线性方程组解.pptx

一、线性方程组的表达式1.一般形式3.向量方程的形式方程组可简化为 AX=b 2.增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形式第1页/共28页二、线性方程组的解的判定设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组定义：定义：线性方程组如果有解，就称它是线性方程组如果有解，就称它是相容的相容的；如果无解，；如果无解，就称它是就称它是不相容的不相容的问题问题1：方程组是否有解？方程组是否有解？问题问题2：若方程组有解，则解是否唯一？若方程组有解，则解是否唯一？问题问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？m、n 不一不一定相等！定相等！第2页/共28页定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 Ax=b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)n 分析：分析：只需证明条件的充分性，即只需证明条件的充分性，即R(A)R(A,b)无解；无解；R(A)=R(A,b)=n 唯一解；唯一解；R(A)=R(A,b)n 无穷多解无穷多解那么那么无解无解 R(A)R(A,b)；唯一解唯一解 R(A)=R(A,b)=n；无穷多解无穷多解 R(A)=R(A,b)n 第3页/共28页证明：证明：设设 R(A)=r，为叙述方便，不妨设，为叙述方便，不妨设 B=(A,b)的的行最行最简形矩阵简形矩阵为为第一步：第一步：往证往证 R(A)R(A,b)无解无解若若 R(A)R(A,b)，即，即 R(A,b)=R(A)1，则，则 dr+1=1 于是于是 第第 r+1 行对应矛盾方程行对应矛盾方程 0=1，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解R(A)R(A,b)R(A)1 前前 r 列列 后后 n-r 列列 第4页/共28页前前 n 列列前前 r 列列第二步：第二步：往证往证 R(A)=R(A,b)=n 唯一解唯一解若若 R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解故原线性方程组有唯一解后后 n-r 列列 则则 dr+1=0 且且 r=n，对应的线性方程组为对应的线性方程组为 从而从而 bij 都不出现都不出现.第5页/共28页第三步：第三步：往证往证 R(A)=R(A,b)n 无穷多解无穷多解若若 R(A)=R(A,b)n，对应的线性方程组为对应的线性方程组为前前 r 列列 则则 dr+1=0.后后 n-r 列列 即即 r n，第7页/共28页令令 xr+1,xn 作自由变量，则作自由变量，则 再令再令 xr+1=c1,xr+2=c2,xn=cn-r，则，则 线性方程组线性方程组的通解的通解第8页/共28页例：例：求解非齐次求解非齐次线性方程组线性方程组解：解：R(A)=R(A,b)=3 4，故原线性方程组有无穷多解，故原线性方程组有无穷多解第9页/共28页解（续）：解（续）：即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组令令 x3 做自由变量，则做自由变量，则 方程组的通解可表示为方程组的通解可表示为 第12页/共28页例：例：求解非齐次求解非齐次线性方程组线性方程组解：解：R(A)=2，R(A,b)=3，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解第13页/共28页例：例：求解齐次求解齐次线性方程组线性方程组提问：提问：为什么只对系数矩阵为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形进行初等行变换变为行最简形矩阵？矩阵？答：答：因为齐次线性方程组因为齐次线性方程组 Ax=0 的常数项都等于零，于是的常数项都等于零，于是必有必有 R(A,0)=R(A)，所以可从，所以可从 R(A)判断齐次线性方程组判断齐次线性方程组的解的情况的解的情况第14页/共28页例：例：设有设有线性方程组线性方程组问问 l l 取何值时，此方程组有取何值时，此方程组有(1)唯一解；唯一解；(2)无解；无解；(3)有无有无限多个解？并在有无限多解时求其通解限多个解？并在有无限多解时求其通解定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 Ax=b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)n 第15页/共28页解法解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵第16页/共28页附注：附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l l+1，l l+3 等因式等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对如果作了这样的变换，则需对 l l+1=0（或（或 l l+3=0）的）的情况另作讨论情况另作讨论 第17页/共28页分析：分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l l 取何值时，取何值时，r2、r3 是非零行是非零行在在 r2、r3 中，有中，有 5 处地方出现了处地方出现了l l，要使这，要使这 5 个元素等于个元素等于零，零，l l=0，3，3，1 实际上没有必要对这实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，个可能取值逐一进行讨论，先先从从方程组有唯一解入手方程组有唯一解入手第18页/共28页于是于是当当 l l 0 且且 l l 3 时，时，R(A)=R(B)=3，有唯一解，有唯一解当当 l l=0 时，时，R(A)=1，R(B)=2，无解，无解当当 l l=3 时，时，R(A)=R(B)=2，有无限多解，有无限多解第19页/共28页解法解法2：因为系数矩阵因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是分必要条件是|A|0 于是于是当当 l l 0 且且 l l 3 时，时，方程组有唯一解方程组有唯一解第20页/共28页当当 l l=0 时，时，R(A)=1，R(B)=2，方程组无解，方程组无解当当 l l=3 时，时，R(A)=R(B)=2，方程组有无限多个解，其通解为，方程组有无限多个解，其通解为第21页/共28页定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 Ax=b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)n 分析：分析：因为对于因为对于 Ax=0 必有必有 R(A,0)=R(A)，所以可从，所以可从 R(A)判断齐次线性方程组的解的情况判断齐次线性方程组的解的情况定理：定理：n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件是是 R(A)n 定理：定理：线性方程组线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,B)第22页/共28页定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,B)证明：证明：设设 A 是是 mn 矩阵，矩阵，B 是是 ml 矩阵，矩阵，X 是是 nl 矩阵矩阵.把把 X 和和 B 按列分块，记作按列分块，记作X=(x1,x2,xl)，B=(b1,b2,bl)则则即矩阵方程即矩阵方程 AX=B 有解有解 线性方程组线性方程组 Axi=bi 有解有解 R(A)=R(A,bi)第23页/共28页设设 R(A)=r，A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 ，则，则 有有 r 个非零行，个非零行，且且 的后的后 mr 行全是零行全是零再设再设从而从而 矩阵方程矩阵方程 AX=B 有解有解 线性方程组线性方程组 Axi=bi 有解有解 R(A)=R(A,bi)的后的后 mr 个元素全是零个元素全是零 的后的后 mr 行全是零行全是零 R(A)=R(A,B)第24页/共28页定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,B)定理：定理：设设 AB=C，则，则 R(C)minR(A),R(B)证明：证明：因为因为 AB=C，所以矩阵方程，所以矩阵方程 AX=C 有解有解 X=B，于是于是 R(A)=R(A,C)R(C)R(A,C)，故，故 R(C)R(A)又又(AB)T=CT，即，即 BTAT=CT，所以矩阵方程，所以矩阵方程 BTX=CT 有解有解 X=AT，同理可得，同理可得，R(C)R(B)综上所述，可知综上所述，可知 R(C)minR(A),R(B)第25页/共28页非齐次线性方程组非齐次线性方程组无解无解否否是是无限多个解无限多个解否否是是唯一解唯一解包含包含 n-R(A)个自由变量个自由变量的通解的通解第26页/共28页补例：1.设A为列满秩矩阵，AB=C，证明Bx=0和Cx=0同解；2.证明AX=Em有解的充要条件是R（A）=m；3.证明R（A）=1的充要条件是存在非零列向量 和非零行向量 ，使 ；4.证明A和B等价的充要条件是 ；第27页/共28页感谢您的观看！第28页/共28页