9-4 多元复合函数的求导法则.ppt

返回三、小结三、小结 思考题思考题一、链式法则一、链式法则二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则返回 一一元元函数复合函数求导法则：函数复合函数求导法则：基本基本思想思想：将复杂函数求导转化为若干简单函：将复杂函数求导转化为若干简单函数求导。数求导。由于一元复合函数由于一元复合函数“函数函数”、“中间变量中间变量”、“自变量自变量”之间关系为之间关系为“单线联系单线联系”，故上述，故上述一个一个公式可以解决公式可以解决所有所有一元复合函数求导问题。一元复合函数求导问题。返回 多元复合函数由于有多个中间变量或多个自变多元复合函数由于有多个中间变量或多个自变量，量，“函数函数”、“中间变量中间变量”、“自变量自变量”之间关之间关系系“错错综复杂综复杂”，无法无法用用一个一个公式可以解决公式可以解决所有所有多元复合多元复合函函数求导问题。数求导问题。因此，首要问题是学会根据具体复合情况，写因此，首要问题是学会根据具体复合情况，写出相应的求导公式（出相应的求导公式（链锁规则公式链锁规则公式链锁规则公式链锁规则公式）Chain Rule,然后分别求出各个所需的偏导（导数）。然后分别求出各个所需的偏导（导数）。我们可依据我们可依据“连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”写出链锁写出链锁规则公式。规则公式。返回 设函数设函数z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)复合成二元复合复合成二元复合函数函数z=fu(u,v),v(x,y)，其间变量关系用下图来描述。其间变量关系用下图来描述。zuvxy连线连线相乘相乘连线连线相乘相乘分线分线相加相加同理可得同理可得方法细说方法细说返回一、多元复合函数求导法则链锁规则1 1、全导数、全导数 设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件，设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件，且有相应的导数或偏导数。且有相应的导数或偏导数。情形情形1zuvx链锁规则公式链锁规则公式 因为自变量只有因为自变量只有一个一个，故存在导数。由于有多元，故存在导数。由于有多元函数参与复合，故称之为函数参与复合，故称之为全导数全导数。全全导数导数返回【例例1】设设 ，求，求解解由多元复合函数求导法则得全导数为：由多元复合函数求导法则得全导数为：连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加多多元元偏导，一元导数偏导，一元导数思路思路:1、分析变量关系；、分析变量关系；2、写出求导公式；、写出求导公式；3、计算各个导数；、计算各个导数；4、消去中间变量。、消去中间变量。返回【例例2】设设 求求解解由多元复合函数求导法则得全导数为：由多元复合函数求导法则得全导数为：设设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？部分抽象函数部分抽象函数返回二阶二阶混合偏混合偏导数相等导数相等怎么样？不难吧！怎么样？不难吧！返回情形情形2链锁规则公式链锁规则公式 因为自变量有因为自变量有二个二个，故存在两个，故存在两个偏导数偏导数。偏导数偏导数2、偏导数、偏导数返回解解变量关系如图，所求偏导数为：变量关系如图，所求偏导数为：【例例3】设设 ，求，求偏导数。偏导数。返回思路思路:1、分析变量关系；、分析变量关系；2、写出求导公式；、写出求导公式；3、计算各个导数；、计算各个导数；4、消去中间变量。、消去中间变量。返回 2、如何确定链锁规则公式中的项数？如何确定链锁规则公式中的项数？每个链锁规则公式中的项数等于函数到达求导自变每个链锁规则公式中的项数等于函数到达求导自变量的量的路径数路径数。3、如何确定链锁规则公式中各项的因子数？如何确定链锁规则公式中各项的因子数？每条连线上每条连线上中间变量个数加中间变量个数加1即为链锁规则公式对即为链锁规则公式对应项的因子数。应项的因子数。4、偏导数的各链锁规则公式是否都是对称的？偏导数的各链锁规则公式是否都是对称的？取决于取决于变量关系变量关系是否对称。是否对称。你你现在是否能回答下列问题：现在是否能回答下列问题：1、如何确定是求全导数还是偏导数？如何确定是求全导数还是偏导数？一个一个自变量时求自变量时求全导数全导数，多个多个自变量时求自变量时求偏导数偏导数。返回解解由圆锥体积由圆锥体积 【例例5】设一圆锥形沙丘体积以设一圆锥形沙丘体积以4立方米立方米/秒的速率增秒的速率增大，底圆半径增长率为大，底圆半径增长率为e-r米米/秒，试求当沙丘体积为秒，试求当沙丘体积为60立方米、底圆半径为立方米、底圆半径为6米时，沙丘高度的增长速度。米时，沙丘高度的增长速度。可得高可得高为为故高的增长速率为故高的增长速率为返回设设t0时刻沙丘体积为时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为立方米、底面半径为6米，则米，则立方米/秒返回情形情形3链锁规则公式链锁规则公式全导数全导数情形情形4偏导数偏导数三元函数三元函数返回解解变量关系如图，所求全导数为：变量关系如图，所求全导数为：【例例4】设设 求求全导数。全导数。返回情形情形5特点：中间变量也是自变量特点：中间变量也是自变量视视视视y y为常数为常数为常数为常数视视视视u,vu,v为常数为常数为常数为常数返回解解方法方法1(链锁规则公式链锁规则公式)【例例8】设设 求求 返回二、一阶全微分形式不变性 一一元元函数微分形式不变性：设可微函数函数微分形式不变性：设可微函数 ，则则不论不论u是否为自变量，微分形式是否为自变量，微分形式 总是正总是正确的。确的。这就是说：当这就是说：当u为自变量，按上式计算微分；当为自变量，按上式计算微分；当u为为中间变量时，上式仍然正确，只是微分中间变量时，上式仍然正确，只是微分du还要继续计算还要继续计算，直至出现自变量的微分，计算才完成。，直至出现自变量的微分，计算才完成。返回例如，已知例如，已知 求微分求微分利用利用微分形式不变性微分形式不变性微分形式不变性微分形式不变性解题过程是：解题过程是：1、由、由 求得求得 ；2、由、由 求得求得 ；3、代入并消去中间变量、代入并消去中间变量u得所求得所求微分：微分：综合书写为：综合书写为：【解解】由微分形式不变性得由微分形式不变性得回回顾顾返回 微分形式不变性使得我们在计算复杂（复合微分形式不变性使得我们在计算复杂（复合+四则运算）函数微分时，可以分步四则运算）函数微分时，可以分步由外到内进行，由外到内进行，一次只考虑一个函数或一种运算一次只考虑一个函数或一种运算的微分，从而将复的微分，从而将复杂函数微分化为若干个简单函数微分来处理。此外杂函数微分化为若干个简单函数微分来处理。此外，利用微分形式不变性时不需区分变量间的关系，利用微分形式不变性时不需区分变量间的关系，平等地对待每个变量，容易保持解题思路清晰，避平等地对待每个变量，容易保持解题思路清晰，避免出错。免出错。多元多元函数全微分也具有形式不变性。函数全微分也具有形式不变性。返回 全微分形式不变性全微分形式不变性全微分形式不变性全微分形式不变性：设可微函数：设可微函数 ，则，则不不论论u，v是否为自变量，微分形式是否为自变量，微分形式总是正确的。总是正确的。【证证】当当u,v为自变量时，为自变量时，当当u,v为中间变量，即为中间变量，即u=u(x,y),v=v(x,y)时，由时，由链链锁规则锁规则得：得：返回 利用全微分形式不变性易证利用全微分形式不变性易证 全微分四则运算法则全微分四则运算法则全微分四则运算法则全微分四则运算法则：设：设u,v均为多元可微函数，均为多元可微函数，则则 不难看出，上述公式与一元函数情形完全一样。不难看出，上述公式与一元函数情形完全一样。正因为如此，有关正因为如此，有关一元函数的微分公式与微分法则一元函数的微分公式与微分法则在求多元函数全微分时同样适用在求多元函数全微分时同样适用。返回【例例9】利用全微分形式不变性求下列函数的全微分：利用全微分形式不变性求下列函数的全微分：（1）（2）解解（1）先介绍：下标为数字的偏导记号。）先介绍：下标为数字的偏导记号。对第一个中间变量对第一个中间变量 的偏导的偏导数记为数记为 一般，不写成一般，不写成 更不要写成更不要写成 对第二个中间变量对第二个中间变量 的偏导数记为的偏导数记为 全微分形全微分形式不变性式不变性返回（2）全微分形全微分形式不变性式不变性返回练习 光盘 例14返回解解令令*返回返回特殊地特殊地其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似返回Ex1.Ex1.解解令令z uyxy型型uyxy型型uyxy型型