四边形复习剖析.pptx

1.什么叫做平行四边形？什么叫做平行四边形？2.平行四边形有哪些性质？平行四边形有哪些性质？3.平行四边形有哪些判定方法？平行四边形有哪些判定方法？ABCDO（边、角、对角线）第1页/共142页特殊的平行四边形特殊的平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形第2页/共142页一般平行四边形与特殊平行四边形的关系一般平行四边形与特殊平行四边形的关系（从定义观察）（从定义观察）正方形正方形矩矩形形菱菱形形平行平行四边形四边形有一个角有一个角是直角是直角有一组邻边有一组邻边相等相等有一组邻边有一组邻边相等相等有一个角是有一个角是直角直角第3页/共142页平行四边形、矩形、菱形、平行四边形、矩形、菱形、正方形四者关系正方形四者关系平行四边形平行四边形矩形矩形菱菱形形正正方方形形平行四边形、矩形、菱形、平行四边形、矩形、菱形、正方形四者的对称性如何？正方形四者的对称性如何？第4页/共142页第5页/共142页1.1.下列命题正确的是（下列命题正确的是（）A.A.对角线互相平分的四边形是菱形对角线互相平分的四边形是菱形 B.B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C.C.对角线互相垂直的四边形是菱形对角线互相垂直的四边形是菱形 D.D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是正方形具有而矩形不一定具有的性质是()()A.A.对角线互相平分对角线互相平分 B.B.四条边都相等四条边都相等 C.C.四个角都是直角四个角都是直角 D.D.对角线相等对角线相等DB第6页/共142页已知菱形已知菱形ABCDABCD中中A=72A=72请你设计两种不请你设计两种不同的分法，将菱形同的分法，将菱形ABCDABCD分割成四个等腰三分割成四个等腰三角形。（画出分割线，标出能够说明分法角形。（画出分割线，标出能够说明分法的三角形内角度数。）的三角形内角度数。）第7页/共142页D 甲乙丙丁四位同学到木工厂参观时，他甲乙丙丁四位同学到木工厂参观时，他们各自做了如下检测：们各自做了如下检测：A.A.甲量得窗框两组对边分别相等甲量得窗框两组对边分别相等 B.B.乙量得窗框一组邻边相等乙量得窗框一组邻边相等 C.C.丙量得窗框的两条对角线长相等丙量得窗框的两条对角线长相等 D.D.丁量得窗框的两组对边相等且两条对丁量得窗框的两组对边相等且两条对角线也相等角线也相等 检测后，他们都说窗框是矩形你认为最检测后，他们都说窗框是矩形你认为最有说服力的是（有说服力的是（）D第8页/共142页已知：如图矩形已知：如图矩形ABCDABCD中中DEACDEAC与与E E，AEAE：EC=3EC=3：1 1 若若DC=6cmDC=6cm，则，则ACAC的长的长为为_cm_cmABCDE12O第9页/共142页1 1、已知菱形已知菱形ABCDABCD的周长为的周长为20cm20cm。A A：ABC=1ABC=1：2 2，则对角线，则对角线BDBD的的长等于长等于_cm_cm。2 2、正方形的两条对角线的和为、正方形的两条对角线的和为8cm8cm，它的面积为，它的面积为_平方厘米平方厘米 532第10页/共142页题目：题目：如图正方形如图正方形ABCDABCD边长为对角线交于点边长为对角线交于点O O，O O又是另一又是另一个正方形个正方形OEFGOEFG的一个顶点，若正方形的一个顶点，若正方形OEFGOEFG绕点绕点O O旋转在旋旋转在旋转的过程中转的过程中.探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N试判断线段AM于BN之间的关系.探究三:若正方形若正方形OEFGOEFG继续旋转时，继续旋转时，AM AM 与与BNBN之间的关之间的关系是否还系是否还成立？探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。第11页/共142页探究四：探究四：如图如图 有两个大小不等的两个正方形，其中小正方形的有两个大小不等的两个正方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8 8，则小正方形的边长为多少？则小正方形的边长为多少？第12页/共142页第13页/共142页一、复习目标一、复习目标 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系a 掌握矩形、菱形、正方形的概念掌握矩形、菱形、正方形的概念 b 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质 c 探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形 的条件的条件 c 知道任意一个三角形、四边形或正方形可以知道任意一个三角形、四边形或正方形可以 镶嵌平面，并运用这几种图形进行简单的镶镶嵌平面，并运用这几种图形进行简单的镶 嵌设计嵌设计b第14页/共142页平行四边形四边形矩形菱形正方形有一个内角是直角对角线相等有一组邻边相等对角线互相垂直四条边都相等有三个角是直角有一组邻边相等对角线互相垂直有一个内角是直角对角线相等第15页/共142页二、知识概要二、知识概要性质性质判定判定边边两组对边分别平行两组对边分别平行两组对边分别相等两组对边分别相等有一个角是直角的平行四有一个角是直角的平行四边形是矩形边形是矩形角角矩形的四个角都是直矩形的四个角都是直角角有三个角是直角的四边形有三个角是直角的四边形是矩形是矩形对角线对角线矩形的两条对角线相矩形的两条对角线相等等对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形是矩形是矩形推论推论直角三角形斜边上的直角三角形斜边上的中线等于斜边的一中线等于斜边的一半半如果一个三角形一边上的如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半中线等于这边的一半,那么这个三角形是直那么这个三角形是直角三角形角三角形(矩形)第16页/共142页二、知识概要二、知识概要性质性质判定判定边边菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等.一组邻边相等的平行一组邻边相等的平行四边形是菱形四边形是菱形.四条边都相等的四边四条边都相等的四边形是菱形形是菱形.角角对角相等对角相等.邻角互补邻角互补.对角线对角线菱形的两条对角线互菱形的两条对角线互相垂直；相垂直；并且每条对角线平分并且每条对角线平分一组对角一组对角.对角线互相垂直的平行对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边形是菱形.(菱形)第17页/共142页二、知识概要二、知识概要性质性质判定判定边边正方形的四条边都相正方形的四条边都相等等.有有一组邻边相等的矩一组邻边相等的矩形是正方形形是正方形.角角正方形的四个角都是正方形的四个角都是直角直角.有一个角是直角的菱有一个角是直角的菱形是正方形形是正方形.对角线对角线 正方形的两条对角正方形的两条对角线相等线相等.并且互相并且互相垂直平分垂直平分.每条对每条对角线平分一组对角线平分一组对角角.对角线相等的菱形对角线相等的菱形是正方形是正方形.对角线互相垂直的对角线互相垂直的矩形是正方形矩形是正方形.(正方形)第18页/共142页三、基本练习三、基本练习 (填空题填空题)1.如图，根据四边形的不稳定性制作边长为如图，根据四边形的不稳定性制作边长为16cm的可活动的菱形衣架，若墙上钉子间的的可活动的菱形衣架，若墙上钉子间的距离距离AB=BC=16 cm，则，则1=_度。度。2.已知，矩形已知，矩形ABCD的长的长AB=4，宽，宽AD=3，按如图放置在直线，按如图放置在直线AP上，然后不滑动转动，上，然后不滑动转动，当它转动一周时（当它转动一周时（AA），顶点），顶点A所经过的路线长等于所经过的路线长等于_。1206 第19页/共142页三、基本练习三、基本练习(填空题填空题)3.如图，已知正方形纸片如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是分别是AD，BC的中点，把的中点，把BC向上翻折，使点向上翻折，使点C恰好落在恰好落在MN上的上的P点处，点处，BQ为折痕，则为折痕，则PBQ=_度。度。30第20页/共142页三、基本练习三、基本练习 (选择题选择题)1.如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为2，如果将线段，如果将线段BD绕着点绕着点B旋转后，点旋转后，点D落在落在CB的延长线上的的延长线上的D处，那么处，那么tanBAD等于（等于（）(A)1(B)(C)(D)2 2.矩形矩形ABCD的顶点的顶点A，B，C，D按照顺时针方向排列，若在平面直角坐标系中，按照顺时针方向排列，若在平面直角坐标系中，B，D两点对应的坐标分别是（两点对应的坐标分别是（2，0），（），（0，0），且），且A，C两点关于两点关于x轴对称，则轴对称，则C点点对应的坐标是（对应的坐标是（）(A)(1,1)(B)(1,-1)(C)(1,-2)(D)(,-)BB第21页/共142页(选择题选择题)3.如图，有一块矩形纸片如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使将纸片折叠，使AD边落在边落在AB边上，折痕为边上，折痕为AE，再将，再将AED以以DE为折痕向右折叠，为折痕向右折叠，AE与与BC交于点交于点F，则，则CEF的面积为（的面积为（）(A)4 (B)6 (C)8 (D)10C三、基本练习第22页/共142页 例1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，使AB=CD，EF=GH.第23页/共142页 例1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（2）摆成如图所示的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理：。平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形第24页/共142页 例1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（3）将直角尺靠紧窗框的一个角，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是 。矩有一个角是直角的平行四边形是矩形第25页/共142页 还有什么方法可以说明这个铝合金窗框是合格的?想一想想一想ABCDABCDAC=BDA=B=C=90 第26页/共142页ABCDo60 若这个铝合金窗框ABCD两条对角线的夹角 AOB为60 ，AOB的周长为3 m。（1）求窗框对角线AC长；第27页/共142页ABCDo60 若这个铝合金窗框ABCD两条对角线的夹角 AOB为60 ，AOB的周长为3 m。（2）求窗框ABCD的面积。第28页/共142页 例2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由。F FE E第29页/共142页 例3.将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你会发现这是一个菱形。你能解释其中的道理吗？第30页/共142页 若展开后的菱形纸片ABCD中，两条对角线AC=，BD=4。（1）求菱形ABCD的面积；（3）求ADC的度数。（2）求菱形ABCD的周长；第31页/共142页 如果想得到一个正方形，该怎么剪？并解释你这样做的道理。想一想想一想第32页/共142页 例4.已知正方形ABCDABCD （1）若一条对角线BD长为2cm，求这个正方形的周长、面积。第33页/共142页 例4.已知正方形ABCDABCD （2）若E为对角线上一点，连接EA、EC。EA=EC吗？说说你的理由。E第34页/共142页 例4.已知正方形ABCD （3）若AB=BE，求 AED的大小。ABCDE第35页/共142页 例5.顺次连接任意四边形各边的中点，所构成的四边形以下简称为“中点四边形”。试判断中点四边形EFGH的形状，并说明理由。（1）添加一个条件，使四边形EFGH为菱形；AC BDAC=BDAC=BD且AC BD（2）添加一个条件，使四边形EFGH为矩形；（3）添加一个条件，使四边形EFGH为正方形；第36页/共142页1.矩形的“中点四边形”是 形；2.菱形的“中点四边形”是 形；3.正方形的“中点四边形”是 形。矩菱正方 那么，特殊平行四边形的“中点四边形”会是怎样的图形呢？第37页/共142页中考链接中考链接1.1.（河北省20052005）如图，在矩形ABCDABCD中，E E、F F、G G、H H分别是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点。若AB=2AB=2，AD=4AD=4，则阴影部分的面积为 （）A.3B.4C.6D.8B.第38页/共142页中考链接中考链接2.2.（陕西省20052005）如图，在一个由4 4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 （）A.3：4B.5：8C.9：16D.1：2B.第39页/共142页 3.已知正方形ABCD，ME BD，MF AC，垂足分别为E、F （1）M是AD上的点，若对角线AC=12cm，求ME+MF的长。ABCDOMFE （2）若M是AD上的一个动点，ME+MF的长度是否发生改变？（3）当M点运动到何处时，四边形MFOE的面积最大？第40页/共142页1.如图，正方形如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点分别在的顶点分别在正方形正方形MNPQ的的4条边的小方格的顶点上。条边的小方格的顶点上。（1）设正方形）设正方形MNPQ网格中网格中每个小方格的边长为每个小方格的边长为1，求：，求：ABQ,BCM,CDN,ADP的面积的面积正方形正方形ABCD的面积的面积（2）设）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中直角，利用这个图形中直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程出简明的推理过程。四、训练题四、训练题第41页/共142页2.如图，在如图，在ABC中，中，ACB=90，BC的中垂线的中垂线DE交交BC于点于点D,交交AB于点于点E，F在在DE的延长线上，并且的延长线上，并且AF=CE.（1）证明：四边形）证明：四边形ACEF是平行四边形是平行四边形.（2）当）当B的大小满足什么条件时，四边形的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论是菱形？请回答并证明你的结论.（3）四边）四边ACEF有可能是正方形吗？请证明有可能是正方形吗？请证明你的结论。你的结论。第42页/共142页3.探究下列问题：探究下列问题：（1）如图如图，在，在ABC中，中，CPAB于点于点P，求，求证证:AC2-BC2=AP2-BP2；（2）如图如图，在四边形，在四边形ABCD中，中，ACBD,垂垂足为足为P，猜一猜，猜一猜AB,BC,CD,DA之间有何数量之间有何数量关系，用式子表示出来（不必说明理由）；关系，用式子表示出来（不必说明理由）；（3）如图如图，在矩形，在矩形ABCD中，中，P为内部任意为内部任意一点，请猜想出一点，请猜想出AP,BP,CP,DP之间的数量关之间的数量关系，并证明之。系，并证明之。第43页/共142页4.如图，如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，的矩形纸片，O为原点，点为原点，点A在在x轴上，点轴上，点C在在y轴上，轴上，OA=10，OC=6。（1）如图如图，在，在OA上选取一点上选取一点G，将，将COG沿沿CG翻折，使点翻折，使点O落在落在BC边上，边上，设为设为E，求折痕，求折痕CG所在直线的解析式。所在直线的解析式。第44页/共142页4.（2）如图如图，在，在OC上任取一点上任取一点D，将，将AOD沿沿AD翻折，使点翻折，使点O落在落在BC边上，记边上，记为为E。求折痕求折痕AD所在直线的解析式；所在直线的解析式；再作再作EF/AB，交，交AD于点于点F，若抛物线，若抛物线 过过点点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直，求此抛物线的解析式，并判断它与直线线AD的交点的个数。的交点的个数。第45页/共142页4.（3）如图如图，在，在OC，OA上选取适当的点上选取适当的点D，G，使纸片沿，使纸片沿DG翻折后，点翻折后，点O落在落在BC边上，记为边上，记为E。请你猜想：折痕。请你猜想：折痕DG所在直线与所在直线与中的抛物线会用什么中的抛物线会用什么关系？用关系？用（1）中的情形验证你的猜想。中的情形验证你的猜想。第46页/共142页5.正方形通过剪切可以拼成三角形（如图正方形通过剪切可以拼成三角形（如图）。）。方法如下：方法如下：仿上例用图示的方法，解答下列问题：仿上例用图示的方法，解答下列问题：操作设计：操作设计：（1）如图）如图，对直角三角形，设计一种，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。与原三角形等面积的矩形。（2）如图）如图，对任意三角形，设计一种，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。与原三角形等面积的矩形。（3）对于任意四边形，能否通过恰当的分割和重）对于任意四边形，能否通过恰当的分割和重新组合拼接，使其成为一个与四边形等面积的矩新组合拼接，使其成为一个与四边形等面积的矩形。形。第47页/共142页梯形复习梯形复习第48页/共142页梯形定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。直角梯形定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。CBDACBDACBDA一、知识梳理第49页/共142页二、知识概要二、知识概要性质性质判定判定边边两底平行两底平行,两腰相等两腰相等两腰相等的梯形两腰相等的梯形是等腰梯形是等腰梯形角角同一底上的两个角相等同一底上的两个角相等同一底上同一底上的的两个角相等两个角相等的的梯梯形是等腰梯形形是等腰梯形对角线对角线两条对角线相等两条对角线相等两条对角线相等两条对角线相等的梯形是等的梯形是等腰梯形腰梯形等腰梯形等腰梯形是轴对称图形，对称轴是一底的中垂线是轴对称图形，对称轴是一底的中垂线第50页/共142页数学是思维的体操数学是思维的体操!勇勇于尝试于尝试,我们就能成就我们就能成就更多，学到更多更多，学到更多!与同学们共勉第51页/共142页达标训练：达标训练：1 1、抢答题抢答题 判断正误：判断正误：（1 1）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形.（2 2）两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形）两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形.（3 3）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形等腰梯形.（4 4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形是等腰梯形.（5 5）对角互补的梯形一定是等腰梯形）对角互补的梯形一定是等腰梯形.2.有两个内角是70度的梯形一定是等腰 梯 形.()第52页/共142页3、下列说法中，错误的是（）A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形 是等腰梯形 B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形 C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形 D.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形C第53页/共142页4 4、如果四边形的对角线互相垂直，那、如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边的中点所得的四边形是么顺次连结四边的中点所得的四边形是 。5 5、如果顺次连结四边形各边中点组成、如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（对角线（）A A、互相垂直、互相垂直 B B、互相平分、互相平分C C、相等、相等 D D、相等且平分、相等且平分第54页/共142页选择题选择题1.下列命题中，真命题有（）个(A)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形(B)等腰梯形的对角线不能互相垂直(C)直角梯形可以有两边相等(D)等腰梯形的两个底角相等2.若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为（）(A)21(B)29(C)21或29(D)21或22或29CB第55页/共142页3 3、一个等腰梯形的周长是80cm,80cm,且它的中位线长与腰长相等，它的高长12cm12cm这个梯形的面积是：（）A.60cmA.60cm2 2 B.120cm B.120cm2 2 C.240cm C.240cm2 2 D.300cm D.300cm2 2 各显身手各显身手C C第56页/共142页1.四边形ABCD中，若A:B:C:D=2:2:1:3,则四边形的形状是 。直角梯形巩固练第57页/共142页E E2.等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角【】A.60 B.120 C.135 D.150 3.等腰梯形中，上底等腰梯形中，上底:腰腰:下底下底=1：2：3，则下底角的度，则下底角的度 数是数是 4.直角梯形的一底与一腰的夹角是直角梯形的一底与一腰的夹角是30,并且这腰长并且这腰长6cm,则另一腰长为则另一腰长为 cm。A AB BC CD DE EA A603A AB BC CD D常用技巧第58页/共142页5、在等腰梯形ABCD中，ADBCBC，BC-AD=3cmBC-AD=3cm，B=C=45B=C=450 0，梯形的面积为19.5cm19.5cm2 2，求梯形两底的长。ABCDEF第59页/共142页开启智慧6 6、如图,在梯形ABCDABCD中,DC,DCAB,DEAB,DEBCBC交ABAB于点E,E,且DE=AD.DE=AD.(1)(1)请问此时ABCDABCD为等腰梯形吗?说明你的理由;(2)(2)若B=60,DC=4,AB=10,B=60,DC=4,AB=10,求梯形ABCDABCD的周长.ABDCE第60页/共142页1、如图，在梯形ABCD中，AD BC，AB=BC+AD，H是CD中点，试说明：BHAHHE延长AHAH，交BCBC延长线于点E E例讲第61页/共142页2、如图在RtABC中，BAC=90，BD=BA，M为BC中点，MN/AD交AB于N。求证：DN=BC。A AB BC CD DMMN N第62页/共142页 3、梯形ABCD中ADBC，E、F分别是AD、BC的中点，且EFBC，试问：梯形ABCD是等腰梯形ABFCDE第63页/共142页4、如图，ABBC，DCBC，垂足分别为B，C.当AB=4,DC=1,BC=4时，在线段BC上是否存在点P，使APPD？如果存在，求出线段BP的长；如果不存在，请说明理由；设AB=a，DC=b，那么当a，b，c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P使APPD?第64页/共142页6 6、如图，如图，ABCABC中，中，D D、E E、F F分别是分别是各边的中点，各边的中点，AHAH是是BCBC边上的高，边上的高，问四边形问四边形DFEHDFEH是什么四边形？是什么四边形？并说明理由。并说明理由。第65页/共142页7、如图，梯形ABCD中，ABCD，AEDC于E，AE=12,BD=15,AC=20,求梯形的面积。EDCBA第66页/共142页智力大冲浪智力大冲浪 如图，梯形ABCDABCD中，ADBC,ADBC,中位线分别交对角线BDBD、ACAC于点M M、N N，若AD=4cm,BC=8cm,AD=4cm,BC=8cm,求：MNMN的长NMFEBCAD第67页/共142页 变式：如图，梯形ABCDABCD中，ADBC,MADBC,M、N N分别 为 对 角 线 BDBD、ACAC的 中 点，若AD=4cm,BC=8cm,AD=4cm,BC=8cm,求：MNMN的长智力大冲浪智力大冲浪GNMBACD第68页/共142页感悟与收获这堂课你收获了什么？第69页/共142页常用技巧1.延长两腰交于一点延长两腰交于一点 作用：使梯形问题转化为三角形问题，作用：使梯形问题转化为三角形问题，若是等腰梯形则得到等腰三角形。若是等腰梯形则得到等腰三角形。A B D C E 2.平移一腰 作用：使梯形问题转化为平行四边形 及三角形问题。CE等于上、下底的差A B D C E 3.作高 作用：使梯形问题转化为直角三角形 及矩形问题。A B D C E F 第70页/共142页5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长与一个底的延长线相交。作用：可得ADEFCE,BF等于上、下底的和.CBFEDA4.平移一条对角线 作用：得到平行四边形ACED，使CE=AD，BE等于上、下底的和.A B C D E 常用技巧CBFEDAG6.当有一腰中点时，过中点作另一腰的平行线。作用：可得到平行四边形和全等三角形.练习1第71页/共142页九年级数学九年级数学(上上)第三章第三章 证明证明(三三)2 2.特殊的平行四边形特殊的平行四边形(1)(1)矩形的性质及判定矩形的性质及判定第72页/共142页学好几何标志是学好几何标志是会会“证明证明”w证明命题的一般步骤:w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);w(2)根据题意,画出图形;w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;w(4)分析题意,探索证明思路(由由“因因”导导“果果”,执执“果果”索索“因因”.);w(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确,完善.回顾与思考回顾与思考1 1第73页/共142页平行四边形的平行四边形的性质性质w定理定理:平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等.w证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.BDCA四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.AB=CD,BC=DA.AB=CD,BC=DA.w定理定理:平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.A=C,B=D.定理定理:平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.CO=AO,BO=DO.CO=AO,BO=DO.BDCAO定理定理:夹在两条平等线间的平等线段相等夹在两条平等线间的平等线段相等.MNPQ,ABCD,MNPQ,ABCD,AB=CD.AB=CD.BDCAMNPQ回顾思考第74页/共142页平行四边形的判定平行四边形的判定w定理定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w定理定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.回顾思考wAB=CD,AD=BC,AB=CD,AD=BC,w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.BDCABDCAOwABCD,AB=CD,ABCD,AB=CD,w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.wAO=CO,BO=DO,AO=CO,BO=DO,w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.wA=C,B=D.A=C,B=D.w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.第75页/共142页等腰梯形的等腰梯形的性质性质w定理定理:等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形同一底上的两个角相等.w定理定理:等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等.w在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,wAB=DC,AB=DC,wAC=DB.w在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,wAB=DC,AB=DC,wA=D,B=C.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾思考第76页/共142页等腰梯形的等腰梯形的判定判定定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,A=D或B=C,AB=DC.AB=DC.定理定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,AC=DB.AB=DC.AB=DC.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾思考第77页/共142页三角形中位线的性三角形中位线的性质质w定理定理:三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,且等于第三且等于第三边的一半边的一半.w这个这个定理定理提供了证明线段平行提供了证明线段平行,和线和线段成倍分关系的根据段成倍分关系的根据.模型模型:连接任意四边形各边中点连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形所成的四边形是平行四边形.要重视这个要重视这个模型模型的证明过程反映出来的的证明过程反映出来的规律规律:对角线的关系是关键对角线的关系是关键.改变四边形改变四边形的形状后的形状后,对角线具有的关系对角线具有的关系(对角线相对角线相等等,对角线垂直对角线垂直,对角线相等且垂直对角线相等且垂直)决决定了各中点所成四边形的形状定了各中点所成四边形的形状.回顾思考wDEDE是是ABCABC的中位的中位,DEBCADEBCDEBC,ABCHDEFG第78页/共142页四边形之间的关四边形之间的关系系 我思我思,我进步我进步1 1w四边形之间有何关系？四边形之间有何关系？w特殊的平行四边形之间呢？特殊的平行四边形之间呢？w还记得它们与平行四边形的关系吗还记得它们与平行四边形的关系吗?w能用一张图来表示它们之间的关系吗能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形平行四边形矩形菱形正方形两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等一组对边平行另一组对边不平行梯形两腰相等等腰梯形腰与底垂直直角梯形第79页/共142页矩形的矩形的性质性质w定理定理:矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角.我思我思,我进步我进步2 2已知已知:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.w分析分析:由矩形的定义由矩形的定义,利用对角利用对角相等相等,邻角互补可使问题得证邻角互补可使问题得证.证明证明:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,A=90A=900 0,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.C=A=90C=A=900 0,B=180B=1800 0-A=90-A=900 0,D=180D=1800 0-A=90-A=900 0.求证求证:A=B=C=D=90:A=B=C=D=900 0.A=B=C=D=90A=B=C=D=900 0DBCA想一想想一想:正方形的四正方形的四个角都是直角吗个角都是直角吗?第80页/共142页矩形的矩形的性质性质 我思我思,我进步我进步3 3w定理定理:矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等.已知已知:如图如图,AC,BD,AC,BD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线.求证求证:AC=BD.:AC=BD.证明证明:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,AB=DC,ABC=DCB=90AB=DC,ABC=DCB=900 0.w分析分析:根据矩形的性质性质根据矩形的性质性质,可转可转化为全等三角形化为全等三角形(SAS)(SAS)来证明来证明.DBCABC=CB,BC=CB,ABCDCB(SAS).ABCDCB(SAS).AC=DB.AC=DB.第81页/共142页直角三角形的直角三角形的性质性质 我思我思,我进步我进步4 4w议一议议一议:设矩形的对角线设矩形的对角线ACAC与与BDBD交于点交于点E,E,那么那么,BE,BE是是RtABCRtABC中一条怎样的特殊线段中一条怎样的特殊线段?w它与它与ACAC有什么大小关系有什么大小关系?为什么为什么?DBCAEw由此可得由此可得推论推论:直角三角形斜边上直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的中线等于斜边的一半.wBEBE是是RtABCRtABC中斜边中斜边ACAC上的中线上的中线.wBEBE等于等于ACAC的一半的一半.AC=BD,BE=DE,AC=BD,BE=DE,第82页/共142页矩形性质的矩形性质的应用应用 例题欣赏例题欣赏4 4w已知已知:如图如图,AC,BD,AC,BD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线,AC,BD,AC,BD相交于点相交于点O,AOD=120O,AOD=1200 0,AB=2.5cm.,AB=2.5cm.求矩形对角线的长求矩形对角线的长.解解:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,BD=2AB=22.5=5(cm).BD=2AB=22.5=5(cm).AC=BD,AC=BD,且且DABDAB=90=900 0,DBCAOAOD=120AOD=1200 0,ODA=OAD=ODA=OAD=你认为例你认为例1 1还可以还可以怎么去解？怎么去解？第83页/共142页矩形的判定矩形的判定w定理定理:有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.我思我思,我进步我进步2 2已知已知:如图如图,在四边形在四边形ABCDABCD中中,A=B=C=90A=B=C=900 0.w分析分析:利用同旁内角互补利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形两直线平行来证明四边形是平行四边形是平行四边形,可使问题得证可使问题得证.证明证明:A=B=C=90A=B=C=900 0,A+B=180A+B=1800 0,B+C=180,B+C=1800 0.ADBCADBC,ABCDABCD.求证求证:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.DBCA四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.第84页/共142页矩形的判定矩形的判定w定理定理:对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.我思我思,我进步我进步2 2已知已知:如图如图,在在ABCDABCD中中,对角线对角线AC=BD.AC=BD.求证求证:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.DBCAw分析分析:要证明要证明ABCDABCD是矩形是矩形,只只要证明有一个角是直角即可要证明有一个角是直角即可.w证明证明:AB=CD,ABCD.AB=CD,ABCD.AC=DB,BC=CB,AC=DB,BC=CB,ABCDCB.ABCDCB.ABC=DCB.ABC=DCB.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.ABC+DCB=180ABC+DCB=1800 0.ABC=90ABC=900 0.四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.第85页/共142页直角三角形的直角三角形的判定判定 我思我思,我进步我进步4 4w定理定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半半,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.w求证求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形已知已知:CD:CD是是ABCABC边边ABAB上的中线上的中线,且且EABCDw分析分析:要证明要证明ABCABC是直角三角形是直角三角形,可以点可以点A,B,CA,B,C构造平行四边形构造平行四边形,然后然后证明其对角线相等证明其对角线相等,即可证明是矩形即可证明是矩形.w证明证明:延长延长CDCD到到E,E,使使DE=DC,DE=DC,连接连接AE,BE.AE,BE.四边形四边形ACBEACBE是平行四边形是平行四边形.AB=2CD,CE=2CD,AB=2CD,CE=2CD,CE=AB.CE=AB.四边形四边形ACBEACBE是矩形是矩形.AD=BD,CD=ED,AD=BD,CD=ED,ACB=90ACB=900 0.ABCABC是直角三角形是直角三角形.第86页/共142页矩形的矩形的性质性质,推论推论w定理定理:矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角.w定理定理:矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等.推论推论(直角三角形性质直角三角形性质):直角三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半斜边上的中线等