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微积分人大版微积分第四章习题课 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版高等教育出版社社微积分第四章第四章习题课习题课微积分洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容微积分1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理3 3、柯西中值定理、柯西中值定理4 4、洛必达法则、洛必达法则关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型可解决的类型.注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.微积分5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式Fermat 定理定理 中值定理揭示了导数与函数之间的中值定理揭示了导数与函数之间的关系，是导数应用的理论基础，是利用关系，是导数应用的理论基础，是利用导数研究函数性质的有效工具。是沟通导数研究函数性质的有效工具。是沟通导数的局部性质与函数在区间上的整体导数的局部性质与函数在区间上的整体性质的重要桥梁。性质的重要桥梁。微积分6 6、导数的应用、导数的应用(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法极值必要条件、第一、第二充分条件极值必要条件、第一、第二充分条件求极值的步骤求极值的步骤:(3)最大值、最小值问题最大值、最小值问题(4)曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点(5)函数图形的描绘函数图形的描绘(6)弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 微积分例例1 1解解二、典型例题微积分这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.微积分*例例2DarbouxDarboux定理定理:证证首先假定首先假定不妨设不妨设如右图所示如右图所示oyxab由假设知由假设知微积分由由右方邻近，有右方邻近，有由由左侧邻近，有左侧邻近，有由由 Fermat 定理定理,得得其次，取介于其次，取介于之间的任意数之间的任意数 C为明确起见，不妨设为明确起见，不妨设引进辅助函数引进辅助函数微积分由上述已证知由上述已证知例例3 证明方程证明方程在在(0,1)内至少有一实根内至少有一实根分析分析 如令如令则则的符号不易判别的符号不易判别不便使用介值定理不便使用介值定理用用 Rolle 定理来证定理来证微积分证证令令则则且且故由故由Rolle 定理知定理知即即在在(0,1)内有一实根内有一实根例例4证证满足满足Rolle 定理的条件定理的条件微积分*例例5 5解解微积分例例6解解微积分例例7微积分微积分例例8 8证证由介值定理由介值定理,微积分（1）（2）注意到注意到由（由（1）,（2）有）有（3）（4）（3）+（4）,得得微积分例例9问方程问方程有几个实根有几个实根解解同时也是最大值同时也是最大值分三种情况讨论分三种情况讨论微积分由于由于方程有两个实根，分别位于方程有两个实根，分别位于方程仅有一个实根，即方程仅有一个实根，即方程无实根方程无实根微积分*例例1010证证（1）（2）微积分（1）（2）,则有则有微积分*例例1111解解微积分若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数数和二阶导数,于是有于是有微积分解此方程组得解此方程组得故所求作抛物线的方程为故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为微积分例例1212解解奇函数奇函数微积分微积分列表如下列表如下:微积分极大值极大值拐点拐点极小值极小值微积分作图作图微积分*例例13 Rolle 定理的推广形式定理的推广形式证证由由Rolle 定理知定理知微积分证一证一则由题设知则由题设知故由故由知知而而微积分证二证二若若则结论显然成立则结论显然成立下设下设不妨设有不妨设有必存在最大值必存在最大值M即即微积分故由故由Fermat 定理定理知知证一证一类似于类似于证一，作变换证一，作变换证二证二作变换作变换微积分证三证三 若若则结论显然成立则结论显然成立下设下设不妨设有不妨设有必存在最小值必存在最小值m即即微积分故由故由Fermat 定理定理知知证明与证明与类似类似微积分例例14证证不妨设不妨设由由Lagrange定理，有定理，有微积分得得*注注这个结论其实就是这个结论其实就是 Jensen 不等式不等式(n=2的情况的情况)其几何意义，如下图所示其几何意义，如下图所示微积分oxyAB弦弦AB的方程的方程则弦则弦AB上相应于上相应于x0的纵坐标为的纵坐标为凹弧：曲线上的点低于弦上的对应点凹弧：曲线上的点低于弦上的对应点
