圆锥曲线离心率小结.docx
高考数学专题复习求解圆锥曲线离心率及其取值范围椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率一、直接求出、，求解圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。例1：双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，那么该双曲线的离心率为 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，那么，解得，变式练习1：假设椭圆经过原点，且焦点为、，那么其离心率为 解：由、知 ，又椭圆过原点，所以离心率.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为 解：由题设，那么，变式练习3：点P-3，1在椭圆的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，那么这个椭圆的离心率为 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线对称关系为，那么解得，那么，二、构造、的齐次式，解出根据题设条件，借助、之间的关系，构造、的关系特别是齐二次式，进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。例2：、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，假设边的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率是 解：如图，设的中点为，那么的横坐标为，由焦半径公式， 即，得，解得舍去，变式练习1：设双曲线的半焦距为，直线过，两点.原点到直线的距离为，那么双曲线的离心率为( ) 解：由，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又, ,两边平方，得，整理得，得或，又 ，变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，那么双曲线的离心率为 解：如下图，不妨设，那么，又，在中， 由余弦定理，得,即， 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，假设为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是_。解：四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆的右焦点为，右准线为，假设过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，那么椭圆的离心率是.解：如下图，是过且垂直于轴的弦，于，为到准线的距离，根据椭圆的第二定义， 变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，那么该椭圆的离心率为 解：五、直接根据题意建立不等关系求解. 例5：假设双曲线a0,b0上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，那么双曲线离心率的取值范围是解析 由题意可知即解得备选 椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，假设，那么该椭圆离心率的取值范围是解析 由题意得六、借助平面几何关系建立不等关系求解例2：设分别是椭圆的左、右焦点，假设在其右准线上存在使线段的中垂线过点，那么椭圆离心率的取值范围是 分析 通过题设条件可得，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？解析：线段的中垂线过点， ，又点P在右准线上，即，点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比拟简便.七、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.例3：双曲线a0,b0的两个焦点为F1、F2,假设P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,那么双曲线离心率的取值范围为分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？ 解析：|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=|PF2|=，|PF2|即所以双曲线离心率的取值范围为，应选B.点评：此题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于那么可建立不等关系使问题迎刃而解. 备选 双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,那么此双曲线的离心率e的最大值为：( )|PF1|=4PF2|,|PF1|-|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即所以双曲线离心率的取值范围为，备选 ，分别为的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，假设的最小值为，那么该双曲线的离心率的取值范围是 解析 ，欲使最小值为，需右支上存在一点P，使，而即所以.例5：椭圆右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。 解：设P点坐标为,那么有消去得假设利用求根公式求运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知由得例6：椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围；解析 设将代入得 求得 .点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.八、运用数形结合建立不等关系求解例7：双曲线的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是解析 欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，即即即应选C.九、运用函数思想求解离心率例8：设，那么双曲线的离心率e的取值范围是解析：由题意可知十、运用判别式建立不等关系求解离心率例9：在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，假设，求椭圆的离心率.解析: 由椭圆的定义，可得 又，所以是方程的两根，由， 可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是例10：设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围：解析 由C与相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 1a2x2+2a2x2a2=0. 所以解得双曲线的离心率所以双曲线的离心率取值范围是总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.第 6 页
