弯曲应力 概述平面弯曲正应力弯曲切应力及强条件梁的合理截面形状与合理受力.pptx

4.1、概述概述zyFSMdAdAdAdAdAdA剪力是与横截面相切的内力系的合力；它只与切应力相关。弯矩是与横截面垂直的内力系的合力偶之矩；它只与正应力相关。第1页/共39页4.1、概述概述MxPlPPBACDllxFSPP+-+横力弯曲横力弯曲纯弯曲（无剪力）纯弯曲（无剪力）第2页/共39页一、实验观察与平面假设梁纯弯曲时现象：1、各横线仍为与纵线相正交的直线，只是相对旋转了一个角度。2、各纵线被弯曲成弧度，但仍相互平行，且上部纵线缩短，下部纵线伸长。3、横截面上部宽度增加，下部宽度减小。4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第3页/共39页推断：1、平面假设：梁受力发生纯弯曲，横截面仍为平面，且与弯曲后轴线保持正交，它只是绕自身某一轴旋转了一角度。2、单向受力假设：所有与轴线平行的纵向纤维都只发生轴向拉伸或压缩（纵向纤维间无挤压），横截面上各处均无切应变。3、弯曲后的纵向纤维，下部伸长，上部缩短，中间存在一层既不伸长也不缩短，称为中性层，它与横截面的交线称为中性轴。4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第4页/共39页二、弯曲正应力推导1、几何关系纵向纤维bb的变形应变应变规律：沿梁的宽度方向，距中性轴等距离的点的线应变相等；沿梁的高度方向，线应变直线变化，中性轴处为0，两端最大；曲率1/越大，线应变越大。4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第5页/共39页2、物理关系正应力不超比例极限时，由虎克定律正应力分布规律：横截面上任一点处正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴等距离的各点的正应力相等。MM4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第6页/共39页3、静力学关系dA坐标（y，z）截面无轴向力截面无轴向力中性轴中性轴z通过截面形心通过截面形心各微面积的力应该合成一个力偶，各微面积的力应该合成一个力偶，该力偶矩等于弯矩该力偶矩等于弯矩M。弯曲正应力与截面的弯矩成正比，弯曲正应力与截面的弯矩成正比，与截面对中性轴惯性矩成反比，与截面对中性轴惯性矩成反比，且沿截面高度呈直线分布。且沿截面高度呈直线分布。抗弯刚度抗弯刚度4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第7页/共39页MM以中性轴为界，一边受拉，一边受压，以中性轴为界，一边受拉，一边受压，中性轴处，应力为中性轴处，应力为0，距中性轴最远，距中性轴最远处，即两端存在最大正应力。处，即两端存在最大正应力。WZ（抗弯截面模量）（抗弯截面模量）简单截面的抗弯截面模量简单截面的抗弯截面模量矩形截面矩形截面圆截面圆截面圆环截面圆环截面4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第8页/共39页危险截面危险点的应力危险截面危险点的应力4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第9页/共39页例4-1、图示悬臂梁，其截面为矩形，其自由端作用一集中力F。其中，b=120mm，h=180mm，y=60mm，l=4m，a=2m，F=1.5kN求：C截面上K点的正应力K以及全梁上最大正应力max。ACBFalhbyzK6kN.mxM(-)解：画出梁的弯矩图截面惯性矩及抗弯截面模量截面惯性矩及抗弯截面模量4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第10页/共39页注意截面的弯矩为负值，说明上部受拉，K点应力为拉应力。最大正应力位于A截面的上下两边缘，分别为拉、压应力。4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力ACBFalhbyzK6kN.mxM(-)第11页/共39页对对于于等等截截面面梁梁，最最大大正正应应力力位位于于危危险险截截面面的的危危险险点点上上。弯弯曲曲正正应应力力强强度度条条件件为为：梁梁的的最最大大弯弯曲曲正正应应力力小小于于或或等等于于材材料料的的许许用应力。用应力。强度校核，设计截面尺寸，确定许用载荷强度校核，设计截面尺寸，确定许用载荷许用拉、压应力许用拉、压应力不同的材料不同的材料4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第12页/共39页例4-2、图示矩形截面悬臂梁，自由端作用一集中力F。其中，b=100mm，h=200mm，l=4m，F=20kN，材料的许用应力=150MPa，试校核梁的强度并确定梁的许可载荷。ACBFalhbz解：（1）校核强度最大拉、压应力相等，均小于许用应力，故强度足够。最大拉、压应力相等，均小于许用应力，故强度足够。4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力80kN.mxM(-)第13页/共39页（2）确定许可载荷由强度条件由强度条件梁的许可载荷为梁的许可载荷为25kN4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力4FxM(-)第14页/共39页例4-3、一简易吊车梁，起吊最大载荷G=50kN，跨度l=12m，钢材的许用应力=160MPa，不考虑梁及吊车自重，试确定工字型钢矩形截面钢（高度与宽度之比为2）吊车梁的截面尺寸，并比较两梁的重量。GlGACBMx（）Gl/4解：（1）最大弯矩查表，选择40a号工字钢（2）工字型钢4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第15页/共39页（3）矩形截面钢（4）比较重量工作条件相同的情况下，工字形截工作条件相同的情况下，工字形截面梁比矩形截面梁节省材料。面梁比矩形截面梁节省材料。4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第16页/共39页例4-4、一T形截面铸铁梁，受力及截面尺寸如图。材料的许用拉应力+=30MPa，许用压应力-=60MPa，校核梁的强度。解：（1）截面形心及对中性轴的惯性矩2012020809kNBACD1m4kN1m1m201202080yz1z4.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第17页/共39页（2）弯矩图9kNBACD1m4kN1m1mxM（+）（-）2.5kN.m4kN.mC截面校核201202080yz1z52884.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力第18页/共39页B截面校核9kNBACD1m4kN1m1m201202080yz1z强度足够强度足够52884.2、平面弯曲正应力平面弯曲正应力xM（+）（-）2.5kN.m4kN.m第19页/共39页一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力1 1、矩形截面梁、矩形截面梁（1）两个假设（a）切应力与剪力平行q(x)F1F24.3、弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件（b）切应力沿截面宽度均匀分布(即距中性轴等距离处切应力相等)（2）分析方法mmnnxdx（a）用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段。两横截面上的弯矩不等，所以两截面同一y处的正应力也不等。第20页/共39页mnnmxyzobdxmmhn（b）假想地从梁段上截出体积元素mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向内力不等。ABB1A1mnxzyymyABA1B1FN2FN14.3、弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件第21页/共39页mnnmxyzoyABA1B1bdxmmhn（c）在纵截面上必有沿 x 方向的切向内力dFs，此面上就有相应的切应力，ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS根据假设横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等，各点的切应力方向均与截面侧边平行。取分离体的平衡即可求出。4.3、弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件第22页/共39页ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS（3）公式推导假设m-m,n-n上的弯矩为M和M+dM，两截面上距中性轴 y1 处的正应力为 1 和 2.A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积。式中：为面积A*对中性轴的静矩。4.3、弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件第23页/共39页4.3、弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS第24页/共39页b矩型截面的宽度yz整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩（4）切应力沿截面高度的变化规律 沿截面高度的变化由静矩 与y之间的关系确定4.3、弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件第25页/共39页y1nBmAxyzOyA1B1m1切应力沿截面高度按抛物线规律变化。zmaxy=h/2(即在横截面上距中性轴最远处)=0y=0(即在中性轴上各点处)，切应力达到最大值式中，A=bh，为矩形截面面积4.3、弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件第26页/共39页2 2、工字形截面梁、工字形截面梁假设求应力的点到中性轴的距离为y.研究方法与矩形截面相同,切应力的计算公式亦为HoyBxbzh4.3、弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件腹板、翼缘第27页/共39页Ozydxy 距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A*对中性轴的静矩。minozymaxmax(a)腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化。(b)最大切应力也在中性轴上，这也是整个横截面上的最大切应力。4.3、弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件第28页/共39页ydzo假设(a)沿宽度kk上各点处的切应力均汇交于o点.(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.3、圆截面梁4.3、弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件第29页/共39页最大切应力发生在中性轴上ydzo式中为圆截面的面积4.3、弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件二、强度条件二、强度条件第30页/共39页4.4、梁的合理截面形状与合理受力梁的合理截面形状与合理受力梁的强度主要由正应力控制。一、降低最大弯矩值1、合理布置载荷FlFl/4Fl/8Fl/4l/4l/2第31页/共39页4.4、梁的合理截面形状与合理受力梁的合理截面形状与合理受力2、合理地设置支座位置当两端支座分别向跨中移动a=0.2l 时aalq0.025ql2lqql2/8第32页/共39页4.4、梁的合理截面形状与合理受力梁的合理截面形状与合理受力二、增大Wz1、合理选择截面形状增大W Wz，但面积要小矩形截面矩形截面圆截面圆截面第33页/共39页4.4、梁的合理截面形状与合理受力梁的合理截面形状与合理受力应尽可能把材料放置在远离中性轴的位置。第34页/共39页4.4、梁的合理截面形状与合理受力梁的合理截面形状与合理受力2、合理的放置第35页/共39页4.4、梁的合理截面形状与合理受力梁的合理截面形状与合理受力三、根据材料特性选择截面形状2、对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧。1、对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面。zy1y2cmaxtmax要使y1/y2接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力第36页/共39页4.4、梁的合理截面形状与合理受力梁的合理截面形状与合理受力梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，称为等强度梁。例如，宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律h(x)，可按正应力强度条件求得。bh(x)zFl/2l/2四、根据材料特性选择截面形状第37页/共39页4.4、梁的合理截面形状与合理受力梁的合理截面形状与合理受力梁任一横截面上最大正应力为但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度。按上确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁。F第38页/共39页谢谢您的观看！第39页/共39页