土木工程制图第3章 点、线、面.ppt

3.1 3.1 点的投影点的投影 3.2 3.2 直线的投影直线的投影 3.3 3.3 平面的投影平面的投影 本章小结本章小结结束放映结束放映 P Pb A AP P采用多面投影采用多面投影。过空间点过空间点A的投射线的投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B B3 3B B2 2B B1 1 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a 3.1 3.1 点的投影点的投影解决办法？解决办法？H HW WV V二、点的三面投影二、点的三面投影投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W W面）面）投影轴投影轴O OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y YW WH HV VO OX XZ ZY Y空间点空间点A A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A A的正面投影的正面投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影注意：注意：空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。a aa A AX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开W WV VH HaaxazZ Zaa yayaX XY Y Y YO O X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 点的投影规律点的投影规律:a aOXOX轴轴 aax=a ax=aay=xaazayY YZ Zaza X XY YayO Oaaxaya a a OZOZ轴轴=y=A Aa（A A到到V V面的距离）面的距离）a az=x=A Aa（A A到到W W面的距离面的距离）a ay=z=A Aa（A A到到H H面的距离面的距离）a aza aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下。下。b aa a b bX XY YY YZ Zo o()a cc 重影点：重影点：空间两点在某空间两点在某一投影面上的一投影面上的投影投影重合为一点重合为一点时，则时，则称此两点为称此两点为该投影该投影面面的重影点。的重影点。a a c 被挡住的投被挡住的投影加影加()()A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？A、C为为H面的重影点面的重影点aa a b b b3.2 3.2 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点确定一条直线，将两点的两点的同名投影同名投影用直线连接，用直线连接，就得到直线的同名投影。就得到直线的同名投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABAB.cos A AB Bab A AM MB Babm 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投影面其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。间的相对位置。投影面平行线投影面平行线X XZ ZbaaabbO OY YY Y水平线水平线实长实长在其平行的那个投影面在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面反映直线与另两投影面 倾角的实大。倾角的实大。另两个投影面上的投影另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴，平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投映直线与它所平行的投 影面之间的距离。影面之间的距离。投影特性：投影特性：V VH HabAaaBbbW W判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线与与H面的夹角面的夹角:与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长 实长实长 b a aba b b aa b ba 直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法：反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性:a b a(b)a b c(d)cdd c e f efe(f)一般位置直线一般位置直线Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。的实长。投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b 例例：试根据各种位置直线的投影特性试根据各种位置直线的投影特性判断判断三棱三棱锥上六条锥上六条 棱边为什么位置的直线。棱边为什么位置的直线。AB为为 ；BC为为 ；AC为为 ；SB为为 ；SA为为 ；SC为为 。水平线水平线VXYOZSABCXYHYWZObbsacbsacsac水平线水平线侧垂线侧垂线侧平线侧平线一般位置直线一般位置直线一般位置直线一般位置直线VXYOZ(3)求一般位置直线段的实长和倾角求一般位置直线段的实长和倾角abababAB 求解一般位置直线段的实长及倾角是画法几何求解一般位置直线段的实长及倾角是画法几何的基本问题之一，也是工程上的常见问题。的基本问题之一，也是工程上的常见问题。解决方法：解决方法：直角三角形法直角三角形法直角三角形法的作图要领：直角三角形法的作图要领：1、用直线段在某一投影面用直线段在某一投影面P上的上的投影长投影长作作为为一条一条直角边直角边；2、以直线段两端点、以直线段两端点在在另一投影面另一投影面上的上的坐坐标差标差为为另一条另一条直角边直角边；3、所作直角三角形、所作直角三角形的的斜边斜边即即为为直线段的直线段的实长实长。4、图中直角三角形、图中直角三角形中投影直角边与实长中投影直角边与实长所形成的所形成的锐角锐角即即为为直直线段线段对对P的的夹角夹角。VOYZXABababab 知二求二：知二求二：从从图中可图中可看出，已知看出，已知实长实长、投影长投影长、坐标差坐标差、倾角倾角中的任两个，就可求出另外两个。中的任两个，就可求出另外两个。注意：注意：直角三角形的直角三角形的直角边不能用错！直角边不能用错！VOYZXABaababb注意注意对应关系对应关系!ABabZY a b X a b VOXbABaab 例例1 1：求直线的实长及对：求直线的实长及对H面的夹角面的夹角 角。角。OXabab|zA-zB|AB的实长的实长|zA-zB|zA-zB|V OXbABaab 例例1：求直线的实长及对：求直线的实长及对H面的夹角面的夹角 角。角。(解法解法2)OXabab|zA-zB|AB的实长的实长|zA-zB|zA-zB|abababAB的实长的实长 例例2：求直线的实长及对：求直线的实长及对V面的夹角面的夹角 角。角。VOXbABaabOXabab|yA-yB|AB的实长的实长|yA-yB|AB的实长的实长 a ba b|yA-yB|a bcacX XabcY YY YbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W二、二、直线与点的相对位置直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上,则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同名投影同名投影上。上。点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c:c b=a c:c b 定比定理定比定理例例1 1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?例例2 2：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka b k k aa b bkk 三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉（异面）交叉（异面）。两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX X 例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。a b c d cbadd b a c b d c a abcdc a b d 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcabd b a c d kk cd k kd 例例1 1：过：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 例例2 2：判断直线：判断直线AB、CD的相对位置。的相对位置。c abdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？交点不符合交点不符合空间一个点空间一个点 的投的投 影特性。影特性。判断方法？判断方法？应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影 两直线交叉两直线交叉 为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！交点不符合一个交点不符合一个 点的投影规律！点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBbaccAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1 投影特性投影特性：同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个不符合空间一个点的投影规律点的投影规律。“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其，用其可帮助判断两直线的空间位置。可帮助判断两直线的空间位置。2 21 11(2)1(2)4 43(4)3(4)3 33(4)3(4)3 34 4 4.两直线垂直两直线垂直 讨论其中一条直线为投讨论其中一条直线为投 影面平行线的情况影面平行线的情况BC/P AB BCab bc直角投影定理直角投影定理 EFABCabcPabcdabcdab cd 已知已知AB/HAB/H、ABAB CDCD，求求cdcd 。例1 dd 例例2：已知等腰三角形：已知等腰三角形ABC的腰为的腰为AB，它的它的底在正平线底在正平线BD上，求等腰三角形的投影。上，求等腰三角形的投影。bb c a ac例例3：已知两交叉直线：已知两交叉直线AB、CD,其中其中CD为铅垂线，为铅垂线，AB为一般位置直线，求两直线之间的距离。为一般位置直线，求两直线之间的距离。c abdabc(d)kk公垂线公垂线水平线水平线线段线段mk即两直线即两直线之间的距离之间的距离m m m m 例例4：已知线段：已知线段AC为正方形为正方形ABCD的一对角线，另一的一对角线，另一 对角线对角线BD为侧平线，试作正方形的投影。为侧平线，试作正方形的投影。Z Z Y YaO OX XccY Yb a b .中点中点AC实长实长c d a d bd3.3 3.3 平面的投影平面的投影一、一、平面的表示法平面的表示法 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线平面平面图形图形c abca b caba b c baca b c 二、各种位置平面及其投影特性二、各种位置平面及其投影特性 垂直垂直 倾斜倾斜 投投 影影 特特 性性平面平行投影面平面平行投影面投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面 实形性实形性 类似性类似性 积聚性积聚性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性 平行平行 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 一般一般位置位置平面平面 特殊特殊位置位置平面平面 垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面 c c 投影面垂直面投影面垂直面 为什么？为什么？abca b b a 类似性类似性 类似性类似性 积聚性积聚性 铅垂面铅垂面 投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面 积聚性积聚性 积聚性积聚性 实形性实形性 水平面水平面 投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。a b c a c b abc 一般位置平面一般位置平面 三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：a c b c a abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影 及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面的正面投影及侧面 投影。投影。思考：此题有几个解思考：此题有几个解?4545 三、平面内的点和直线三、平面内的点和直线 位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满足的条件：平面上取任意直线平面上取任意直线 M MN NA AB BM M若一直线过平面上若一直线过平面上的两点，则此直线的两点，则此直线必在该平面内。必在该平面内。若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点且平行于该平面一点且平行于该平面上的另一直线，则此上的另一直线，则此直线在该平面内。直线在该平面内。abcb c a d d例例1 1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试在所确定，试在 平面内任作一条直线。平面内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：有多少有多少 解？解？有无数解！有无数解！n m nmabcb c a 例例2 2：在平面：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm10mm。n m nm10 10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1 1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。baca k b c 面上取点的方法：面上取点的方法：d d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解 首先面上取线首先面上取线 kabca b k c kbckada d b c k b例例2 2：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c dede10 1010 10mm例例3 3：在：在ABCABC内取一点内取一点M M，并使其到并使其到H H面面V V面的面的 距离均为距离均为10mm10mm。bcX XbcaaO O4.4.平面内的特殊位置直线平面内的特殊位置直线属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线例例过点过点C在该平面内作水平线在该平面内作水平线abcbac分析分析直线的属性直线的属性L L ABCABC水平线水平线投影投影投影投影/OX/OX/OX/OXddCDCD为所求为所求例：已知例：已知ACAC为正平线，完成平面四为正平线，完成平面四边形的水平投影边形的水平投影cdabcdabHA AB BKklLP 1abAB P KL PAB/H KL AB 平面内垂直于该平面的投影面平行线平面内垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为平面的最大斜度线的直线，称为平面的最大斜度线KLKL为平面内对为平面内对H H面的面的最大斜度线最大斜度线平面的最大斜度线（最大坡度线）平面的最大斜度线（最大坡度线）投影特性投影特性投影特性投影特性 klkl abab(直角投影定理）直角投影定理）KLKL与与H H面的倾角面的倾角 即为平面即为平面P P与与H H面面的倾角的倾角 KL KL 是平面内对是平面内对H H面面倾角倾角最大的直线最大的直线HA AB BKklLP 1ab例例1 1：求平面：求平面ABCABC对对H面和面和V面的倾角面的倾角 ,。m mc a b cabH面最大面最大斜度线斜度线ZADadd d V面最大面最大斜度线斜度线e eYAEa e 例例2 2：试过水平线试过水平线AB作一与作一与H面成面成30倾角的平面。倾角的平面。a b bac ZAD30c