特征方程解数列递推关系.doc

用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式类型一 递推公式为An+2aAn+1bAn特征方程为 X2 =aX+b 解得两根X1 X2 (1)假设X1X2 那么An=pX1n+qX2n (2)假设X1=X2=X 那么An=(pn+q)Xn (其中p.q为待定系数，由A1.A2联立方程求得)(3)假设为虚数根，那么为周期数列类型二 递推公式为An+1 特征方程为X= 解得两根X1 X2 (1)假设X1X2 那么计算=k接着做代换Bn= 即成等比数列2假设X1=X2=X 那么计算=k+ 接着做代换Bn= 即成等差数列(3)假设为虚数根，那么为周期数列类型三 递推公式为An+1特征方程为X= 解得两根X1 X2 。然后参照类型二的方法进展整理类型四 k阶常系数齐次线性递归式 An+k=c1An+k-1+c2An+k-2+ckAn 特征方程为 Xk= c1Xk-1+c2Xk-2+ck(1) 假设X1X2Xk 那么An=+(2) 假设所有特征根X1,X2,Xs.其中Xi是特征方程的ti次重根,有t1+t2+ts=k 那么An=+ ， 其中=+B1,B2，Bti为待定系数及应用 类型一、递推公式为其中p，q均为非零常数。先把原递推公式转化为，其中满足，显然是方程的两个非零根。 1） 如果，那么，成等比，很容易求通项公式。2） 如果，那么成等比。公比为， 所以，转化成：，( I )又如果，那么等差，公差为，所以，即：可以整理成通式： Ii)如果，那么令，,就有，利用待定系数法可以求出的通项公式所以，化简整理得：可以整理成通式小结特征根法：对于由递推公式，给出的数列，方程，为特征方程。假设是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定即把与，代入，得到关于A、B的方程组；当时，数列的通项为，其中A，B由决定即把与，代入，得到关于A、B的方程组。简例应用特征根法：例1：数列：， 解：特征方程是： ,。又由，于是故例2：设p、q为实数，、是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列xn满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)求数列xn的通项公式。 解： 显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)的特征根方程就是x2-px+q=0，而、是方程x2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设： 当=时，设，因为x1=p,x2=p2-q，所以 解得 当时，设，因为x1=p,x2=p2-q，所以 解得，类型二、递推公式为 解法：如果数列满足：，且对于，都有其中p、q、r、h均为常数，且，那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,如果那么；如果那么是等差数列。当特征方程有两个相异的根、时，那么是等比数列。证明方法如同类型一，从略例1：数列满足：对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，那么有 即例2：数列满足：对于都有1假设求2假设求3假设求4当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个一样的特征根(1)对于都有(2) 令，得.故数列从第5项开场都不存在， 当4，时，.(3) 令那么对于(4)、显然当时，数列从第2项开场便不存在.由第1小题的解答知，时，是存在的，当时，有令那么得且2.当其中且N2时，数列从第项开场便不存在。于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在。例3: 数列记 求数列的通项公式及数列的前n项与解：由,得,其特征方程为解之得,或例4：各项均为正数的数列 中， 当解：由得化间得，作特征方程，。所以第 - 6 - 页