常数项级数的审敛法.pptx

会计学1常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法有上界，若则存在，即收敛。必有上界。若即存在从而收敛，定理1 正项级数收敛它的部分和数列有上界反过来，第1页/共49页定理 2(比较审敛法)设和为正项级数，且，那么(1)若收敛，则收敛；(2)若发散，则发散。，第2页/共49页证(1)记的部分和为的部分和为，即收敛有上界有上界收敛(定理1)(定理1)第3页/共49页(2)收敛发散(反证)假设则由(1)的结果得：收敛这与已知发散矛盾！证毕。第4页/共49页推论1设和为正项级数。，(1)则收敛。，又若收敛，(2)则发散。，又若发散，第5页/共49页例1讨论的收敛性。解(1)时.发散发散(比较)第6页/共49页(2)时.对任意自然数当时，即即即第7页/共49页即，考察级数收敛第8页/共49页收敛，又收敛(推论1)由(1)(2)得：收敛，发散，第9页/共49页发散。例2 证明证又发散发散(比较)第10页/共49页的收敛性。例3 判断级数证又收敛收敛(比较)（等比级数，）第11页/共49页定理3设和为正项级数。时，(1)当(比较审敛法的极限形式)记，那么与的收敛性相同.时，(2)当收敛.若收敛，则时，(3)当发散.若发散，则第12页/共49页证(1)当时.按定义得：对于，使得当时，就有即即第13页/共49页即,收敛.若收敛，则发散.若发散，则上式也可写为,收敛.若收敛，则发散.若发散，则(推论1)(推论1)(推论1)第14页/共49页(2)(3)(自己证)例4 判定下列级数的收敛性推论2 给了正项级数和.若，则与的收敛性相同.第15页/共49页定理4(比值审敛法)给了正项级数若，则(1)收敛；(2)发散；(3)不能判定。第16页/共49页证显然，(1)存在使得记则对上述存在，使得就有即即第17页/共49页即收敛收敛(比较)收敛(性质)第18页/共49页(2)存在使得记则对上述存在，使得就有即第19页/共49页即发散(级数收敛的必要条件)即这表明：又第20页/共49页对存在，使得就有即发散(级数收敛的必要条件)这表明：又第21页/共49页(3)例该级数发散例该级数收敛第22页/共49页定理5(根值审敛法)给了正项级数若，则(1)收敛；(2)发散；(3)不能判定。第23页/共49页证明：类似定理4 的证明（略）说明定理4和定理5 中的条件只是使结论成立的充分条件，而非必要条件。反例：正项级数收敛但不存在.第24页/共49页例5判定下列级数的收敛性第25页/共49页例6证明级数收敛，并估计以部分和近似代替和所产生的误差。解收敛设它的和为，(根值审敛法)第26页/共49页即第27页/共49页补充内容：（不证）柯西积分审敛法如果在区间非负、连续、单调递减，则正项级数与反常积分的收敛性相同。上第28页/共49页例7判定的收敛性。解设，则在上，非负、连续、单调递减。发散发散(柯西积分审敛法)练习：判定的收敛性。第29页/共49页二、交错级数交错级数：各项为正负交错出现的级数。即：形如或第30页/共49页定理6（莱布尼茨定理）若交错级数满足条件：则(1)该交错级数收敛，且其和(2)第31页/共49页 证设交错级数的部分和为先考察.由条件(1)得：即(*)的子列第32页/共49页存在，设极限值为，则有再考察.的子列即收敛，其和为 由条件（2）第33页/共49页在(*)式中，令取极限，得即即即第34页/共49页证毕。第35页/共49页例8讨论交错级数的收敛性，并估计的值。解又交错级数收敛，(莱布尼茨定理)且第36页/共49页三、任意项级数任意项级数：正、负项的出现是任意的级数。是任意项级数，怎样判定它的收敛性？是正项级数，我们会判定它的收敛性。那么，现在的问题是：的收敛性与的收敛性之间有什么关系？第37页/共49页定理7若收敛，则收敛。证又，收敛收敛,收敛(比较)第38页/共49页收敛(性质)证毕。注 意反之不然。反例：收敛，但发散。第39页/共49页定义给了任意项级数(1)如果收敛，则称是绝对收敛的。(2)如果发散，则称是条件收敛的。但收敛第40页/共49页例如：绝对收敛条件收敛说明：由定理7得：绝对收敛收敛第41页/共49页例9判定的收敛性。解这是任意项级数。先考虑的收敛性，又收敛它是正项级数。收敛(比较)绝对收敛即收敛第42页/共49页注意收敛收敛发散发散一般地，但是，如果是用比值审敛法或根值审敛法得出发散,则可断定发散。第43页/共49页例10判定级数的收敛性。解这是任意项级数。先考虑的收敛性。第44页/共49页发散发散(根值审敛法)第45页/共49页练习判定下列级数的收敛性，若收敛，指出它是绝对收敛还是条件收敛？第46页/共49页练习题答案：(1)绝对收敛(2)条件收敛(3)发散(4)条件收敛第47页/共49页作业：P268,1,2,3,4,5第48页/共49页感谢您的观看。第49页/共49页