直线和平面所成角.ppt
直线和平面所成的角直线和平面所成的角如图如图,点点Q是是是点是点P到平面的垂线段到平面的垂线段pQ过一点向平面引垂线，垂足叫做过一点向平面引垂线，垂足叫做这这点在这个平面上的射影；点在这个平面上的射影；这点与垂足间的线段叫做这点与垂足间的线段叫做这点到这这点到这个平面的垂线段个平面的垂线段。一一.斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影.垂线、斜线、射影垂线、斜线、射影()垂线垂线点点P在平面在平面 内的射影内的射影线段线段PQ（2 2）斜线）斜线 一条直线和一个平面相交，但不和这个平一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线斜线斜线和平面的交点叫做斜线和平面的交点叫做斜足斜足。从平面外一点向平面引斜线，从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的到这个平面的斜线段斜线段PR问题问题1：平面外一点到一个平面的垂线段：平面外一点到一个平面的垂线段有几条？斜线段有几条？有几条？斜线段有几条？PRQST如图：是斜线如图：是斜线AC在内的射影，线段在内的射影，线段BC是是ACB过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜斜线段在这个平面上的射影线段在这个平面上的射影()射影射影直线直线BC斜线段斜线段AC在内的射影在内的射影ACBO从平面外从平面外一点一点向向这个平面所引的垂线这个平面所引的垂线段和斜线段中，段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短2 2射影长定理射影长定理例例1.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB外外中中垂垂已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的三条侧棱的三条侧棱PA=PB=PCPA=PB=PC试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形为三角形ABC的的外心外心已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的三条的三条侧棱侧棱PA,PB,PCPA,PB,PC两两垂直两两垂直,试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC的射影的射影的位置？的位置？PABCO O为三角形为三角形ABCABC的的垂心垂心DO已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的的顶点顶点P P到底面三角形到底面三角形ABCABC的三条边的距离相等的三条边的距离相等,试判断点试判断点P P在在底面底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCO O为三角形为三角形ABCABC的的内心内心OEF二、直线和平面所成的角：二、直线和平面所成的角：斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。平面所成的角。规定：规定：一条直线垂直于平面，它们一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角所成的角所成的角所成的角是是是是0 0 的角的角的角的角直线和平面所成角直线和平面所成角的范围是的范围是0，90 PAO斜线斜线斜足斜足射影射影3、如何作出直线与平面、如何作出直线与平面所成的角所成的角?过直线与平面交点外任意一点过直线与平面交点外任意一点,作平面的垂作平面的垂线线,则斜足与垂足之间的连线则斜足与垂足之间的连线AO与直线与直线PA之间所成的之间所成的锐角锐角(直角或零角直角或零角)就是就是直线与直线与平面所成的角平面所成的角.注意区别注意区别两条异面直线两条异面直线所成的角是所成的角是(00,900直线与平面直线与平面所成角所成角斜线与平面斜线与平面所成角所成角2、注意、注意:PAO例例1:如图如图,正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中中,求求(1)直线直线A1B与平面与平面ABCD所成的角所成的角;(2)直线直线A1B与平面与平面BCC1B1所成的角所成的角;(3)直线直线BD1与平面与平面AD1所成的角的正切值所成的角的正切值.ABCDA1B1C1D1 12.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB练练习习4、求斜线与平面所成的角一般步骤（三步曲）、求斜线与平面所成的角一般步骤（三步曲）（1）作图）作图。作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜。作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成 的锐角）。的锐角）。作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线。作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线。（2）证明）证明。证明某平面角就是斜线和平面所成的角。证明某平面角就是斜线和平面所成的角。（3）计算）计算。通常在垂线段，斜线段和射影所组成的直角三角形。通常在垂线段，斜线段和射影所组成的直角三角形中计算。中计算。PP1Q一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”关键：关键：确定斜线在平面内的确定斜线在平面内的射影射影.例例2如图如图,在长方体在长方体ABCDABCDA AB BC CD D中，中，AAAA=3,AB=4,BC=5,=3,AB=4,BC=5,求直线求直线A AC C和平面和平面ABCDABCD所成的角的正弦值所成的角的正弦值练习练习2.如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,求直线求直线A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角.ABCDA1B1C1D1 1O3.如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中点的中点（1）证明：）证明：PA/面面EDB（2）求）求EB与底面与底面ABCD所成角的正切值所成角的正切值PDCABE
