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减肥模型减肥模型 随着人们生活水平的提高，肥胖的人越来越多，然而研究表明，体重指数（BMI：体重(kg)/身高(m)的平方）增高，一些疾病的发病率会随之上升。针对东方人的特点，联合国世界卫生组织颁布的体重指数，当18.5 BMI 24为正常，24BMI 29为超重，29BMI为肥胖.为了保持身体健康，建议BMI值偏大的人合理减肥。有很多人依靠减肥药或减肥食品来减肥，但是大量事实表明，多数减肥药和食品达不到减肥的目标，或者能减肥但无法维持。许多医生和专家建议，只有通过控制饮食和适当运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减肥并维持的目的。因此需要建立体重变化规律的模型，并由此通过节食和运动制定合理的减肥计划并取得比较好的减肥效果。我们以一个具体的实例，制定一个减肥计划来讨论减肥模型。某人身高1.72m，体重90kg，BMI高达30.42。该人目前每周吸收21000kcal热量，体重长期不变。要制定一个比较实际合理的减肥计划将体重减至70kg（此时BMI为23.66）并维持下去。人的体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 减肥计划应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。增加运动量是加速减肥的有效手段，也要在模型中加以考虑。只要作适当的简化假设就可得到体重变化的关系。制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里使用用离散时间模型差分方程模型。根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假设：1.假设该人身体状况正常，且肥胖不是遗传性的；2.体重增加正比于吸收的热量，平均每 9000kcal增加体重1kg（kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kj）；3.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异；4.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式和运动时间有关，假设该人在减肥过程 中采取跑步的运动方式，并且每天运动0.5小 时,即每周运动3.5小时；5.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不要小于10000kcal。第一阶段：在节食和做运动一起的情况下，每周减少1kg，使每周吸收热量逐渐减少，直至接近安全下限(10000kcal)第三阶段：每周吸收固定的热量，同时也可运动来维持体重第二阶段：每周吸收热量保持下限，同时继续运动直至达到减肥目标第第k k周末的体重周末的体重 kgkg 第第k k周吸收的热量周吸收的热量 kcalkcal热量转换系数热量转换系数 kg/kcalkg/kcal常代谢消耗系数常代谢消耗系数 运动代谢消耗系数运动代谢消耗系数 每周固定吸收的热量每周固定吸收的热量 kcalkcal吸收热量的下限吸收热量的下限 kcalkcal运动热消耗系数运动热消耗系数kcal/(h.kg)kcal/(h.kg)运动时间运动时间 h h 模型中要用到的量v经分析，建立如下模型：经分析，建立如下模型：经分析，建立如下模型：经分析，建立如下模型：某人初始体重某人初始体重某人初始体重某人初始体重 ，根据以下两种体重变化，根据以下两种体重变化，根据以下两种体重变化，根据以下两种体重变化基本方程，对该人第一阶段中第基本方程，对该人第一阶段中第基本方程，对该人第一阶段中第基本方程，对该人第一阶段中第k k k k周吸收热量进行调周吸收热量进行调周吸收热量进行调周吸收热量进行调节，并求出该人减肥至节，并求出该人减肥至节，并求出该人减肥至节，并求出该人减肥至70kg70kg70kg70kg所需要的周数；计算出所需要的周数；计算出所需要的周数；计算出所需要的周数；计算出体重保持阶段每周宜摄入的热量。体重保持阶段每周宜摄入的热量。体重保持阶段每周宜摄入的热量。体重保持阶段每周宜摄入的热量。无运动情况下增加运动情况下（1）（2）第一阶段第一阶段要求每周体重减少要求每周体重减少1kg1kg，吸收热量减，吸收热量减至下限至下限c cminmin=10000kcal=10000kcal，则有，则有(k)-(k)-(k+1)=1(k+1)=1 (0)-(0)-(k)=k(k)=k （3 3）=1/9000 kg/kcal=1/9000 kg/kcal 由最初每周吸收热量由最初每周吸收热量c(0)=21000kcalc(0)=21000kcal且体重不变且体重不变以及（以及（1 1）式）式 (k+1)=(k+1)=(k)+(k)+a ac(k+1)-c(k+1)-b b1 1(k)(k)得得 在此模型中，跑步的热消耗系数 ，时间 ，则 ，记由（1）和（3）得令c(k+1)=14166-257.4k cmin=10000 得k=16.18,k取16,即第一阶段共16周，按照c(k+1)=14166-257.4k吸收热量，可使体重每周减1kg，至第16周末可减至74kg。Matlab：k=1:1:16;w(k)=90-k;plot(k,w(k),b-.)grid on第二阶段要求每周吸收热量保持下限cmin，继续跑步由(1)得为了求得比重减至70kg所需的周数，将上式递推可得 则 已知w(k)=74,w(k+n)=70，再代入a=1/9000,b=0.0286,cmin=10000，上式为 解得k=4.1635，取整数为k=5，即每周吸收热量保持在下限10000kcal，再有5周体重即可减至70kg.Matlab：k=16:1:21;w(k)=0.9714.(k-16)*(74-38.85)+38.85;plot(k,w(k),-b*)grid on体重保持阶段要维持体重即就是确定每周吸收热量应保持的常数c，使w(k)不变.由(2)式得 若不运动(b1=0.0259,p=0)，易得c=16317kcal，若运动(认为继续跑步，b1=0.0259,b2=0.0027)，则c=18018kcal.本模型是基于一个具体的人而建立的，但也可以推广至一般的人，此时需要改变参数b1，计算方法不变。如果改变了运动方式和时间，则b2也随之改变。不同运动的热消耗系数参见附表1。应用该模型时，可以根据个人情况来调整减肥方案，如改变第一阶段每周减少的体重数、运动方式和时间来调节每周摄入的热量。但大体方案是比较合理不用改动的。代谢消耗的热量还可以用如下方法计算：代谢消耗热量=24ABB:基础代谢率，即每小时每平方米体表所散发的热量千焦数，单位为KJ/m2/h（千焦/平方米/小时）。女性:61+(9.6 x 体重kg)+(1.72 x 身高cm)-(4.7 x 年龄)=基础代谢率男性:67+(13.73 x 体重kg)+(5 x 身高cm)-(6.9 x 年龄)=基础代谢率A:体表面积（m2）A=0.00659H+0.0126W-0.1603 H：身高（cm）W：体重（kg）另外本模型没有考虑代谢和运动之外的其他热量消耗形式，比如劳动，实际生活中每个人或多或少都会从事一定劳动，如体力或脑力劳动，这些活动也会消耗人体能量，如果要更加精确地建立模型，就应该考虑劳动内容对体能的消耗，这时就要增加参数。此外，模型附上了常见食物的热量表（附表2），供减肥者参考，制定每天的饮食计划。附表1：运动热消耗系数运动项目运动项目跑步跑步跳舞跳舞乒乓乒乓自行车自行车(中速中速)游泳游泳50m/min50m/min热量消耗热量消耗 kcal/hkcal/h k kg g7.03.04.42.57.9食品重量 g蛋白质脂肪糖热量大米100 6.7 0.8761420小米100 9.7 1.7771520馒头100 6.1 0.249932面条100 7.4 1.4571134面包1007.35.8931524花生仁10024.348.715.32504绿豆10023.01.557.81328附表2：食物热量表食品食品重量重量g g蛋白质蛋白质脂肪脂肪糖糖热量热量鸡蛋10011.815.01.3783鸭蛋1001314.71781猪肉10016.929.211402牛肉10020.110.2/722鸡肉10024.016.42.71063羊肉10011.128.811290牛奶1003.33.66.1285冰激凌1003.78.623.8785食物食物重量重量g g蛋白质蛋白质脂肪脂肪糖糖热量热量豆浆1004.41.92.1177蛋糕1007.94.2641340巧克力10010.028.757.22320青椒1001.80.22.066蘑菇1002.80.22.496香菇10012.11.859.61265 西兰花1002.40.23.2100豆苗1004.60.83.0150食物食物重量重量 g g 蛋白质蛋白质脂肪脂肪糖糖热量热量紫菜10014.01.236.81112小红萝卜1000.90.23.888豆芽1002.00.261.876黄豆10032.418.820.81600芹菜1000.50.43.176卷心菜1001.20.23.688黄瓜1000.70.22.054茄子1001.00.34.1100u罗思琪：我们小组对待此次数学建模活动，以查资料为基础，剖析建模所要解决的问题，将资料、模型问题、实际问题紧密联系在一起，并加入很多自己的想法，自我觉得活动比较成功，但模型中有些数据还是不够精确，或者说有些我们没有考虑到的因素还未注意到，希望以后的模型能够更具有自己特色，更有实际意义，更具有说服力,并从中学到更多东西。u 冯玉兰：我觉得该减肥计划设计的比较健康，因为它始终将节食和运动相结合，这样在锻炼好身体的情况下还达到了快速减肥的理想效果，比起只节食而言更受大家的青睐。此外，通过这次对减肥模型的建立，我了解到数学在实际生活中有着十分重要的意义，更加激发了自己学习数学的浓厚兴趣。u 陶烨：我们小组建立的模型比较简单，易于理解，同时也比较符合人们减肥的实际，循序渐进，如果能严格按照该方案应该可以达到减肥目的。研究的实例中数据大多是整数，比较易于计算，但实际中减肥者的相关数据可能就复杂了。缺点是有关参数可能不是很准确，考虑的情况可能不太全面，还有待改进。u 赖娅婕：通过这次数学建模减肥课题的研究使我对数学知识的实际应用有了更好的认识。在这次的课题研究中，我们小组所作出的减肥模型中运用到了差分方程以及matlab等知识点。很好的通过图形去分析问题，我觉得这是我们小组的模型中的优点。但在建模过程中仍存在着数据处理的问题。u 全星燃：在做减肥模型时，我小组原计划是 第一阶段通过控制饮食及运动较少体重；但是通过数据计算发现，这么做进入第二阶段时，无法用到差分方程，所以我们改了方案。我个人认为，减肥贴合实际生活，就应该选择原计划这种方案，按照要求我们改变了方案。
