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物理竞赛中的数学知识一、重要函数1 指数函数2 三角函数1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32-2oyx3 反三角函数反正弦 Arcsin x，反余弦 Arccos x，反正切 Arctan x，反余切 Arccot x 这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。二、数列、极限1 数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项 排在第 n 位的数称为这个数列的第n 项。数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，a（n+1），简记为 an，通项公式：数列的第N 项 an与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。2 等差数列：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。通项公式an=a1+(n-1)d，前 n 项和11(1)22nnaan nSnnad等比数列：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。通项公式an=a1q(n-1)，前 n 项和11(1)(1)11nnnaa qaqSqqq量问专1JI 一tj./所有项和1(1)1naSqq3求和符号4 数列的极限：设数列na,当项数n无限增大时,若通项na无限接近某个常数A,则称数列na收敛于A,或称 A 为数列na的极限,记作Aannlim否则称数列na发散或nnalim不存在.三、函数的极限：在自变量x 的某变化过程中，对应的函数值f(x)无限接近于常数A，则称常数 A 是函数 f(x)当自变量x 在该变化过程中的极限。设 f(x)在 xa(a0)有定义,对任意0,总存在 X0,当 xX 时，恒有|f(x)A|，则称常数 A 是函数 f(x)当 x+时的极限。记为xlimf(x)=A，或 f(x)A(x+)。运算法则0limxxf(x)g(x)=0limxxf(x)0limxxg(x)0limxxf(x)g(x)=0limxxf(x)0limxxg(x)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx，其中0limxxg(x)0.四、无穷小量与无穷大量1若0)(lim0 xfxx，则称)(xf是0 xx时的无穷小量。一一川Z符号发示的怂剌四（Suro,Summ皿i肌A创iti叫，读法：“gmaWG.suroroatio。”T.:nJ;幸被求和I的锹（Parameter）、附（F叫ion）、一捕。晌rsa-ipt）、下标（s巾cript)飞表示第n硕（n麟，erm);n=I抑制1(1内第一项，n=N表示州的时Jji,上帐、下标，一似只刷，、J、k,I,m、n这六个字母农示，具体俯罚在普例如下：、，nv(.I;n=5+6+7+8+9+10+1 I+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24,.,.12 Lsin a.=sina 3 巾句村in晤，sina6村in扭，sina,+sin a.,+sin a川sina11+sin a.旧”-l I;sin。”问in3a3+sin a,+sin a,-sin a川sina，”马归a,+sin飞sina.,份-l二王I I I I I 1l I I I，一t-t-1-+-t写m(m+2)6x8 7x9 8xl0 9xll 10 xt2 llx t3 12xl4 13xlS 14川6l Sx 17(02)、.,s nv(04)（若,)(lim0 xgxx则称)(xf是0 xx时的无穷大量）。或：若0limxx(x)=0,则称(x)当 xx0时为无穷小。在自变量某变化过程中，|f(x)|无限增大，则称 f(x)在自变量该变化过程中为无穷大。记为lim().f x2无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3无穷小量的运算性质（i）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。（ii）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。（iii）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4无穷小的比较定义：设0limx(x)=0，0limx(x)=0，1)若)()(lim0 xxx=0，则称当xx0时(x)是比(x)高阶无穷小。2)若)()(lim0 xxx=，则称当xx0时(x)是比(x)低阶无穷小。3)若)()(lim0 xxx=C(C0)，则称当xx0时(x)与(x)是同阶无穷小，4)若)()(lim0 xxx=1,则称当 xx0时(x)与(x)是等价无穷小。5常用的等价无穷小为：当 x0 时：sin xx，tan xx，arcsin xx，arctan xx，1 cos x221x，11nxxn1。等价无穷小可代换五、二项式定理1 阶乘：n!=1 2 3n2组合数：从m 个不同元素中取出n（nm）个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n 个元素的组合数J一饥！咛二二二二c:H！Ctn-n)!11 3二项式定理即六、常用三角函数公式sin（）sin cos（）costan（）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot sin()sincoscossinABABAB sin()sincoscossinABABABcos()coscossinsinABABAB cos()coscossinsinABABABsin22sincosAAA2222cos2cossin12sin2cos1AAAAA22tantan21tanAAA1cossin22AA1coscos22AA1cossintan21cos1cosAAAAA和差化积公式sinsin2sincos22abababsinsin2cossin22abababcoscos2coscos22abababcoscos2sinsin22abababsintantancoscosababab积化和差公式1sinsincoscos2ababab1cos coscoscos2ababab1sincossinsin2ababab1cos sinsinsin2ababab万能公式22tan2sin1tan2aaa221tan2cos1tan2aaa22tan2tan1tan2aaa(a+b)=Ca+C;a-1 b+C;a-2b+.+C；飞c;b(a斗时，Lc;,abn-.,-o 真申C!一二！(n-i)!i!典型物理问题数列极限等应用1 蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心距离 L1=1m 的 A 点处时，速度是V1=2cm/s。试问蚂蚁继续由A 点到距巢中心L2=2m 的 B点需要多长时间？2m1m2m3a1a2a3常见近似处理1 人在岸上以v0速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少？2 如图所示，顶杆AB 可在竖直滑槽K 内滑动，其下端由凹轮M 推动，凸轮绕O 轴以匀角速度 转动.在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A 接触，法线n 与 OA 之间的夹角为，试求此瞬时顶杆AB 的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题)吓4四再旦v 3三个芭蕾舞演员同时从边长为L 的正三角形顶点A,B,C 出发，速率都是v，运动方向始终保持着A朝着 B,B 朝着 C,C 朝着 A。经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？4 如图所示，半径为R2的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R1的圆柱上，母线互相垂直，设两圆柱间动摩擦因数足够大，不会发生相对滑动，试问稳定平衡时，R1与 R2应满足什么条件?5.一只狐狸以不变的速度1沿着直线AB 逃跑，一只猎犬以不变的速率2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，FDAB，且 FD=L，如图 141 所示，求猎犬的加速度的大小.c 解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度rra,22为猎犬所在处的曲率半径，因为r 不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D 处的加速度大小，由于2大小不变，如果求出 D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度aR22其方向与速度方向垂直，如图14 1甲所示.在t时间内，设狐狸与猎犬分别到达DF 与，猎犬的速度方向转过的角度为2t/R 而狐狸跑过的距离是：1tL因而2t/R1t/L，R=L2/1所以猎犬的加速度大小为aR22=12/L 6如图所示，半径为R，质量为m 的圆形绳圈，以角速率绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解析取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角很小时，有近似关系式.sin若取绳圈上很短的一小段绳AB=L为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为，这段绳两端所受的张力分别为AT和BT（方向见图143甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以AT和BT的大小相等，均等于 T.AT和BT在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m，根据牛顿第二定律有：RmT22sin2；因为L段很短，它所对应的圆心角很小所以22sin将此近似关系和22mRmRm代入上式得绳中的张力为22RmTaulFdnThq 7 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A 处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C 处所需时间，恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图144 中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A 点出发到C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值.解析直角三角形AB、BC、CA 三边的长分别记为1l、2l、3l，如图 144甲所示，小球从A 到 B 的时间记为1T，再从 B 到 C 的时间为2T，而从 A 直接沿斜边到C 所经历的时间记为3T，由题意知321TTT，可得1l：2l：3l=3：4：5，由此能得1T与2T的关系.因为21121121TgTlgTl所以21212TTll因为1l：2l=3：4，所以1232TT小球在图 144乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为11Tt，经各水平段所需时间之和记为2t，则从 A 到 C 所经时间总和为21tTt，最短的2t对应t的下限mint，最长的2t对应t的上限.maxt小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC 重合）时2t最短，其值即为2T，故mint=.35121TTT2t的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量1l，便接一段水平小量2l，这两个小量之间恒有cot12ll，角即为 ACB，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l、2l均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1it与)(2it之间有如下关联：A B c 国14-4A/1 8/2 C 固14-4甲A B c 因14-4乙cot)()(1212llitit于是作为)(2it之和的2t上限与作为)(1it之和的1T之比也为.cot故2t的上限必为1Tcot，即得：.37cot111maxTTTt这样:maxtmint=7:5 求导与微分一、导数的概念1导数定义设 y=f(x)在 x0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x,函数值有一相应改变量)()(00 xfxxfy,若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在,则称此极限值为函数y=f(x)在 x0点的导数,此时称 y=f(x)在 x0点可导,用0000)(,)(xxdxxdfxxdyxdyxxyxf或或或表示.若)(xfy在集合 D 内处处可导（这时称f(x)在 D 内可导）,则对任意Dx0,相应的导数)(0 xf将随0 x的变化而变化,因此它是x 的函数,称其为 y=f(x)的导函数,记作dxxdfdxdyyxf)(,)(或或或.2导数的几何意义若函数f(x)在点 x0处可导,则)(0 xf就是曲线y=f(x)在点（x0,y0）处切线的斜率,此时切线方程为)(000 xxxfyy.当)(0 xf=0,曲线 y=f(x)在点（x0,y0）处的切线平行于x 轴,切线方程为)(00 xfyy.若 f(x)在点 x0处连续,又当0 xx时)(xf,此时曲线y=f(x)在点（x0,y0）处的切线垂直于 x 轴,切线方程为x=x0.1几个基本初等函数的导数0c1xxsincosxxcossinxx2导数的四则运算（1）)()(xucxuc；（2）)()()()(xvxuxvxu；（3）)()()()()()(xvxuxvxuxvxu；（4）)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu二、微分1微分的概念设)(xfy在0 x的某邻域内有定义,若在其中给0 x一改变量x,相应的函数值的改变量y可以表示为).0()(0)()(00 xxxAxfxxfy其中 A 与x无关,则称)(xf在0 x点可微,且称 Ax为)(xf在0 x点的微分,记为.00 xAxxdfxxdyxA是函数改变量y的线性主部.)(xfy在0 x可 微 的 充 要 条 件 是)(xf在0 x可 导,且)(00 xxfxxdy.当xxf)(时,可得xdx,因此.)(,)(00dxxfdydxxfxxdy由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.（2）微分的几何意义当x由0 x变到xx0时,函数纵坐标的改变量为y,此时过0 x点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图 2-1 所示.当 dyy时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.2微分运算法则设)(),(xvxu可微,则)()()()()()()().()()()()()().()()()(.0)(),()(2xvxdvxuxduxvxvxudxduxvxdvxuxvxudxduxduxvxudcdxcduxcud三、不定积分1不定积分概念【定义】(原函数)若对区间I 上的每一点x,都有,)()()()(dxxfxdFxfxF或则称 F（x）是函数 f(x)在该区间上的一个原函数.原函数的特性若函数 f(x)有一个原函数F(x),则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为F（x）+C 的形式,其中 C 是任意常数.【定义】(不定积分)函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分,记作dxxf)(.若F(x)是 f(x)的一个原函数,则)()()(是任意常数CCxFdxxf2不定积分的性质（1）积分运算与微分运算互为逆运算.)()()()(,)()()()(CxFxdFCxFdxxFdxxfdxxfdxfdxxfdxd或或（2）)0()()(kdxxfkdxxkf常数（3）.)()()()(dxxgdxxfdxxgxfy。x.X.+IIX x 阁2-13基本积分公式kdxkxc11xx dxccossinxdxxcsincosxdxxc四、定积分【定义】(定积分)函数)(xf在区间 a,b上的定积分定义为niiixbaxfdxxfI10)(lim)(，【定理】(牛顿-莱布尼茨公式)若函数)(xf在区间 a,b上连续，)(xF是)(xf在a,b上的一个原函数，则)()()()(aFbFabxFdxxfba.上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式.常见应用1 一石砌堤，堤身在基石上，高为h，宽为 b，如图所示。堤前水深等于堤高h，谁和堤身的单位体积重量分别为q 和 ，问欲防止堤身绕A 点翻倒，比值b/h 应等于多少？2一个半径为四分之一的光滑球面置于水平桌面上球面上有一条光滑均匀的匀质铁链，一端固定于球面顶点A，另一段恰好与桌面不接触，且单位长度铁链的质量为p，求铁链 A端所受到拉力以及铁连所受球面的支持力3质量为m 的均匀橡皮圈处于自然状态下的半径为r1，弹性系数为k。现将它保持水平套在半径为r2的竖直圆柱上（r2r1），套上后橡皮圈的质量分布仍是均匀的，橡皮圈与柱面之间的静摩擦因数为。现在圆柱体绕竖直轴转动起来，如图所示：问要保持橡皮圈不滑下，圆柱转动的角速度 不能超过多少？常用数学知识汇总一、三角函数公式1.两角和公式sin()sincoscossinABABAB sin()sincoscossinABABABcos()coscossinsinABABAB cos()coscossinsinABABABtantantan()1tantanABABABtantantan()1tantanABABABcotcot1cot()cotcotABABBAcotcot1cot()cotcotABABBA2.二倍角公式sin22sincosAAA2222cos2cossin12sin2cos1AAAAAA。B、22tantan21tanAAA3.半角公式1cossin22AA1coscos22AA1cossintan21cos1cosAAAAA1cossincot21cos1cosAAAAA4.和差化积公式sinsin2sincos22abababsinsin2cossin22abababcoscos2coscos22abababcoscos2sinsin22abababsintantancoscosababab5.积化和差公式1sinsincoscos2ababab1cos coscoscos2ababab1sincossinsin2ababab1cos sinsinsin2ababab6.万能公式22tan2sin1tan2aaa221tan2cos1tan2aaa22tan2tan1tan2aaa7.平方关系22sincos1xx22secn1xtax22csccot1xx8.倒数关系tancot1xxseccos1xxcsin1cs xx9.商数关系sintancosxxxcoscotsinxxx二、重要公式（1）0sinlim1xxx（2）10lim 1xxxe（3）lim()1nna ao（4）lim1nnn（5）limarctan2xx（6）limtan2xarcx（7）limarccot0 xx（8）lim arccotxx（9）lim0 xxe（10）limxxe（11）0lim1xxx.r.r 三、下列常用等价无穷小关系（0 x）sin xx:tanxx:arcsinxx:arctanxx:211cos2xx:ln 1xx:1xex:1lnxaxa:11xx:四、导数的四则运算法则uvuvuvu vuv2uu vuvvv五、基本导数公式0c1xxsincosxxcossinxx2tansecxx2cotcscxxsecsectanxxxcsccsccotxxxxxeelnxxaaa1ln xx1loglnxaxa21arcsin1xx21arccos1xx21arctan1xx21arccot1xx1x12xx八、微分公式与微分运算法则0d c1d xxdxsincosdxxdxcossindxxdx2tansecdxxdx2cotcscdxxdxsecsectandxxxdxcsccsccotdxxxdxxxd ee dxlnxxd aaadx1lndxdxx1loglnxaddxxa21arcsin1dxdxx21arccos1dxdxx21arctan1dxdxx21arccot1dxdxx九、微分运算法则d uvdudvd cucdu、厂一F F一d uvvduudv2uvduudvdvv十、基本积分公式kdxkxc11xx dxclndxxcxlnxxaa dxcaxxe dxeccossinxdxxcsincosxdxxc221sectancosdxxdxxcx221csccotsinxdxxcx21arctan1dxxcx21arcsin1dxxcx一J一
