数字逻辑电路数制与编码.pptx

5.数字系统设计概况 1)层次:从小到大,原语单元、较复杂单元、复杂单元、更复杂单元 2）逻辑网络：以二进制为基础描述逻辑功能的网络 3）电子线路：物理构成 4）形式描述：用硬件描述语言（HDL）描述数字系统的 行为 6.为什么采用数字系统 1）安全可靠性高 2）现代电子技术的发展为其提供了可能 7.数字系统的特点 1）二值逻辑（“0”低电平、“1”高电平）2）基本门电路及其扩展逻辑电路（组成）3）信号间符合算术运算或逻辑运算功能 4）其主要方法为逻辑分析与逻辑设计（工具为布尔代数、卡诺图和状态化简）第1页/共69页第一章 数制与码制第2页/共69页学习要求：学习要求：掌握二、十、八、十六进位计数制及相互换；掌握二进制数的原码、反码和补码表示及其加减运算；了解定点数与浮点数的基本概念；掌握常用的几种编码。第3页/共69页1.1 1.1 进位计数制进位计数制1.1.1 十进制数的表示1 1、进位计数制、进位计数制数制：用一组统一的符号和规则表示数的方法2 2、记数法、记数法 位置计数法例：123.45 读作 一百二十三点四五 按权展形式例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-23 3、基与基数、基与基数用来表示数的数码的集合称为基（09）,集合的大小称为基数(十进制10)。4 4、权、权在十进制中，10的整幂次方称为10进制数的权。第4页/共69页1.1.2 二进制数的表示对于任意一个二进制数N,用位置记数法可表示为:(N)2=(an-1 an-2 a1 a0.a-1 a-2 a-m)2用权展开式表示为(N)2=an-12n-1+an-22n-2+a121+a020+a-1 2-1+a-22-2+a-m2-m上面两式中，ai=0或1,n为整数部分的位数,m为小数部分的位数.第5页/共69页1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 任意进制数的表示任意进制数的表示任意进制数的表示任意进制数的表示1.1.4 二进制数的特点 只有两个数码,很容易用物理器件来实现。运算规则简单。可使用逻辑代数这一数学工具。(N)r=an-1rn-1+an-2rn-2+a1r1+a0r0+a-1 r-1+a-2r-2+a-mr-m(N)r=(an-1 an-2 a1 a0.a-1 a-2 a-m)r第6页/共69页 节省设备1）设n是数的位数 R是基数 Rn-最大信息量 nR-Rn个数码所需设备量 例：n=3，R=10，(R)10n=103=1000 nR=310=30 而Rn1000 R=2 2n1000 n=10 Rn=1024 nR=102=20 同样为1000的信息量，二进制比十进制节省设备。2）唯一性证明 N=Rn（N为最大信息量）LnN=nLnR 令C=LnN C=nLnR 两边同乘R，RC=nRLnR lnR-1=0第7页/共69页1.2 1.2 数制转换数制转换1.2.1 二进制数和十进制数的转换1 1、二进制数、二进制数十进制数十进制数 按权展开式在十进制数域中计算例如：第8页/共69页2 2、十进制数、十进制数二进制数二进制数 整数部分：除2取余法例：将(58)10转换成二进制形式第9页/共69页得ao=0得a1=1则 (58)10=(111010)2短除法：先求出的余数为低位。第10页/共69页 小数部分：乘2取整法例：将(0.625)10转换为二制形式得a-1=1第11页/共69页得a-3=1注意：不能进行精确转换的情况得a-2=0短乘法：先求出的整数为高位第12页/共69页1.2.2 八进制数、十六进制数与二进制数的转换例：八进制：2 5 7 0 5 5 4二进制：010 101 111 000 101 101 100十六进制：A F 1 6 C因此，(257.0554)8=(10101111.0001011011)2=(AF.16C)16第13页/共69页1、真真 值：值：直接用+和表示符号的二进制数，不能在机器使用.2、机器数：机器数：将符号数值化了的二进制数,可在机器中使用。3、一般将符号位放在数的最高位。例：+1011 0 1 0 1 11 1 0 1 1-1011 1.3.1 真值与机器数1.3 1.3 带符号数的代码表示带符号数的代码表示第14页/共69页1.3.2 原码又称符号+数值表示,对于正数,符号位为0,对于负数、符号位为1,其余各位表示数值部分。例：N1 =+10011 N2 =01010 N1原=010011N2原=101010原码表示的特点:(1)真值0有两种原码表示形式,即 +0原=000 0原=1 00 (2)表示范围：-127+127（8位整数）第15页/共69页原码公式：整数：(含一位符号位）定点小数：(含一位符号位）第16页/共69页1.3.3 反 码对于正数，其反码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为1，其余各位是将原码数值按位求反。例：N1 =+10011 N2 =01010 N1反=010011N2反=1 10101（1）真值0也有两种反码表示形式，即 +0反=000 0反=1 11 (2)表示范围：-127+127（8位整数）第17页/共69页反码公式：整数：(含一位符号位）定点小数：(含一位符号位）第18页/共69页1.3.4 补 码对于正数，其补码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为1，其余各位是在反码数值的末位加1.例：N1 =+10011 N2 =01010 N1补=010011N2补=1 10110（1）真值0只有一种补码表示形式，即 0补=0反+1=1 11+1=1 0 0 0丢弃(2)表示范围：-128+127（8位整数）第19页/共69页补码公式：整数：(含一位符号位）定点小数：(含一位符号位）第20页/共69页补码的补充说明：数学上，补码与其真值构成了以某一值（计算机的字长）为模的“模数系统”或“同余”结构的代数系统。模：计量器的容量。例：计算机的字长为L，模数为2L。丢弃 1 0 0 1 8+1 0 0 0 9 1 0 0 0 1 17 在模16的系统中，17=1（mod16）。同余：在某一模数系统中，模数为n，如果a、b的 余数相同，则称a、b模n同余。第21页/共69页补码的应用：例：钟表为模12的系统。12396顺时针：+；逆时针：-由12点拨到3点：1）12+3=15=15-12=3（mod12)2)12-9=3 12+（12-9）=3（mod12)在模n的系统中，N与n-N是一对互补的数，利用其特点可把减法变成加法运算。N补=2n+N -2n-1 N 0取反加1则：12-9=12+3=3第22页/共69页同号数相加或异号数相减，运算规则为绝对值相加，取被加(减)数的符号。(+A)-(+B)=(+A)+(-B)(-A)-(-B)=(-A)+(+B)2、设A、B表示绝对值，有下列两类八种情况。(+A)+(+B)=(+A)-(-B)(-A)+(-B)=(-A)-(+B)同号数相减或异号数相加。运算规则为绝对值相减，取绝大值较大者的符号。1、符号位不参与运算,单独处理。一、原码运算一、原码运算1.3.5 机器数的加、减运算第23页/共69页解：N1 原10011，N2 原01011 求 N1+N2原，绝对值相减，有 1 0 1 1)0 0 1 11 0 0 0结果取N2的符号，即：N1+N2原01000真值为：N1+N21000例：N1 =0011，N2 =1011求 N1+N2原和 N1 N2原。第24页/共69页 求 N1 N2原，绝对值相加，有 0 0 1 1)1 0 1 11 1 1 0结果取N1的符号，即：N1 N2原11110真值为：N1 N21110第25页/共69页二、补码运算二、补码运算可以证明有如下补码加、减运算规则：N1+N2补 N1补+N2补 N1 N2补 N1补+N2补此规则说明补码的符号位参与加减运算。N补补=N原第26页/共69页例：N1 =0011，N2 =1011求 N1+N2补和 N1 N2补。解：N1 补11101，N2 补01011,N2 补10101 N1+N2补=11101+01011=01000 1 1 1 0 1)0 1 0 1 11 0 1 0 0 0丢弃真值为：N1+N2=1000第27页/共69页 N1 N2补=11101+10101 1 1 1 0 1)1 0 1 0 11 1 0 0 1 0丢弃真值为：N1 N2=1110补码加法减法运算：符号位有进位则丢弃。第28页/共69页三、反码运算三、反码运算 N1+N2反 N1反+N2反 N1 N2反 N1反+N2反当符号位有进位时，应在结果的最低位再加“1”（循环进位）.N反反=N原第29页/共69页例：N1 =0011，N2 =1011求 N1+N2反和 N1 N2反。解：N1 反11100，N2 反01011,N2 反10100 N1+N2反=11100+01011=01000 1 1 1 0 0)0 1 0 1 11 0 0 1 1 1)10 1 0 0 0真值为：N1+N2=1000第30页/共69页 N1 N2反 11100+10100 1 1 1 0 0)1 0 1 0 01 1 0 0 0 0)11 0 0 0 1真值为：N1 N2=1110第31页/共69页1.3.6 十进制的补数为方便十进制减法运算而引进十进制的补数。一、对一、对1010的补数的补数对于十进制正数N，其对10的补数表现形式为：符号位为0，数值部分为N本身。例:N=5493 N10补=05493例：N=-3250 N10补=105-3250=96750例：N=-0.3267 N10补对于十进制负数N，其对10的补数表现形式为：N10补=10n+N -10n-1 n0（n为N的整数部分的位数，含一位符号位。）第32页/共69页对10的补数减法运算举例：例：N1=72532，N2=33256，求：N=N1-N2N1-N210补 =72532-3325610补 =7253210补+-3325610补 =072532+966744 0 7 2 5 3 2+）9 6 6 7 4 4 1 0 3 9 2 7 6丢掉N1-N210补=039276N1-N2=39276第33页/共69页二、对二、对9 9的补数的补数 对于十进制正数N，其对9的补数表现形式为：符号位为0，数制部分为N本身，与对10的补数相同。例:N=8954 N9补=08954对于十进制负数N，其对9的补数表现形式为：N9补=10n-10-m+N -10n-1n0（n为N的整数部分的位数，含一位符号位，M为N的小数部分的位数。）例：N=-3250 N9补=105-1-3250=96749例：N=-25.639 N9补=103-10-3第34页/共69页对9的补数减法运算举例：例：N1=5489，N2=3250，求：N=N1-N2N1-N29补 =5489-32509补 =54899补+-32509补 =05489+96749 0 5 4 8 9+）9 6 7 4 9 1 0 2 2 3 8N1-N29补=02239N1-N2=2239+）10 2 2 3 9第35页/共69页补充公式：补充公式：证：反之亦然。第36页/共69页第37页/共69页证：应用应用1 1：第38页/共69页第39页/共69页表明：不论x为正或负，总等于x补的各位（含符号位）右移一位，且符号位保持不变。第40页/共69页应用应用2 2：证：第41页/共69页综合以上两种情况，得证。例：x补=10111011 -x补=01000100+1=01000101第42页/共69页例1：已知：2n-1 x 0，x为何值时等式 x补=x原成立。解：1、以四位二进制为例第43页/共69页2、由于2n-1 x 0 x补=2n-1 x x原=2n+x 为满足x原=x补 有：2n-1 x=2n+x 则：2x=2n-1 2n x=2n-2 且当2n-1 x 0时，一个n只有一个x使等式 x补=x原成立。第44页/共69页1.4 1.4 数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示1.4.1 数的定点表示即小数点的位置固定不变,一般可固定在任何位置,但通常固定在数值部份的最高位之前或最低之后,前者表示纯小数,后者表示纯整数。但机器中并没有小数点,仅仅是一种默认。第45页/共69页1 1 1 0 1 1 0 1符号 小数点n位数值1 1 1 0 1 1 0 1符号 小数点n位数值如果运算结果小于2-n(或1)，称出现了下溢，一般作为0处理，结果大于1-2-n(或2n-1)，称出现了上溢，一般会停机或进入出错处理程序。第46页/共69页1.4.2 数的浮点表示定点数的数域较小。若既要能表示很小的数，又要能表示很大的数，则采用浮点表示法比较合适。一般形式为：N=2JS其中2J称为N的指数部分，表示小数点的位置，S为N的尾数部分，表示数的符号和有效数字。第47页/共69页规格化数：尾数最高数值位非0，规格化数可以提高运算精度。例如：如果尾数的数值部分只有4位，则后一种表示将产生误差。第48页/共69页阶符阶码尾符尾数例：机器零：浮点数的尾数为零或阶码为最小数上溢：数的阶码大于机器所能表示的最大阶码下溢：数的阶码小于机器所能表示的最小阶码N=210 0.1010第49页/共69页浮点数的运算：1)加减法：若 J1=J2 若J1 J2 则需要先对阶再按上式进行计算例：N1=211*0.1011 N2=201对阶：使J1=J2=11则2=2112)乘除法：第50页/共69页1.5 1.5 数码和字符的代码表示数码和字符的代码表示1.5.1 十进制数的二进制编码简称为二十进制码或BCD码，即用若干位二进制数来表示一位十进制数。第51页/共69页一、一、8421 BCD8421 BCD码码简称8421码。按4位二进制数的自然顺序，取前十个数依次表示十进制的09，后6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。8421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为8,4,2,1，如:8421码0111=08+14+12+11=7第52页/共69页8421码的特点：1）与四位二进制数的表示完全一样2）10101111为冗余码3）8421码与十进制的转换关系为直接转换关系例:（0001 0011.0110 0100)8421BCD=(13.64)104)运算时按逢10进1的原则,并且要进行调整调整原则:有进位或出现冗余码时,加法+6调整;减法-6调整.第53页/共69页8421码运算举例:例:8+9=17 1 0 0 0+)1 0 0 1 1 0 0 0 1 进位+)0 1 1 00 1 1 1例:7+6=13 0 1 1 1+)0 1 1 0 1 1 0 1 +)0 1 1 01 0 0 1 1丢弃第54页/共69页二、余二、余3 3码码由8421码加3形成。4）如果两个余3码相加没有进位，则和数要减3，否则和数要加3。1)是一种无权码。2)有六个冗余码。（0000、0001、0010、1101、1110、1111）3）对9的自补码。例：(4)余3码=0111;(5)余3码=1000 (0111)9补=1000 即0111按位取反。第55页/共69页 0 1 0 0)0 1 1 01 0 1 0)0 0 1 10 1 1 1例如：0100+0110=0111 1 0 0 0)1 0 0 11 0 0 0 1+)0 0 1 11 0 1 0 01000+1001=1 0 1 0 0第56页/共69页三、三、2421 BCD2421 BCD码码简称2421码。按4位二进制数的自然顺序，取前8个数依次表示十进制的07，8和9分别为1110和1111。其余6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。这只是2421码的一种编码方案。2421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为2,4,2,1，如:2421码0111=02+14+12+11=72421码1110=12+14+12+01=8第57页/共69页2421码的编码方案：代码代码方案方案1方案方案2方案方案3/4000000000000010001000100012001010000010/10003001110010011/10014010010100100/10105010110111011/01016011011001100/01107011111011101/011181110111011109111111111111对九自补第58页/共69页1.5.2 可靠性编码能减少错误，发现错误，甚至纠正错误的编码称为可靠性编码。第59页/共69页一、格雷码一、格雷码在一组数的编码中，如果任意相邻的代码只有一位二进制数不同，即为格雷码。典型二进制格雷码编码规则：1 1 0 11 0 1 1例：13的格雷码：第60页/共69页 十进制十进制 二进制二进制GREY1步进码步进码GREY2000000000000000000100010001000010001200100011000110011300110010001110010401000110011110110501010111111111110601100101111101010701110100111001011810001100110001001910011101100001000101010111111101111101211001010131101101114111010011511111000反射循环格雷码应用：循环计数第61页/共69页典型二进制格雷码转换成二进制数的方法：0 1 0 00 1 1 1例：7的典型格雷码为 0100步进码的形成：例：“7”的步进码为 11100；“8”的步进码为 11000111000 0左移一位取反第62页/共69页二、奇偶校验码二、奇偶校验码由信息位和校验位(冗余部分)两部分组成。校验位的取值可使整个校验码中的1的个数按事先的规完成为奇数或偶数。第63页/共69页奇偶校验码可发现奇数位错误，但不能1 0011010 1 0011011 出现的错误,但并不知道是哪一位出了错.虽然1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1出现了错误，但我们无法知道。发现偶数位错误。如第64页/共69页三、海明码三、海明码可以检验一位错误并且可以定位的可靠性编码。结构：信息位(4位)+校验位(3位)（以BCD码为例)组织：I4I3I2P3I1P2P1校验规则：例：求0100的海明码0101010P3 P2 P1第65页/共69页海明码校验和：Si=0 无错；Si=1 出错。（i=0,1,2）海明码错误定位:S2S1S0为000说明无错;S2S1S0为111至001表明一位出错位置。S2=1；S1=0；S0=1 说明第五位出错。错例：接收 0 0 0 1 1 1 0I4 I3 I2 P3 I1 P2 P1第66页/共69页海明码信息位与校验位的关系：其中k为校验位位数；n为信息位位数。海明码位数+1 255 2478 127 1207 63 576 31 265 15 114 7 43 3 12101海明码位数海明码位数nmaxk第67页/共69页1.5.3 字符代码字符A,B,Z;a,b,z;+,-,0,1,2,9等用ASCII(美国标准信息交换码)表示(7位)注：数字0,1,9与字符0,1,9是不同的.第68页/共69页感谢您的观看！第69页/共69页