第四章随机变量的数字特征-.pdf

第四章 随机变量的数字特征讨论随机变量数字特征的原因（1）在实际问题中，有的随机变量的概率分布难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。（2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。（3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完r r 全确定其具体的分布。4.1 数学期望一、数学期望的概念1.离散性随机变量的数学期望例 41：大学一年级某班有32 名同学，年龄情况如下：年龄17 18 19 20 21 22 ft-.,ra-.,|人数2 7 10 8 4 1 求该班同学的平均年龄。解：平均年龄=1481072122421820101971821725.19把上式改写为：3212232421328203210193271832217设 X为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为X 17 18 19 20 21 22 ft-.,ra-.,|P 2/32 7/32 10/32 8/32 4/32 1/32 定义 4.1：设离散型随机变量X的分布列为：Xx1 x2 x3.xk.Pp1 p2 p3.Pk.若kkkpx绝对收敛（即kkkkkkpxpx），则称它为X的数学期望或均值（此时，也称X的ft-.,ra-.,|数学期望存在），记为 E(X),即若kkkpx发散，则称X 的数学期望不存在。说明：（1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均；（2）要注意数学期望存在的条件：kkkpx绝对收敛；（3）当 X服从某一分布时，也称某kkkpxEXft-.,ra-.,|分布的数学期望为 EX。例 42：设 X服从参数为 p 的两点分布，求 EX EX=p 例 43：设 X B(n,p)，求 EX EX=np 例 44：设 X服从参数为的泊松分布，求 EX EX=r r 2.连续型随机变量的数学期望定义 4.2:设连续型随机变量X 的概率密度为 f(x).若积分dxxxf)(绝对收敛，（即dxxfx)(），则称它为 X的数学期望或均值（此时，也称 X的数学期望存在），记为 E(X),即)()(dxxxfXE若ft-.,ra-.,|dxxfx)(，则称 X 的数学期望不存在。例 4.5:设 X服从 Ua,b,求 E(X)。EX=2ba例 4.6:设 X 服从参数为的指数分布，求 EX EX=例 4.7:),(2NX，求 EX EX=ft-.,ra-.,|下面分析书上 P101-P104 例。例1P101 例2P101 例3P102-103 解：注意由于 8:00 9:00,9:0010:00都恰有一辆车到站，所以(i)8:00 到车站的旅客在8:50 前一定会上车，而(ii)8:20到 车 站 的 旅 客 则 可 以 直 到9:50 才会上车。例 4 P103 r r 3.随机变量函数得数学期望定理 4.1:设随机变量X 的函数为Y=g(X)，(1)若离散型随机变量X的分布律为)(kkxXPp,k=1,2,，kkkpxg)(绝对收敛，则 Y的数学期望存在，且)()()(kkkpxgXgEYE(2)若连续型随机变量X的概率密度为f(x),Y=g(X)也是连续型随机变量，dxxfxg)()(绝对收敛，则 Y的数r r 学期望存在，且)()()()(dxxfxgXgEYE定理 4.2:设二维随机变量（X,Y)的函数 Z=g(x,y)(1)若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,.2,1,),(jiyYxXPpjiijr r 且有jiijjipyxg,),(绝对收敛，则Z的数学期望存在，且),(),()(,jiijjipyxgYXgEZE(2)若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),Z=g(X,Y)也是连续型随机变量,并且dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛，则 Z的数学期望存在，且),(),(),()E(dxdyyxfyxgYXgEZr r 例 5 P106 例 6 P107 例 7 P107 以下为第一版例。例 4.8:设 X U0,，Y=Xsin,求E(Y)。例 4.9:设（X,Y）的联合分布律为emnmppmYnXPmnmn!)-(!)1(),(ft-.,ra-.,|其中,1,0;,2,1,0;10;0nmnp求 E(XY)。二.数学期望的性质性质 1:若 c 为常数，则E(c)=c。性质 2:若 c 为常数，随机变量X 的数学期望存在，则:cX 的数学期望存在，且 E(cX)=cE(X)性质 3:若二维随机变量(X,Y)的分量r r X,Y 的数学期望都存在，则X+Y的数学期望存在，且 E(X+Y)=E(X)+E(Y)推论:若 n 维随机变量（X1,X2,.,nX)的分量 X1,X2,.,nX的数学期望都存在，则 X1+X2+.+nX的数学期望存在，且)()(11niiniiXEXE性质 4:若随机变量 X,Y 相互独立，它们的数学期望都存在，则X?Y的数学r r 期望存在，且推论:若随机变量X1,X2,.,Xn相互独立，它们的数学期望都存在，则X1X2Xn的数学期望存在,且性质 5:若随机变量只取非负值，又E(X)存在，则 E(X)0。若YX对任何S，)(),(YEXE存在，则)()(YEXE。r r 特别地，若babXa,为常数，)(XE存在，则bXEa)(。例 8 P109 例 9 P110 第一版例例 4.14：设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n（假定 nN-M）件，记这 n 件中所含次品数为 X，求 E（X）。r r 三.综合性的例题（第一版）例:设 X的概率密度为其它010)(2xbxaxf，其中 a,b 为常数，且 E（X）=53。求a,b 的值。注意：f(x)中有几个未知数要建几个方程来求之。例:射击比赛规定：每位射手向目标独立重复射击四法子弹，全未中的0ft-.,ra-.,|分，仅中一发得15 分，恰中两发得30 分，恰中三发得 55 分，全中得 100分。若某射手的命中率为0.6，求他得分的数学期望。例:某水果商店，冬季每周购进一批苹果。已知该店一周苹果销售量X(单位:kg)服从 U1000,2000。购进的苹果在一周内售出，1kg 获纯利 1.5 元；一周内没售出，1kg 需付耗损、储藏等费用 0.3 元。问一周应购进多少千克苹果，商店才能获得最大的平均利r r 润。4-2 方差一.方差的概念1、定义 4.3:设 随机变量 X的数学期望为 E(X),若 E(X-E(X)2存在，则称它为 X的方差（此时，也称X的方差存在），记为 D(X)或 Var(X),即D(X)=E(X-E(X)2称 D(X)的算术平方根DX（）为 X 的标准差或均方差，记为)(X，即)()(XDXft-.,ra-.,|由数学期望的性质5 知，若随机变量 X的方差 D(X)存在，则 D(X)0。简言之，方差是一个非负实数。当 X服从某分布时，我们也称某分布的方差为 D(X)。2、计算方差（1）若 X 是离散型随机变量，其分布律为 pi=P(X=xi),i=1,2,.,且 D(X)存在，则)(D(X)2iiipXEx（2）若 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x),且 D(X)存在，则r r)(E(X)-(xD(X)2dxxf（第一版）例 1：设 X B(1,p)，求 D(X)例 2：设 X N(,2)，求 D(X)例 3：设 X Ua,b，求 D(X)(3)D(X)=E(X2)-(EX)2 证明：P112.r r 例1P112 例2P112（第一版）例 4：设 X()，求 D(X)例 5：已知X)3(),2,10(2YN，求)2(22YXE二.方差的性质性质 1:若 C为常数，则 D(C)=0 性质 2:若 C为常数,随机变量 X的方r r 差存在，则 CX的方差存在，且 D(CX)=C2D(X)证明由自己完成性质 3:若随机变量 X,Y 相互独立，它们的方差都存在，则 X Y的方差也存在，且D(X Y)=D(X)+D(Y)证明：P113 推论:若随机变量X1,X2,Xn相互独立，它 们 的 方 差 都 存 在，则r r X1+X2+.+Xn的方差存在，且性质 4:若随机变量 X的方差存在，对任意的常数 C E(X),则 D(X)=2)(EXXE E(X-C)2即函数 g(C)=E(X-C)2在 C=E(X)处达到最小值 D(X)。性质 5 若 D(X)存在，则 D(X)=0 的充要条件是:P(X=E(X)=1 r r 例 3 P113 第一版例：例 6：X服从 B(n,p),求 D(X).例 7：某种商品每件表面上的疵点数X 服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于 1 不多于 4 的为二等品，价值8元。某件表面疵点数是4 个以上着为废品，求产品价值的均值和方差。已知)8.0(X设产品价值为YVR.r r Y取值0 8 1X(X4)(41X)(X1P(Y=k)P(X4=1-0.8088-0.1898 P(41X)=P(4X)-P(1X)=1-P(5X)-1-P(2X)=0.1898 P(X=1-P(X=0.806.98088.0101898.08)(XE元03.938088.0101898.080222EX8672.0)()()(22XEXEXD例：设随机变量 X的方差 D(X)存在,ft-.,ra-.,|且 D(X)0 令)()(XDXEXX,其中E(X)是X的 数 学 期 望，求)D(X)(和XE。三契比雪夫不等式(Chebyshev)契比雪夫不等式：设随机变量X的方差 D(X)存在，则对任意的0，均有 PX-E(X)2)(XD或等价地ft-.,ra-.,|J PX-E(X)1-2)(XD例：P X-E(X)3 0.8889 P X-E(X)4 0.9375 解：P X-E(X)3 1-22)3(=1-91P X-E(X)4 1-161Data;A=8/9;put a=;A=15/16;put a=;Run;ft-.,ra-.,|A=0.8888888889 A=0.9375 4.3 几种生要随机变量的数学期望与方差P115 这部分结果很重要，要牢记。P117，关于正态随机变量的三个重要数据：)1()1(XP1)1(2=0.6826894921r r)2()2(22XP1)2(2=0.9544997361)3()3(33XP1)3(2=0.9973002039 SAS的两种计算公式：data;r r p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1);put p1=;p2=PROBNORM(2)-PROBNORM(-2);put p2=;p3=PROBNORM(3)-PROBNORM(-3);put p3=;run;p1=0.6826894921 p2=0.9544997361 p3=0.9973002039 data;p1=2*PROBNORM(1)-1;put p1=;p2=2*PROBNORM(2)-1;put p2=;p3=2*PROBNORM(3)-1;put p3=;run;ft-.,ra-.,|-il刷刷刷刷刷刷刷且二p1=0.6826894921 p2=0.9544997361 p3=0.9973002039 也可以验证数据，即以为中心，需要几倍的标准差距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。Data;q1=abs(probit(1-0.6826894921)/2);put q1=;q2=abs(probit(1-0.9544997361)/2);put q2=;q3=abs(probit(1-0.9973002039)/2);put q3=;run;q1=0.9999999999 q2=2 r r q3=2.9999999959 data;q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=;q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=;q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=;run;q1=0.9999999999 q2=2 q3=2.9999999959 注意：为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差距离。Data;r r q1=abs(probit(1-0.9)/2);put q1=;q2=abs(probit(1-0.95)/2);put q2=;q3=abs(probit(1-0.98)/2);put q3=;q3=abs(probit(1-0.99)/2);put q3=;run;q1=1.644853627 q2=1.9599639845 q3=2.326347874 q3=2.5758293035 比如，96.196.1XP=0.95 64485.164485.1XP =0.9 r r 等的结论也是常用的。几乎都成常识了。书示附表 1中列出了多种常用的随机变量的数据期望和方差。4.4 协方差及相关系数一.协方差与相关系数的概念1.定义定义 4.4：设二维随机变量(X,Y),它的分量的数学期望为E(X),E(Y)，若r r E(X-E(X)(Y-E(Y)存在，则称它为 X,Y 的协方差，记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)2.计算(1)用定义计算若二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律),(jiijyYxXPpi,j=1,2,，且Cov(X,Y)存在,则Cov(X,Y)=r r jiijjipYEyXEx,)()(若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),且 Cov(X,Y)存在，则),()()(),(dxdyyxfYEyXExYXCov（2）、公式在计算Cov(X,Y)时，除用定义外，有时用下述公式较方便：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)第一版例：不讲。r r 例:设(X,Y)在圆域上服从均匀分布，判断X,Y 是否不相关。并求Cov(X,Y)。例:设(X,Y)的联合分布律为emppmYnXPmnmn!m)-(n!)1(),(其中nmnp,2,1,0,2,1,0,10,0求 Cov(X,Y),并讨论 X,Y 的相关性。说明：r r(1)Cov(X,Y)能反映 X 与 Y 之间某种联系的程度。(2)Cov(X,Y)是有量纲的量，其值与(X,Y)的取值单位有关。3.相关系数定义 4.5:若二维随机变量(X,Y)的分量 的 方 差D(X),D(Y)都 存 在，且D(X)0,D(Y)0,则 称)()(),(YDXDYXCov为 X,Y 的相关系数，记为XY,即XY=)()(),(YDXDYXCov定义 4.6：若XY=0 则称 X,Y 不相关；ft-.,ra-.,|J一JJ J 若0XY称 X,Y 正相关；若0XY则称 X,Y 负相关。4.随机变量 X,Y 独立性与不相关的关系(1)一般情况下，设xy存在，若 X,Y相互独立,则0 xy，即 X,Y 不相关。反之，X,Y不相关,但 X,Y不一定独立。如 例：（书4.31）（X，Y）在222:ryxD上均匀分布。可知X，Y 不相关，但 X，Y不独立。r r(2)特别，对于二维正态分布(X,Y)服从有),;(22,221,1NX,Y 相互独立0 X,Y 不相关。二 协方差与相关系数的性质1.性质性质 1:若 X,Y 的协方差 Cov(X,Y)存在，则r r E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)性质 2:若(X,Y)两个分量的方差都存在，则D(X Y)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)推论:若(X1,X2,.Xn)各分量的方差都存在，则nininjijiiiYXCovXDXD111),(2)()(性质 3:设下述各式所出现的协方差都存在，则有 Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(aX,Y)=a Cov(X,Y),(),(),(1121YXCovYXCovYXXCovr r Cov(X,X)=D(X)Cov(a,X)=0 其中 a为常数例3(第 一 版)：设（X，Y）2222221),(yxeyxf，求Cov(2X+Y,YX2)性质 4:若 X,Y 的相关系数XY存在，则(1)XY1;(2)XY=1的充要条件是：存在常数ft-.,ra-.,|a,b 且 a 0,使 得 概 率 为1 的 有Y=aX+b,即P(Y=aX+b)=1 证法一见书 P-120.几点说明:(1)由性质的证明可见：11XY1baXYP，a0，这时称 X与 Y完全正相关；21XYft-.,ra-.,|-il刷刷刷刷刷刷刷且()()1baXYP，a0,这时称 X与 Y完全负相关。完全正相关和完全负相关统称为完全相关，当X 与 Y 完全相关时,(X,Y)可能取的值概率为1的集中在一条直线上。(2)相关系数XY是用来刻画X,Y 线性相关性程度的一个数量。当|XY越接近于 1 时，X 与 Y 之间越近似有线性关系；当|XY较小时，X 与 Y之间不能认为有近似的线性关系。(3)当0XY时，X,Y 不相关，X,Yr r 之间没有线性关系。这时,X,Y之间的关系较复杂；可能 X,Y 相互独立(如二维正态分布),可能(X,Y)在平面的某个区域内服从均匀分布(如例 4.31)，可能X,Y 之间有某种非线性的函数关系(如下面的例 4.33)。例 1 P121 4.5 矩、协方差矩阵定义 4.7:设二维随机变量(X,Y),k,lr r 为非负整数。若 E(Xk)存在，则称它为X 的 k阶原点矩,简称 k 阶矩；若 EX-EXk,k=1,2,.存在，则称它为 X 的 k 阶中心矩。若 E(XkYl)存在，则称它为 X和 Y的(k,l)阶 混 合 矩，记 作mkl,即mkl=E(XkYl)；若 E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 存在，则称它为 X 和 Y 的(k,l)阶混合中心矩，记作kl,即kl=E(X-E(X)k(Y-E(Y)l。显然，数学期望 E(X)是 X的一阶r r 矩，方差 D(X)是 X 的二阶中心矩,协方差 Cov(X,Y)是 X和 Y的(1,1)阶混合中心矩.关于矩有下述结论：设k 为正整数。(1)若 E(Xk)存在，则对小于k 的一切非负整数l，E(Xl)存在.这由X1+Xk，即得 EXl1+E Xk(2)原点矩与中心矩可相互表示。协方差矩阵r r P123125.略。本章练习题5,6,7,8,9,10,15(1),16,17,22,23,26,28.r r