幂函数导学案1.doc

§2.3 幂函数 学习目标 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习过程 任务一、课前准备（预习教材P77 P79，找出疑惑之处）复习1：求证在R上为奇函数且为增函数.复习2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x%，2019年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数；（2）2019年底的世界人口数y与x的函数解析式任务二、新课导学探究任务一：幂函数的概念问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为的正方形面积，是的函数；（2）面积为的正方形边长，是的函数；（3）边长为的立方体体积，是的函数；（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数. 新知1、幂函数的概念：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.试一试：判断下列函数哪些是幂函数.探究任务二：幂函数的图象与性质问题：作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）从图象分析出幂函数所具有的性质.观察图象，总结填写下表：常见幂函数的性质说明： 除函数外，其余四个幂函数具有奇偶性在第一象限内，函数的图像向上与轴无限接近，我们称轴轴为渐近线结合以上特殊幂函数的图像得出一般幂函数的性质（1）所有幂函数在上都有定义，并且图像都通过点（2）若，则幂函数的图像都过原点，并且在区间上为增函数（3）若则幂函数的图像在区间上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图像在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图像在轴上方无限地逼近轴（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数 例1、已知幂函数，求的值例2、已知函数为何值时，是：（1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数例3 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）2、幂函数的定义域和值域所有幂函数的定义域和值域的求法分为五种情况（1）时，的定义域为，值域为（2）为正整数时，的定义域为，为偶数时，值域为,为奇数时，值域为（3）为负整数时，的定义域为，为偶数时，值域为，为奇数时，值域为（4）当为正分数时，化为，根据的奇偶性求解（5）当为负分数时，化为，根据的的奇偶性求解例4、（1）函数的定义域是 ，值域是 ；（2）函数的定义域是 ，值域是 ；练1（1）函数的定义域是 ，值域是 ；（2）函数的定义域是 ，值域是 ；练2、幂函数，其中定义域为 的是（ ）A B C D例5设1,1，3，则使函数yx的定义域为R，且为奇函数的所有值为()A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,33、 幂函数的单调性和奇偶性（1）幂函数的单调性：在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数（2）幂函数的奇偶性：令（其中、互质，、）当为奇数，则的奇偶性取决于是奇数还是偶数.当是奇数时，则是奇函数；当是偶数时，则是偶函数当为偶数，则必是奇数，此时既不是奇函数，也不是偶函数例6、若当时，幂函数为减函数，则实数的值为（ ）A B C或 D例7、已知函数为偶函数，且（1） 求的值，并确定的解析式（2） 若在上为增函数，求实数的取值范围例8、已知幂函数为偶函数，且在区间上市减函数（1）求函数的解析式（2）讨论的奇偶性练3、下列说法正确的是（ ）A是奇函数 B是奇函数 C是非奇非偶函数 D是非奇非偶函数构造幂函数比较两个幂值得大小比较两个幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数、指数函数的单调性或借助于函数的图像来比较例9、比较下列各组数大小：（1） （2） （3） 练4、比较下列各组数大小：（1） （2） （3），练5、若，则下列不等式成立的是（ ）A B C D任务三、课后作业第一题、选择题1在函数y2x3，yx2，yx2x，yx0中，幂函数有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选B.yx2与yx0是幂函数2 若幂函数在上是增函数，则（ ）.A>0 B<0 C=0 D不能确定3函数f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在x(0，)上是减函数，则实数m()A2 B3C4 D54使(32xx2)有意义的x的取值范围是()AR Bx1且x3C3x1 Dx3或x1解析：选C.(32xx2)，要使上式有意义，需32xx20，解得3x1.解析：选A.m2m11，得m1或m2，再把m1和m2分别代入m22m30，经检验得m2.5. 若，那么下列不等式成立的是（ ）.A<l< B1<< C<l<D1<<6函数的图象是（ ）. A. B. C. D.7函数y(x4)2的递减区间是()A(，4) B(4，)C(4，) D(，4)解析：选A.y(x4)2开口向上，关于x4对称，在(，4)递减8给出四个说法：当n0时，yxn的图象是一个点；幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；幂函数的图象不可能出现在第四象限；幂函数yxn在第一象限为减函数，则n0.其中正确的说法个数是()A1 B2 C3 D4解析：选B.显然错误；中如yx的图象就不过点(0,0)根据幂函数的图象可知、正确，故选B.第二题、填空题9. 已知幂函数的图象过点，则它的解析式为 .10比较下列两组数的大小：（1）； （2）.11已知2.42.5，则的取值范围是_解析：02.42.5，而2.42.5，yx在(0，)为减函数答案：0第三题、解答题12求函数y(x1)的单调区间解：y(x1)，定义域为x1.令tx1，则yt，t0为偶函数因为0，所以yt在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递增又tx1单调递增，故y(x1)在(1，)上单调递减，在(，1)上单调递增13已知(m4)(32m)，求m的取值范围解：yx的定义域为(0，)，且为减函数原不等式化为，解得m.m的取值范围是(，)14已知幂函数yxm22m3(mZ)在(0，)上是减函数，求y的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性解：由幂函数的性质可知m22m30(m1)(m3)03m1，又mZ，m2，1,0.当m0或m2时，yx3，定义域是(，0)(0，)30，yx3在(，0)和(0，)上都是减函数，又f(x)(x)3x3f(x)，yx3是奇函数当m1时，yx4，定义域是(，0)(0，)f(x)(x)4x4f(x)，函数yx4是偶函数40，yx4在(0，)上是减函数，又yx4是偶函数，yx4在(，0)上是增函数任务四、巩固训练第一题、选择题1已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为()A16 B. C. D2解析：选C.设f(x)xn，则有2n，解得n，即f(x)x，所以f(4)4.2下列幂函数中，定义域为x|x0的是()Ayx Byx Cyx Dyx解析：选D.A.yx，xR；B.yx，x0；C.yx，x0；D.yx，x0.3函数和图象满足 （ ）A关于原点对称 B关于轴对称 C关于轴对称 D关于直线对称4函数在区间上的最大值是 （ ）ABCD5设T1，T2，T3，则下列关系式正确的是 ( )AT1<T2<T3 BT3<T1<T2 CT2<T3<T1 DT2<T1<T36.幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数在上为减函数的是（ ）A. B. C. D. 答案：8幂函数f(x)x满足x1时f(x)1，则满足条件()A1 B01C0 D0且1解析：选A.当x1时f(x)1，即f(x)f(1)，f(x)x为增函数，且1.解析：选D.yx，其定义域为R，值域为0，)，故定义域与值域不同9.当x（1，）时，函数）y的图象恒在直线yx的下方，则a的取值范围是 （A）A、a1B、0a1C、a0D、a010若点在幂函数的图象上，则下列结论中不能成立的是 ( B )A B D第二题、填空题11函数的定义域为_解析：，x<1.答案：(，1)12已知n2，1,0,1,2,3，若n>n，则n_1,2_. 13是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 5 .14设x(0,1)时，yxp(pR)的图象在直线yx的上方，则p的取值范围是_解析：结合幂函数的图象性质可知p<1.答案：p<115已知函数f(x)x (01),对于下列命题： 若x1,则f(x)1； 若0x1,则0f(x)1; 若f(x1)f(x2),则x1x2； 若0x1x2,则.其中正确的命题序号是 _ _.第三题、解答题16已知幂函数f（x）（pZ）在上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）17函数f(x)(m2m5)xm1是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，试确定m的值解：根据幂函数的定义得：m2m51，解得m3或m2，当m3时，f(x)x2在(0，)上是增函数；当m2时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故m3.18已知幂函数，当x(0，)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？解：由于为幂函数，所以m2m11，解得m2，或m1.当m2时，m22m33，yx3，在(0，)上为减函数；当m1时，m22m30，yx01(x0)在(0，)上为常函数，不合题意，舍去故所求幂函数为yx3.这个函数是奇函数，其定义域是(，0)(0，)，根据函数在x(0，)上为减函数，推知函数在(，0)上也为减函数。19已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，当为何值时：解: 根据幂函数的概念，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再结合图象确定满足条件的x的取值范围设f(x)x，则()2，得2，所以f(x)x2；同理可得g(x)x1.在同一直角坐标系内作出函数 的图象(如图所示)，(1)当x<0或x>1时，f(x)>g(x)； (2)当x=1时，f(x)=g(x)；(3)当0<x<1时，f(x)<g(x)20已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足 的 的取值范围解:函数yxp3在(0，)上是减函数，p3<0，即p<3，又pN*，p1，或p2.函数yxp3的图象关于y轴对称，p3是偶数，取p1，即yx2，由， 函数在(，)上是增函数，由，得 即. 所求的取值范围是(4，)21一个幂函数yf (x)的图象过点(3, ),另一个幂函数yg(x)的图象过点(8, 2), (1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x)< g(x)的解集.解（1）设f (x)xa, 将x3, y代入，得a, ； 设g(x)xb, 将x8, y2代入，得b,；（2）f (x)既不是奇函数，也不是偶函数；g(x)是奇函数；（3） (0,1)第 10 页