲）1数列极限2函数的极限3无穷小量与无穷大量正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积 “割之弥细，所失弥少，割之又割，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入1 1数列极限数列极限 截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”数列的定义例如例如数列极限如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的。如果一个数列有极限，则此极限是唯一的。如果一个数列有极限，则此极限是唯一的。例例1-3 根据极限的定义，判断下列各数列是否有极限，对于收敛的数列指出其极限。解：解：可以看出（可以看出（1）、（）、（3）两个数列没有极限，（）两个数列没有极限，（2）、）、（4）两个数列有极限，即）两个数列有极限，即 2 2函数的极限函数的极限定理定理1例例1-6 考察下列函数的极限。例例1-8 1-8 在在半半径径为为R R的的圆圆内内作作内内接接正正方方形形，在在这这正正方方形形内内作作内内切切圆圆，在在这这圆圆内内又又作作内内接接正正方方形形，如如此此n n次次。试试求当求当nn时所有时所有圆圆面积总和的极限。面积总和的极限。R 图13解：解：如图13所示。第一个圆的面积为：第二个圆的面积为：第三个圆的面积为：第n个圆的面积为：所以面积总和为：所求极限为3无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量(1)(1)无无穷穷小量及其性小量及其性质质 定义定义4 4 如果在x的某种趋向下，函数f(x)以零为极限，则称在x的这种趋向下，函数f(x)是无穷小量，简称无穷小。注意：注意：无穷小量是趋于零的函数,非零常数都不是无穷小。例如，当例如，当x2x2时，函数时，函数x x2 2-4-4，ln(x-1)ln(x-1)都是无穷小量都是无穷小量.定理定理3 3 若在若在的某种趋向下，函数的某种趋向下，函数f(x)A，则，则在在的这种趋向下，的这种趋向下，f(x)A是无穷小量，其逆定理也是无穷小量，其逆定理也为真为真。定定理理4 4 在在自自变变量量的的同同一一变变化化过过程程中中,无无穷穷小小具具有有下列性质：下列性质：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小。（2 2）无）无穷穷大量及其与无大量及其与无穷穷小量的关系小量的关系定定义义5 5 如如果果在在自自变变量量x x的的某某种种趋趋向向下下，函函数数f(x)的的绝绝对对值值无无限限增增大大，那那么么函函数数f(x)f(x)就就叫叫做做在在自自变变量量的这种趋向下的无穷大量的这种趋向下的无穷大量,简称无穷大。简称无穷大。例例1-9 求下列函数的极限。(1)(2)课堂小结课堂小结1、数列的极限2、函数的极限当 时的极限3、函数在处的左右极限作业：作业：P7练习练习1.2 1、（、（2）（）（4）4、（、（2）（）（4）5、（、（3）