第一章网络理论基础(3)精简版.ppt

1-8 网络图论网络图论的基本知识的基本知识1 网络网络(电路电路)的的图图（线图（线图Graph）主要主要复习复习:节点、支路、路径、回节点、支路、路径、回路、树、割集路、树、割集P43-P47）众所周知众所周知，电路（网络）的，电路（网络）的约束分成两约束分成两类类，一为，一为元件约束元件约束，一为，一为结构约束结构约束。结构构约束是束是电路的路的连接接结构构对电网网络中中的的电压和和电流的制流的制约关系（关系（KCLKCL，KVLKVL）,它与它与元件的性元件的性质无关。无关。因此就用因此就用抽象的点抽象的点来代替原来的来代替原来的节点。用点。用线段段来来代替代替原来的原来的支路支路，这样得到的一个由得到的一个由节点点和和支路支路组成的成的图，称，称为电路的路的图。既如此，讨论这部分关系时，就既如此，讨论这部分关系时，就没没有必要把元件画出有必要把元件画出。下面复下面复习网网络图论的一些的一些术语。z图图(Graph)图是图是拓扑拓扑（Topology,Topological Graph）图的简称，是）图的简称，是节点和支路节点和支路的一个集合。的一个集合。:未赋以方向的图称为未赋以方向的图称为无向图无向图。只有。只有部部分支路赋以方向分支路赋以方向的图称为的图称为混合图混合图。所。所有支路都赋以方向的图称为有支路都赋以方向的图称为有向图。有向图。图中图中的的方向表示方向表示原电路中原电路中支路电压支路电压和和电流的关联参考方向电流的关联参考方向:图并图并不反映不反映支路之间的支路之间的耦合耦合关系关系!二端二端元件的图元件的图三端三端元件的图元件的图双口双口元件的图元件的图元件元件的图的图网络网络的图的图网络网络拓扑拓扑i1i2i3i1i2i3i1i2i3抽象抽象 i=0连接连接性质性质电路图电路图抽象抽象图图R2CLuSR1抽象抽象抽象抽象无无向向图图有有向向图图(1)图图的基本概念的基本概念(名词名词和和定义定义)1）图图 G=支路，节点支路，节点连通连通图图图图不不(非非)连通图连通图是节点和支路节点和支路的一个集合2）连通连通图图如果图如果图G中的中的任何两个节点之间任何两个节点之间都都至少存在一条路径至少存在一条路径，则，则G称为称为连通图连通图(Connected Graph)，否否则称为则称为非连通图非连通图。3）有向有向图图未赋以方向的图称为未赋以方向的图称为无向图无向图。只有只有部分支路赋以方向部分支路赋以方向的图称的图称为为混合图混合图。所有支路都赋以方。所有支路都赋以方向的图称为向的图称为有向图。有向图。由电路中的由电路中的多口元件多口元件造成的造成的非连通非连通图图，可以把，可以把不连通不连通的各部分中的任的各部分中的任一节点一节点(一部分只能取一个节点一部分只能取一个节点)之之间间假设有一条短路线相连假设有一条短路线相连。把这些。把这些假设短路线连接的节点合并成一个假设短路线连接的节点合并成一个节点节点，这样所得的图称为，这样所得的图称为铰链图铰链图(Hinged Graph)。z铰链铰链图图+-+-抽象抽象连通连通图图抽象抽象不连通不连通图图不含自环不含自环允许允许孤立节点孤立节点存在存在4）子子图图如果图如果图G1中的每个节点中的每个节点和每条和每条支路都是支路都是G图中的一部分图中的一部分，则，则称称G1为为G 的子图的子图(Subgraph)。GG1G2(5)路径路径（简称路）（简称路）从图的某一个节点出发，沿着从图的某一个节点出发，沿着一些支路一些支路连续移动到达另一个连续移动到达另一个节点节点，这样的，这样的一系列支路一系列支路称为称为图的一条路径。图的一条路径。一般一般出发出发的节点称为的节点称为始节点始节点，到达到达的节点称为的节点称为终节点终节点。支支路和路和节点节点只过一次。只过一次。(6)(6)回路回路1)连通；连通；2)每每个个节点关联支路数节点关联支路数恰好恰好为为2。12345678253127589回路回路不是回路不是回路回路回路L是连通图是连通图G的的一个子图一个子图。具有下述性质具有下述性质(7)树树(Tree)树树T是是连通图连通图G的的一个子图一个子图，具有下述性质：具有下述性质：1)连通；连通；2)包含包含G的的所有节点；所有节点；3)不包含回路。不包含回路。l树是联接树是联接连通图全部节点连通图全部节点的的最少支路集合最少支路集合。余树余树或补树：或补树：G中中对应树对应树T的余子图的余子图称为称为余树余树或补树或补树(Cotree).图中图中虚线支路虚线支路为树为树163452163452163452树不唯一树不唯一树支树支(Tree Branch or Twig)：属于树的支路属于树的支路连支连支(Chord or Link)：属于属于G而而不属于不属于T的支路的支路16个个对于对于一个选定的树一个选定的树树支树支数数 bt=n-1连支连支数数 bl=b-(n-1)单连支单连支回路（回路（基本基本回路）回路）1234567145树支数树支数 4连支数连支数 3单连支回路单连支回路独立回路独立回路单连支回路单连支回路独立回路独立回路（8）割集割集 与与广义节点广义节点（闭合面闭合面）的概）的概念相关联。是被念相关联。是被闭合面所切闭合面所切割割的支路集合。的支路集合。是是把一个连通图恰好分成两把一个连通图恰好分成两部分部分的的最少支路集合最少支路集合。因此。因此与与节点节点有关的有关的关系对割集关系对割集也也成立成立。1)把把Q 中中全部支路全部支路移去，将图移去，将图恰恰好好分成分成两个两个分离部分；分离部分；2)保留保留Q 中的中的一条支路一条支路，其余支，其余支路都移去，路都移去，G还是还是连通连通的。的。432156134256Q1 2,5,4,6 割集割集Q是连通图是连通图G中的中的一个支路一个支路集合集合，具有下述性质：，具有下述性质：432156432156432156Q4 1,5,2 Q3 1,5,4Q2 2,3,6 单树支单树支割集（割集（基本基本割集）割集）432156432156432156Q3 1,5,3,6 Q2 3,5,4Q1 2,3,6 432156Q4 1,5,2 432156Q3 1,5,3,6 单树支割集单树支割集独立割集独立割集单树支割集单树支割集独立割集独立割集割集割集概念的解释（续）概念的解释（续）12341，2，3，4 割集割集三个三个分离部分分离部分12341，2，3，4 割集割集4保留保留4支路，支路，图不连通图不连通的。的。1-9图的图的矩阵表示矩阵表示及其及其性质性质z有向图拓扑有向图拓扑性质的描述性质的描述（1）关联矩阵关联矩阵(Incidence Matrix)（2）回路回路矩阵矩阵(Loop Matrix)（3）割集割集矩阵矩阵(Cutset Matrix)（4）连通图连通图的主要关联矩阵的主要关联矩阵的关系的关系(1)关联关联矩矩阵阵A节点节点支路支路关联矩阵关联矩阵Aa，又称，又称为为全阶点全阶点关联矩阵（或关联矩阵（或增广关增广关联联矩阵）。其中矩阵）。其中行行：对应：对应节节点；点；列列：对应：对应支支路，流路，流出出为正，流为正，流入入为负，为负，无无关为关为零零。Aa中中任意任意去掉一行去掉一行剩下的剩下的行行线性线性无关无关，去掉，去掉行对应行对应的的节点节点就做就做参考参考节点（节点（简称简称参考点）参考点）。称为。称为降阶降阶关关联矩阵。简称联矩阵。简称关联矩阵关联矩阵，记为，记为A，（AI=0 对应独立的对应独立的n-1个个独立独立的的KCL方程方程），），A的秩的秩为（为（N-1），），Rank（Aa）=Rank（A）=n-1。用矩阵形式描述用矩阵形式描述节点节点和和支路支路的关联性质的关联性质aijaij=1 有向有向支路支路 j 背离背离 i 节点节点aij=-1 有向有向支路支路 j 指向指向 i 节点节点aij=0 i节点与节点与 j 支路支路无关无关关联关联矩阵矩阵Aa=aijn b节点数节点数 支路数支路数A=aijn b节点数节点数 支路数支路数645321Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支支节节 1-1 0 0 0-1 1 0 0 0 1-1-1 0 0 1 0 1 0-1 1 0-1 0设设为参考节点为参考节点-1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1称称A为（降阶）为（降阶）关联关联矩阵矩阵(n-1)b，简称，简称关联关联矩矩阵；阵；表征独立表征独立节点与支路节点与支路的的关联关联（连接）性质。（连接）性质。l(降阶降阶)关联矩阵关联矩阵A若把若把Aa中的中的任一行任一行划去划去(相当于相应的相当于相应的节点选作节点选作参考点参考点)，剩下的，剩下的(n1)b矩矩阵足以表征有向图中支路与节点阵足以表征有向图中支路与节点的的关关联联关系，并且关系，并且(n1)行是线性无关行是线性无关的。的。这种这种(n1)b阶矩阵称为阶矩阵称为降阶降阶(Reduced)关联矩阵，简称关联矩阵，简称关联矩阵关联矩阵。l关联矩阵关联矩阵A A的任何阶的任何阶方子矩阵方子矩阵A A0 0，detdet A A0 0为为0 0、1 1或或1 1。幺模幺模矩阵矩阵(Unimodular Matrix)一个矩阵如果它的一个矩阵如果它的每个方子每个方子矩矩阵阵的的行列式值行列式值均为均为1 1、1 1或或0 0，则称，则称该矩阵为该矩阵为单模矩阵单模矩阵或或幺模矩阵幺模矩阵 。对对n个节点的连通图个节点的连通图G，G的关联矩的关联矩阵阵A的的一个一个(n1)阶子方阵非奇异阶子方阵非奇异的的充分必要条件充分必要条件是此是此子方阵的列子方阵的列对对应图应图G的的一个树的树支一个树的树支。有关有关 的定理的定理:一个树的关联矩阵树的关联矩阵 是非奇是非奇异的异的，且:大子矩阵大子矩阵(Major Submatrix):At为大子矩阵大子矩阵。一个秩为一个秩为n的的nm矩阵的矩阵的大子大子矩阵矩阵定义为该矩阵定义为该矩阵阶数为阶数为n的非的非奇异子矩阵奇异子矩阵。树的数目树的数目的计算方法的计算方法:比内柯西(Binet-Cauchy)定理 设矩阵B为mn阶矩阵，C是nm阶矩阵，且mn，则det(BC)的对应的对应大子式大子式的乘积的乘积树的数目的计算方法 结论：结论：设图图G是连通连通的，其关联矩阵为A，则全部树的数目全部树的数目为 。即即22)1(=非零大子式）的（全部非零大子式A)det(=树的数目树的数目AAT设设:645321-1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1支路电压支路电压支路电流支路电流节点电压节点电压矩阵形式的矩阵形式的KCLAi=-1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1654321iiiiii645321A i=0矩阵形式矩阵形式KVL645321（2）基本回路矩阵基本回路矩阵B2.支路排列顺序为先连支路排列顺序为先连(树树)支后树支后树(连连)支。支。1 支路支路j与回路与回路i关联，方向一致关联，方向一致-1 支路支路j 与回路与回路i关联，方向相反关联，方向相反0 支路支路j 不在回路不在回路i中中bij=1 1约定约定：1.回路电流的参考方向取连支电流方向。回路电流的参考方向取连支电流方向。用矩阵形式描述用矩阵形式描述基本回路基本回路和和支路支路的关联性质的关联性质B=b i j l b基本回路数基本回路数支路数支路数1 1选选 4、5、6为树，连支顺序为为树，连支顺序为1、2、3。123B=4 5 6 1 2 3 支支回回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0=Bt 1 设设 矩阵形式的矩阵形式的KVL 0 1 -1 0 0 1BtBlB u=0B u=0 可写成可写成 Bt ut+ul =0ul=-Btut用用树支树支电压表示电压表示连支连支电压电压连支连支电压电压 树支树支电压电压矩阵形式的矩阵形式的KVL的的另一另一种种形式形式1 1B=Bt 1 用用连支连支电电流流表示表示树支树支电电流流BT il=i矩阵形式的矩阵形式的KCLKCL的另一种形式的另一种形式（3）基本基本割集矩阵割集矩阵Q约定约定 (1)割集方向与树支方向相同。割集方向与树支方向相同。(2)支路排列顺序先树支路排列顺序先树(连连)支支,后连后连(树树)支。支。qij=1 j支路与支路与割集割集i方向一致方向一致-1 j支路与支路与割集割集i方向相反方向相反 0 j 支路不在支路不在割集割集i中中 1 1用矩阵形式描述用矩阵形式描述基本割集基本割集和和支路支路的的关联性质关联性质Q=q i j n-1 b基本割集数基本割集数支路数支路数Q=4 5 6 1 2 3 支支割集割集C1C2C31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1C1:1,2,4 C2:1,2,3,5 C3:2,3,6设设ut=u4 u5 u6 T矩阵形式的矩阵形式的KCL1 1 0 0 1 0 -1 1QlQtQi=0回路矩阵回路矩阵表示时表示时 用用连支电流连支电流表示表示树支电流树支电流矩阵形式的矩阵形式的KCL的的另一另一种种形式形式Qi=0 可写成可写成 回路矩阵回路矩阵和和割集矩阵割集矩阵的关系的关系1 1矩阵形式的矩阵形式的KVL用用树支电压树支电压表示表示连支电压连支电压QTut=uKVL的另一种形式的另一种形式参考节点参考节点p4p1p3p21 11 14 45 5p51）道路矩阵 P的构造(4(4）树的）树的道路（路径）矩阵道路（路径）矩阵P P右图是某图的一个树，右图是某图的一个树，所谓所谓道道路路是指对一个选定的树，从是指对一个选定的树，从任任意意节节点到点到参考节参考节点的点的路径；路径；所所谓谓道路矩阵道路矩阵是是指指表征各表征各树支树支与与路径路径(节点节点)的的关联关联关系的矩阵。关系的矩阵。后面的分析将会看到，后面的分析将会看到，道路道路（路径）矩阵（路径）矩阵P P的引入会的引入会大大大大简化简化各关联矩阵的各关联矩阵的生成。生成。参考节点参考节点p4p1p3p21 11 14 45 5p5若若规定各道路规定各道路的选的选号号与路的与路的起始节点起始节点选选号号一致，一致，终点终点是是参考点。则第参考点。则第k k条路条路P Pk k起始起始节点就是节点节点就是节点k k，路的方向路的方向从从始始节点指向节点指向参参考节点。考节点。则：则：道路矩阵道路矩阵它的它的行行对应对应树支树支，列列对应对应路径路径。参考节点参考节点p4p1p3p21 11 14 45 5p5p2p1p3p4p5按上述按上述规定规定写出写出Pb2b1b3b4b5下面给出证明下面给出证明2）这正是这正是引入引入道路矩阵的道路矩阵的目的目的，直接生成直接生成A At t的逆的逆，也可把，也可把树支树支电压与电压与节点节点电压联系起来。电压联系起来。可以证明 的（非零）大子阵大子阵其中下标其中下标i，k，j分别表示分别表示节点的编节点的编号号、道路编号道路编号和和支路的编号支路的编号。若第。若第j条支路不与节点条支路不与节点i关联时，关联时，ai j=0=0，第，第j条支路不在第条支路不在第k k条道路条道路Pk上时，有上时，有Pj k=0=0，此时，此时 有有di k=ai jPj k=0=0。令令3）的证明只只有第有第j条支路既与条支路既与i节点关联，节点关联，又在又在Pk上才有上才有di k=ai jPj k0；此此时节点时节点i一定在一定在Pk上；上；当当节点节点i在在Pk上时，若上时，若i=k，则只则只有有Pk上的上的1条支路条支路与与节点节点i相关联；相关联；若若ik，则只有则只有Pk上的上的2条支路条支路与与节点节点i相关联。相关联。)i节点在节点在Pk上，但不是它的上，但不是它的始始节点节点，也不是，也不是终节点终节点，则必有，则必有且只有二条支路和与且只有二条支路和与i节点关联，节点关联，设为设为x和和y，如图所示。如图所示。任意任意改改变变x 和和y的的方向方向结果不变。结果不变。（）ik（i不是不是Pk的始节点）的始节点）)i节点不在节点不在Pk上，上，di k=ai jPj k=0=0；xkij1yPkdi k=ai xPx k+ai yPy k=(-1)=(-1)(1)+(1)(1)+(1)(1)=0(1)=0di k=ai xPx k+ai yPy k=(1)=(1)(-1)+(1)(-1)+(1)(1)=0(1)=0 xkij1yPk（）i=k（i是Pk的始节点）di k=ai xPx k=(1)(1)=1di k=ai xPx k=(-1)(-1)=1综合（）（）有所以所以证明结束证明结束路径矩阵示例路径矩阵示例示例示例3 3 各关联矩阵间的关系：设有各关联矩阵间的关系：设有n n个节点个节点b b条支的条支的连通图连通图，支路编号顺序，支路编号顺序先连支先连支后树支后树支可见关联矩阵可见关联矩阵A A包含了网络有向线包含了网络有向线图图的全部的全部结构信结构信息，息，即表征了即表征了网络网络的的全部结构约束全部结构约束（对任一选定的（对任一选定的树和参考节点）树和参考节点）。（对应同一个树对应同一个树）只规定了回路与支路、割集只规定了回路与支路、割集与支路的关系，而与支路的关系，而图是节点与支路的集合图是节点与支路的集合，因而，因而不唯一不唯一（给定节点支路编号）（给定树）A与图的与图的一一对应一一对应关系关系 1-10 网络的互联互联规律性树支电流树支电流可以用可以用连支电流连支电流来表示，来表示，连支电连支电流流是是完备完备独立变量独立变量。1.KCL(电荷守恒)的的矩阵矩阵形式形式一、一、KCL、KVL定理的矩阵形式定理的矩阵形式2.KVL(能量守恒)的的矩阵形式矩阵形式连支电压连支电压可以用可以用树支电压树支电压来表示，来表示，树支电压树支电压是是完备完备独立变量独立变量。各道路的起始节点各道路的起始节点对参考节点的电压对参考节点的电压为k节点的电压（位）QfQf i=0u=Qf T ut小结小结小结小结ul=-BtutABfAi=0i=BfT ilKCLKVLu=ATunBf u=0二、二、特勒根特勒根定理定理 1.功率守恒定律功率守恒定律对于一个具有对于一个具有n个节点、个节点、b条支路条支路的网络，令的网络，令ub和和 ib 分别表示分别表示支路支路电压列向量电压列向量和和支路电流列向量支路电流列向量，且各支路的电压和电流采用关联且各支路的电压和电流采用关联参考方向，则参考方向，则 或者功率守恒功率守恒定律的证明或者扩展扩展KVL利用KCL这就是这就是拟拟（似）（似）功率守恒定理功率守恒定理2.拟拟功率守恒定理功率守恒定理或者或者拟拟（似）（似）功率守恒功率守恒定理的另一种形式定理的另一种形式设网络N和 具有相同具有相同的拓扑结构结构(即 )，支路电压列向量和支路电流列向量分别为ub、ib和 、，则有 设设同一同一个 网络网络N不同时刻不同时刻的的电压电压电流电流分别为分别为则有或者或者和3.微分特勒根定理（不同网络图相同图相同或同一网络不同时刻）或者或者一条支路一条支路一条支路一条支路4.特勒根定理的特勒根定理的多端口形式多端口形式（P58）N(共b条支路)+-+-ip1ipnupnup1设n端口的电压和电流列向量分别为由于端口的电压和电流由于端口的电压和电流对外接对外接支路支路是是非关联非关联参考方向，因此参考方向，因此其特勒根定理的表达式为：其特勒根定理的表达式为：写成标量形式 (共b条支路)+-+-同理对网络 有：N(共b条支路)+-+-ip1ipnupnup1 (共b条支路)+-+-应用于网络 N和 有：设网络 N的参数发生变化，从而引起各支路电压和电流的变化 有：把上述关系代入（3）得(4)(3)得（6）式可用于求网络的灵敏度，则 就是构造的伴随网路。实事上（实事上（6）式也可以从特勒根定）式也可以从特勒根定理的理的微分形式微分形式直接得到，这里的主直接得到，这里的主要强调端口变量和要强调端口变量和构造端口，构造端口，即如即如果果原网络内部存在独立源等原网络内部存在独立源等可以抽可以抽出，以便出，以便简化简化分析处理。分析处理。三、基尔霍夫定律和特勒根定理的三、基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式广义形式 变换 称为线性线性的，是指对于任意实数任意实数和:常用常用线性变换线性变换 反反变换变换(1)傅立叶变换傅立叶变换 正正变换变换 z线性线性变换变换 常用常用线性线性变换（续）变换（续）(2)(2)相量相量变换变换(3)拉拉普拉斯变换普拉斯变换 或反反变换变换正正变换变换 正正变换变换 反反变换变换(4)其它其它线性变换线性变换一维变换：取增量、取共轭、一维变换：取增量、取共轭、小波小波变换变换、多维变换：、多维变换：派克派克变换、变换、相模相模（解耦）变换、相序变换等（解耦）变换、相序变换等 基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式变换域变换域的的KCLKCL方程和方程和KVLKVL方程方程记为记为由基本由基本回路回路矩阵和基本矩阵和基本割集割集矩阵矩阵表示的基尔霍夫定律的表示的基尔霍夫定律的广义广义形式形式 特勒根定理的特勒根定理的广义广义形式形式 1-11网络及元件的网络及元件的基本性质基本性质(二二)陈述网络性质的陈述网络性质的三种三种方式方式只讨论端口型只讨论端口型根据组成网络的根据组成网络的元件元件传统型传统型根据网络根据网络方程方程根据根据输入输出输入输出关系端口型关系端口型一、一、无源无源性和性和有源有源性性 1.定义：定义：如果一个如果一个线性时不变元件线性时不变元件对于任意容对于任意容许信号偶许信号偶 及任意的时间及任意的时间t，恒有恒有则称该元件是则称该元件是无源的无源的，否则称为，否则称为有源的有源的。为为为为t t0 0时刻元件储存的能量时刻元件储存的能量时刻元件储存的能量时刻元件储存的能量 。式中式中时不变电阻时不变电阻元件元件的无源判据的无源判据对于线性对于线性时不变时不变电阻元件电阻元件,当且仅当且仅当当对于对于任意任意的的容许容许信号信号偶偶 和和任意任意时刻时刻t,恒有恒有该电阻元件才是该电阻元件才是无源无源的。的。证明证明：由于由于电阻电阻元件元件不储存能量不储存能量，故，故1 充分性充分性2 必要性必要性若取若取直流直流信号信号则必则必为一组为一组容许信号偶。容许信号偶。有源有源，相相矛盾矛盾。假设假设论断不真，则论断不真，则至少至少存在一个时刻存在一个时刻成立成立 电阻元件是电阻元件是无源无源的的无源性无源性示例示例无无源源元元件件 正正值电阻、值电阻、正正值电容、值电容、正正值值电感电感 理理想想变变压器、压器、回转回转器器 伏安特性曲线位于第伏安特性曲线位于第一一、三三象限的象限的二端二端电阻电阻有有源源元元件件 独立源、独立源、负负值电阻、值电阻、负负值值电容、电容、负负值电感值电感 受受控源、控源、运运放、跨导、放、跨导、负负阻抗变换器阻抗变换器 伏安特性曲线部分位于第伏安特性曲线部分位于第二二或或四四象限的象限的二端二端电阻电阻当式中的当式中的等号只有在等号只有在u和和i同时为同时为零时才成立时零时才成立时,电阻元件称为电阻元件称为严严格无源的格无源的(Strictly Passive)。2.可用可用能量能量(Available Energy)sup表示取表示取上确界上确界 对于对于时不变元件时不变元件在工作点在工作点Q的所有容许信号偶的所有容许信号偶 和所有和所有 ，可用能量可用能量定义为定义为 无源性无源性的一般定义的一般定义 对于时不变对于时不变非线非线性元件，若在性元件，若在任何工任何工作点作点Q的的可用能量可用能量均是均是有限有限的，则该的，则该元件是元件是无源的无源的，否则称为，否则称为有源的有源的。3.非非能的能的(Nonenergic)一个元件，如果对于一个元件，如果对于任何任何容许信号偶容许信号偶则称该元件是则称该元件是非能非能的，否则称为的，否则称为能量能量的的。非能元件既非能元件既不不消消耗耗能量，也能量，也不不存存储储能量能量 理理想想变变压器、压器、回回转器转器恒恒有有二、二、无损无损性与性与有损有损性性 定义：定义：如果一个如果一个n口元件对于口元件对于所有有限的所有有限的，从，从t0到到 平方可积的容许信号偶平方可积的容许信号偶 ，亦即，亦即在在所有初始时刻所有初始时刻t0之下有之下有或则称该元件是则称该元件是无损无损的，否则就是的，否则就是有损有损的。的。三、三、互易互易性、性、反互易反互易性和性和非互易非互易性性定义：定义：如果线性时不变线性时不变元件对于任意两组任意两组容许信号偶 和 ,恒有“*”为卷积符号为卷积符号或者或者则称该则称该元件元件是是互易互易的的(Reciprocal)。如果恒有如果恒有则称该元件是则称该元件是反互易反互易的的(Antireciprocal)。（频域频域）或者或者n端口的端口的互易互易性、性、反互易反互易性和性和非互易非互易性性定义：定义：如果无独立源的无独立源的n端口端口对于任意两组任意两组容许信号偶 和 ,恒有“*”为卷积符号为卷积符号或者或者则称该n端口端口是互易互易的的(Reciprocal)。如果恒有则称则称该n端口端口是是反互易反互易的的(Antireciprocal)。（频域频域）或者设：设：n端口网络端口网络不存在独立源，不存在独立源，Z（S）（或）（或Y（S）则有则有互易互易性与性与非互易非互易性的另一种性的另一种表达形式表达形式互易互易性与性与非互易非互易性也可用其它网络性也可用其它网络参数表示。参数表示。若若即即Z（s）为）为对称阵对称阵，同理，同理y（s）也为）也为对称阵对称阵称为称为反互易反互易的，否则为的，否则为非互易非互易的的互易互易性若干命题性若干命题uT=0，Ti=0；（U11+U22=1i1+2i2）；互易定理有互易定理有三种三种形式，可由特勒根形式，可由特勒根定理得（定理得（P56）：(UKK-KiK)=0由由互易元件互易元件构成的构成的n端口，是端口，是互易互易n端端口（充分口（充分）;由由R、C、L组成的组成的 n口网络是口网络是互易互易的的;含含受控源受控源的的n口网口网一般不一般不互易，互易，互易互易n端口内不存在独立源。端口内不存在独立源。相互互易相互互易!如果如果两个端口数目相同两个端口数目相同的线性网络的线性网络(元件元件)，对于它们的，对于它们的任意端口任意端口容许容许信号偶信号偶 和和恒有恒有则称这则称这两个多口两个多口网络（元件）网络（元件）是是相互互易相互互易的的。例题例题或者或者跳过！四、四、因果因果性与性与非因果非因果性性对于一个网络，在对于一个网络，在施加激励前没有响施加激励前没有响应应，只有在激励施加后才有响应，这，只有在激励施加后才有响应，这个特性称为个特性称为起因性起因性。一个一个初始条件为零初始条件为零的物理网络，在相的物理网络，在相同的输入同的输入(原因原因)下将产生相同的输出下将产生相同的输出(效果效果)，这种特性就称为，这种特性就称为因果性因果性。五、无增益无增益特性网络的网络的每一组解每一组解均满足下列均满足下列两条性质两条性质:(1)(1)网络网络N N中任中任一对节点之间的电一对节点之间的电压幅值压幅值小于或等于小于或等于所有独立电所有独立电源两端电压的幅值之和源两端电压的幅值之和;(2)(2)流入流入每一元件任一端钮的电流的每一元件任一端钮的电流的幅值幅值小于或等于小于或等于流过所有独立电流过所有独立电源电流的幅值之和。源电流的幅值之和。对于每一个对于每一个直流工作点直流工作点Q Q,存在一存在一个由个由(n1)个个线性正值二端电阻线性正值二端电阻组成的组成的n n端连通网络具有相同的端连通网络具有相同的工作点。工作点。充分必要条件充分必要条件:N中的每一个中的每一个n端端电阻元件电阻元件满足无增益判据满足无增益判据(No Gain Criterion)电路电路无解无解示例示例隧道二极管隧道二极管电路多解示例电路多解示例六、网络解的六、网络解的存在存在性与性与唯一唯一性性网络解的网络解的存在性存在性与与唯一性唯一性P69P69！实际网络实际网络总是总是有解有解的，且在任何的，且在任何时刻时刻都有唯一解都有唯一解。但对由电路。但对由电路模模型型构成的构成的网络网络，可能，可能有解有解，也可，也可能能无解无解；可能有；可能有唯一解唯一解，也可能，也可能不不是是唯一唯一的。的。网络无解网络无解等或解不等或解不唯一唯一说明说明电路电路模型不合理模型不合理。充分条件充分条件如果电路不如果电路不含纯电压源回路含纯电压源回路和和纯电流源割集纯电流源割集，则该电路的解，则该电路的解存在并且唯一。存在并且唯一。定理定理线性线性电阻电阻电路解的存在性和电路解的存在性和唯一性唯一性设设线性电阻电路线性电阻电路由电路方程由电路方程 描述描述,则则当且仅当当且仅当 时，该时，该电路（网络）具有电路（网络）具有唯一解唯一解“H”代表共轭转置。则称其为则称其为欧姆型欧姆型矩阵。矩阵。欧姆型欧姆型矩阵矩阵一个一个n阶方阵阶方阵F，如果在如果在复数域复数域中对每一个非零中对每一个非零n维列向量维列向量X有有显然，显然，正定阵正定阵和和负定阵负定阵是是欧姆型矩欧姆型矩阵阵，反过来不一定成立。，反过来不一定成立。定理定理设设N N是一个既不包含有是一个既不包含有仅由独立电仅由独立电压源压源和和受控电压源受控电压源组成的组成的回路回路，又，又不包含有不包含有仅由独立电流源仅由独立电流源和和受控电受控电流源流源组成的组成的割集割集的网络。的网络。NN是把是把N N中所有独立电源置零后得到的网络，中所有独立电源置零后得到的网络，如果如果NN的的支路导纳矩阵为欧姆型支路导纳矩阵为欧姆型，则网络则网络N N有有唯一解唯一解。THE END结论结论设设N N是一个是一个含有独立电源含有独立电源的的RLCMRLCM网络网络，当且仅当当且仅当网络网络没有没有仅由仅由电压源组成的电压源组成的回路回路和和没有没有仅由仅由电流源组成的电流源组成的割集割集时，该网络时，该网络拥有拥有唯一解唯一解。图论图论的若干内容！的若干内容！l着色边着色边定理定理(与与配网故障选线配网故障选线)着色边定理是着色边定理是Minty于是于是1960年提年提出的一个出的一个图论图论方面的定理方面的定理 着色边定理也着色边定理也与元件的性质无关与元件的性质无关,它仅仅它仅仅取决于网络的拓扑结构取决于网络的拓扑结构。该。该定理揭示了普遍的网络的互连规律定理揭示了普遍的网络的互连规律性性近年来近年来,在在网络理论方面网络理论方面得到广泛得到广泛的的应用应用。给给定一定一有向有向图图G G,把把图图中的每条支路着上下中的每条支路着上下列列三种三种颜颜色之一色之一:红红色、色、蓝蓝色和色和绿绿色色.任意任意取出一条取出一条绿颜绿颜色支路色支路将其着成将其着成深深绿绿色色。显显然然,对对于任一有向于任一有向图图,可有可有许许多种不同的多种不同的着色方式着色方式.我我们们把着色的有向把着色的有向图图称称为为有向有向着色着色图图(Directed Colored Graph)(Directed Colored Graph)用用 表示。假定网表示。假定网络络的的节节点数点数和和支路数支路数都是都是有有限限的的,则则着色着色边边定理定理如下所述如下所述(1)(1)存在一个存在一个由深绿色支路由深绿色支路及及绿色支路绿色支路和和/或或红色支路红色支路形成的形成的回路回路,该回路中该回路中所有绿色所有绿色支路的方向皆相同支路的方向皆相同,即它们的方向都与回即它们的方向都与回路的方向一致或相反路的方向一致或相反.(2)(2)存在一个存在一个由深由深绿绿色支路及色支路及绿绿色支路色支路和和/或或蓝蓝色支路色支路形成的形成的割集割集,该该割集中所有割集中所有绿绿色色支路的方向皆相同支路的方向皆相同,即它即它们们的方向都与割的方向都与割集的方向一致或相反集的方向一致或相反 设 是一有向着色图有向着色图则下述两条中有且仅两条中有且仅有一条成立有一条成立l定理1 1对于着色边对于着色边定理定理的几点的几点说明说明:（1）有向图中支路的）有向图中支路的着色是任意的着色是任意的,但但只能有一条支路只能有一条支路着着成深绿成深绿色。色。（2）有向图中）有向图中至少有一条支路着成绿至少有一条支路着成绿色色。但是。但是红色支路集和蓝色红色支路集和蓝色支路支路集集可以是空集可以是空集,即有向着色图中不即有向着色图中不存在红色支路和存在红色支路和/或蓝色支路。或蓝色支路。（3）定理中所提到的那种）定理中所提到的那种回路和割回路和割集集并并不唯一不唯一。推推论论1 设设 是图是图G中中任一条支路任一条支路,将将其着成其着成深绿色深绿色,剩余的每条支路剩余的每条支路或或者者着成着成红色红色或者着成或者着成蓝色蓝色.则则 或或者与者与一些一些红色支路红色支路形成形成回路回路,或或者与一些者与一些蓝色蓝色支路形成支路形成割集割集,但但二者不会同时二者不会同时成立。成立。推论推论 2 回路回路-割集不相容割集不相容原理原理设设 为有向图中的为有向图中的任一支路任一支路,则存则存在下述两种在下述两种互不相容互不相容的可能的可能:（1）属于同同一方向回路方向回路；（2）属于同同一方向割集方向割集；二者必有一个存在必有一个存在,但不能同时存在不能同时存在。在网络理论中在网络理论中,应用着色边定应用着色边定理及其推论某些结论理及其推论某些结论,是是很简很简便便的的,应用它们进行应用它们进行某些拓扑某些拓扑条件条件的的判别判别也也特别方便特别方便。通俗的说，这个猜想认为，可以绘制通俗的说，这个猜想认为，可以绘制一张一张“万能地图万能地图”，指导人们，指导人们到达某到达某一目的地，不管他们原来在什么位置一目的地，不管他们原来在什么位置。这个猜想这个猜想在2007年9月被以色列数学家被以色列数学家Avraham Trahtman证明。l路线着色路线着色问题问题路线着色路线着色问题是图论中问题是图论中最著名最著名的的猜想猜想之一之一 路线着色定理路线着色定理就是说在就是说在满足一定条件满足一定条件的的有向图有向图中，这样的中，这样的着色方式一定存在着色方式一定存在。图例中图例中将将16条条边着色着色，那么不管你从哪里，那么不管你从哪里出出发，按照，按照“蓝红红蓝红红蓝红红”的路的路线走走9步，你最后步，你最后一定达到黄色一定达到黄色顶点。点。严格的数学描述如下。首先来定义严格的数学描述如下。首先来定义同同步着色步着色。G是一个是一个有限有向图有限有向图并且并且G的的每个顶点的出度都是每个顶点的出度都是k。G的一个同步的一个同步着色满足以下两个条件：着色满足以下两个条件：1)G的的每个顶每个顶点点有且有且只有一条只有一条出边被染成了出边被染成了1到到k之之间的某种颜色；间的某种颜色；2)G的的每个顶点每个顶点都都对应对应一种走法一种走法，不管你从哪里出发，按该，不管你从哪里出发，按该走法走，走法走，最后最后都都结束结束在在该顶点该顶点。l最小割集最小割集电力电力系统的可靠性系统的可靠性是电力系统规划和是电力系统规划和运行的重要内容运行的重要内容,是当今是当今电力学术界的电力学术界的研究热点研究热点。基于。基于最小割集的可靠性评最小割集的可靠性评估估，可以考虑了系统运行的实际情况，可以考虑了系统运行的实际情况,例如例如引起负荷点停电事件割集引起负荷点停电事件割集,负荷负荷点供电的点供电的转移转移特性特性,网络元件的网络元件的计划检计划检修修和和主动性故障主动性故障等。等。基于基于故障树最小割集故障树最小