完美正方形.ppt

(1)(1)平行四边形有哪些性质平行四边形有哪些性质平行四边形有哪些性质平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边矩形与平行四边矩形与平行四边矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质形比较有哪些特殊的性质形比较有哪些特殊的性质形比较有哪些特殊的性质?平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形边边边边:角角角角:对角线对角线对角线对角线:对边平行且相等对边平行且相等对边平行且相等对边平行且相等对角相等对角相等对角相等对角相等,邻角互补邻角互补邻角互补邻角互补对角线互相平分对角线互相平分对角线互相平分对角线互相平分矩形矩形矩形矩形角角角角:四个角是直角四个角是直角四个角是直角四个角是直角对角线对角线对角线对角线:对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分边边边边对边平行且相等对边平行且相等对边平行且相等对边平行且相等菱形的性质菱形的性质菱形的性质菱形的性质菱形的性质边边边边:四条边相等四条边相等四条边相等四条边相等对角线对角线对角线对角线:互相垂直平分互相垂直平分互相垂直平分互相垂直平分分别平分两组对角分别平分两组对角分别平分两组对角分别平分两组对角角角角角:具有平行四边形一切性质具有平行四边形一切性质具有平行四边形一切性质具有平行四边形一切性质对角相等对角相等对角相等对角相等,邻角互补邻角互补邻角互补邻角互补 创设情景创设情景一一问题问题:从这个图形中你能得到什么？从这个图形中你能得到什么？你是怎样想到的？你是怎样想到的？9090 当当 =90时时,这个四边形还是菱形这个四边形还是菱形,但它是特殊的但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.问题问题:情景二情景二图中图中图中图中CDCD在移动时，这个图形始终是怎样的图形在移动时，这个图形始终是怎样的图形在移动时，这个图形始终是怎样的图形在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（？（？（？（CDCD在移动的过程中始终保持与在移动的过程中始终保持与在移动的过程中始终保持与在移动的过程中始终保持与ABAB平行）平行）平行）平行）当当当当CDCD移动到移动到移动到移动到C C D D 位置，且位置，且位置，且位置，且 ADAD ABAB时，此时，此时，此时，此时的图形还是矩形吗？时的图形还是矩形吗？时的图形还是矩形吗？时的图形还是矩形吗？A AB BC CD DA AB BC C D D 当当当当ADADABAB这个四边形是矩形这个四边形是矩形,它是特殊的矩形是它是特殊的矩形是一组邻边相等的矩形也是正方形一组邻边相等的矩形也是正方形.正方形的概念：正方形的概念：_ 的平行四边形是正方形。的平行四边形是正方形。_的菱形是正方形的菱形是正方形_的矩形是正方形的矩形是正方形 定义法定义法菱形法菱形法矩形法矩形法有一组邻边相等且有一个角是直角的有一组邻边相等且有一个角是直角的有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。也是特殊的菱形。有一个角有一个角是直角是直角有一组邻边有一组邻边相等相等有一组邻边有一组邻边相等相等有一个角是有一个角是直角直角有一组邻边相等且有有一组邻边相等且有一个角是直角一个角是直角正方形、矩形、菱形及平正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间的关系行四边形四者之间的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正正方方形形八年级八年级 数学数学第第十十九九章章 四四边边形形对对称称性性特特征征正方形是正方形是正方形是正方形是中心对称图形中心对称图形中心对称图形中心对称图形,对称中心为点对称中心为点对称中心为点对称中心为点OO它也是它也是它也是它也是轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形,有有有有4 4条对称轴条对称轴条对称轴条对称轴(1)(1)它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)(2)具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等(3)(3)具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角OABCD(A)(B)(C)(D)正方形的正方形的 两条对角线互相两条对角线互相垂直垂直平分平分且且相等相等,每条对角线每条对角线平分一组对角平分一组对角四条边都相等四条边都相等，对边平行，对边平行四个角都是直角四个角都是直角边边对角线对角线角角正正方方形形的的性性质质OABCD学一学学一学例例1.如图，在正方如图，在正方ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于相交于O，1)图中有多少个等腰直角三角形图中有多少个等腰直角三角形2)说出图中相等的线段、相等的角。说出图中相等的线段、相等的角。3)求求ABD、DAC、DOC的度数。的度数。OABCD小试牛刀小试牛刀1.正方形正方形ABCD，对角线交于，对角线交于0，1)若若AB=2，则，则AC=_,OA=_,周长周长_，面积，面积_。2)若若OB=2，则，则AC=_,AB=_,周长周长_，面积，面积_。3)若若AC+BD=8，则，则AC=_,AB=_,正方形面积正方形面积_。2.已知正方形的面积为已知正方形的面积为9cm,它的周长为它的周长为 _.3.正方形的边长为正方形的边长为a,当边长增加当边长增加1时时,其面积增加了其面积增加了_.OABCD1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等、四个角相等.B、对角线互相垂直、对角线互相垂直.C、对角互补、对角互补.D、对角线相等、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等、四条边相等.B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角.D、对角线相等、对角线相等.BD议一议议一议 用用10米长的篱笆围成一个四边形菜地，如米长的篱笆围成一个四边形菜地，如何确定面积最大的四边形的形状，面积为何确定面积最大的四边形的形状，面积为多少？多少？在长度给定的情况下，围成的四边形中，在长度给定的情况下，围成的四边形中，正方形的面积最大。正方形的面积最大。问题问题:例例例例2 2、如图，四边形、如图，四边形、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD是正方形，延长是正方形，延长是正方形，延长是正方形，延长BCBC到到到到E E，使使使使CE=ACCE=AC，连接，连接，连接，连接AEAE，交，交，交，交CDCD于于于于F F，求，求，求，求E E，AFCAFC的的的的度数度数度数度数.A AB BD DC CE EF F练习：练习：练习：练习：1 1、如图，正方形、如图，正方形、如图，正方形、如图，正方形ABCDABCD中，中，中，中，BE=BDBE=BD，求，求，求，求E EA AB BC CD DE E练练:正方形正方形ABCD中，中，M为为AD中点，中点，MEBD于于E，MFAC于于F,若若ME+MF=8cm，则，则AC=_.课堂练习课堂练习例例3.已知正方形已知正方形ABCD中中,AC=10,P是是AB上一点上一点,PEAC于于E，PFBD于于F,则则PE+PF=_.53016cm2.以正方形以正方形ABCD的一边的一边DC向外作等边向外作等边DCE,则则AEB=AEB=_._._._.PABCDEFOEABCDMABCDEFO分析：分析：PE=AE，PF=OEPEPFOA正方形正方形ABCD中中DAF=25,AF交对角线交对角线BD于于E,交交CD于于F,求求 BEC的度数的度数.ABCDEF若若DCE=30则则DAF=思考思考思考思考小结小结 1.正方形是中心对称图形，轴对称图形。正方形是中心对称图形，轴对称图形。2.正方形的四条边都相等。正方形的四条边都相等。3.正方形的四个角都相等正方形的四个角都相等。4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角。且每一条对角线平分一组对角。OABCD平行四边形平行四边形菱形菱形矩形矩形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角有一个角是直角有一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质：正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点的直线都是它的对称轴的直线都是它的对称轴.正方形的四条边都相等，四个角都是直角正方形的四条边都相等，四个角都是直角正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.学以致致用小红在店里看到一块漂亮的方纱巾，小红在店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买。但她拿起来看时感觉不太方。非常想买。但她拿起来看时感觉不太方。商店老板看她犹豫的样子，马上过来商店老板看她犹豫的样子，马上过来拉起一组对角，让小红看这组对角是拉起一组对角，让小红看这组对角是否对齐，小红还有些犹豫，老板又拉否对齐，小红还有些犹豫，老板又拉起另一组对角，让小红检验。小红终起另一组对角，让小红检验。小红终于买了这块纱巾。你认为小红买的这于买了这块纱巾。你认为小红买的这块纱巾真是正方形吗？你能帮她检验吗？块纱巾真是正方形吗？你能帮她检验吗？学以致致用分析：要判断是否是正方形，关键对折后分析：要判断是否是正方形，关键对折后会得到什么条件。会得到什么条件。解：根据老板的方法，只能反映纱巾的两解：根据老板的方法，只能反映纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，所以该组对角分别相等，四条边都相等，所以该纱巾是菱形，但不一定是正方形。纱巾是菱形，但不一定是正方形。由三条公路围成的一个区域为直角三角形形状.工程队要想在区域内划一块正方形的地块作为新小区,且让小区足够大,请你来帮工程队设计一下.学以致致用A AB BC CD DE EF F如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.（1）AE与BF相等吗？为什么？（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。例例2.如图四边形如图四边形ABCD和和DEFG都是正方形，都是正方形，试说明试说明AE=CG解：解：解：解：因为四边形因为四边形因为四边形因为四边形ABCDABCD是正方形是正方形是正方形是正方形根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得 AD=CDAD=CD又知四边形又知四边形又知四边形又知四边形DEFGDEFG也是正方形也是正方形也是正方形也是正方形所以所以所以所以 DE=DGDE=DG又因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为9090所以所以所以所以ADEADEEDCEDCCDGCDGEDCEDC所以所以所以所以ADEADECDGCDG所以三角形所以三角形所以三角形所以三角形ADEADE可以看成是由三角形可以看成是由三角形可以看成是由三角形可以看成是由三角形CDGCDG绕着点绕着点绕着点绕着点D D顺时针顺时针顺时针顺时针旋转旋转旋转旋转 9090 得到。得到。得到。得到。AED CGD所以所以所以所以AE=CGAE=CGA AB BC CD DE EF FGG巩固练习：巩固练习：如图，四边形如图，四边形ABCD和和AEFG都是正方形，都是正方形，求证：求证：BE=DGABCDEFG例例3如图所示，正方形如图所示，正方形ABCD中，中，P为为BD上一点，上一点，PEBC于于E，PFDC于于F。试说明：。试说明：AP=EFABCDPEF解解:连接连接PCPEPEBC，PFDC而四边形而四边形ABCD是正方形是正方形FCE=90FCE=90四边形四边形PECF是矩形是矩形PC=EF又又四边形四边形BAPCBAPC是以是以BDBD为轴的轴对称图形为轴的轴对称图形AP=PCAP=EF例例4已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线延长线 上一点，上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M，求证：求证：MFD45分析：分析：欲证欲证MFD45，由于，由于MDF是直角三角形是直角三角形,只须证只须证MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要证即只要证 _=_要证要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等，大家只须证得哪两个三角形全等?试一试试一试看能不能完成证明看能不能完成证明?CMDADF例4已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线上一点，延长线上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M，求证：求证：MFD45证明：证明：CEAF ADCAEM90 又又CMDAME 12又又CDAD，ADFMDCRtCDM RtADF(AAS)DM=DF 下面的证明请大家完成下面的证明请大家完成练习练习如图如图(5)，在，在AB上取一点上取一点C，以，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正为正方形的一边在同一侧作正方形方形AEDC和和BCFG连结连结AF、BD延长延长BD交交AF于于H。求证：求证：(1)ACFDCB (2)BHAF 证明：证明：例例5如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O，分析：分析：要证明要证明BMCN，MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。AB=BC，1=2=45 AM=BNABMBCN正方形正方形ABCDOM=ON OMNONM45活动与探索活动与探索ABCDEF如图正方形如图正方形ABCD的边长为的边长为1，E、F分别为分别为BC、CD上的点，若上的点，若BE+DF=EF，求证：求证：EAF=450G变式：如图，正方形变式：如图，正方形ABCD的边长为的边长为4，点，点E、F分别在分别在BC、CD上，上，EAF=450，CEF的的面积为面积为 ，求，求AEF的面积。的面积。在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）思维拓展思维拓展如何设计花坛？如何设计花坛？八年级八年级 数学数学第第十十九九章章 四四边边形形数一数图中正方形的个数，你发现了什么数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多多多多 （）个（）个（）个（）个第第n个图中正方形有个图中正方形有 个个3n-1长见识长见识八年级八年级 数学数学第第十十九九章章 四四边边形形练习：练习：在在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中点的中点,DEAB,DEAB,DFAC,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.1)1)试说明试说明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一个条件只添加一个条件,使四边形使四边形EDFAEDFA是正方形是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法请你至少写出两种不同的添加方法.(.(不另外不另外添加辅助线添加辅助线,无需证明无需证明)对边平行且相等对边平行且相等每条对角线平分每条对角线平分一组对角一组对角对角线相等对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相平分对角线互相平分四个角都是直角四个角都是直角对角相等对角相等四条边都相等四条边都相等性质性质正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四平行四边形边形图形图形小结小结