【创新设计】2011届高三数学一轮复习-第5知识块第3讲等比数列课件-北师大版.ppt

第第3 3讲讲 等比数列等比数列1.理解等比数列的概念理解等比数列的概念2掌握等比数列的通掌握等比数列的通项项公式与前公式与前n项项和公式和公式3能在具体的能在具体的问题问题情境中情境中识别识别数列的等比关系，并能用有关知数列的等比关系，并能用有关知识识解决相解决相应应 的的问题问题4了解等比数列与指数函数的关系了解等比数列与指数函数的关系.【考纲下载考纲下载】第一页，编辑于星期五：五点 七分。1等比数列的有关概念等比数列的有关概念 (1)等比数列的定等比数列的定义义：如果一个数列从第：如果一个数列从第 项项起，每一起，每一项项与它的前一与它的前一项项的比等于的比等于 ，这这个数列就叫做等比数列，其中常数叫做等比数列的个数列就叫做等比数列，其中常数叫做等比数列的 ，记记作作q.(2)通通项项公式：等比数列公式：等比数列an的首的首项为项为a1，公比，公比为为q，那么称，那么称an 为为数列数列 an的通的通项项公式公式 (3)等等比比中中项项：如如果果a，G，b成成等等比比数数列列，那那么么 叫叫做做a与与b的的等等比比中中项项，且且 ab.2同一个常数同一个常数 a1qn1G公比公比G2提提示示：等等比比数数列列的的定定义义与与等等差差数数列列的的定定义义从从字字面面上上看看相相似似，就就是是“比比与与“差差的的区区别别，但但等等比比数列隐含着数列的各项不为零，公比不为零，项与公式的正负号有着密切的关系等等数列隐含着数列的各项不为零，公比不为零，项与公式的正负号有着密切的关系等等第二页，编辑于星期五：五点 七分。【思考思考】推推导导等比数列的前等比数列的前n项项和公式的方法是什么？你掌握了和公式的方法是什么？你掌握了吗吗？不？不 妨看一下妨看一下课课本本 答案：答案：错错位相减法位相减法第三页，编辑于星期五：五点 七分。3等比数列的重要性等比数列的重要性质质 (1)假假设设mnpq，那么，那么amanapaq(m，n，p，qN*)(2)ana1qn1可推广可推广为为anamqnm.(3)设设等比数列等比数列an的首的首项为项为a1，公比，公比为为q.当当q1，a10或或0q1，a11，a10或或0q0时时，数列，数列an为递为递减数列；减数列；当当q1时时，数列，数列an是是(非零非零)常数列；常数列；当当q2pq，又，又a1、b1不不为为零，零，因此因此c c1c3，故，故cn不是等比数列不是等比数列.第十五页，编辑于星期五：五点 七分。巧用性巧用性质质，可以减少，可以减少计计算量，同算量，同时时需要有敏需要有敏锐锐的的观观察能力和察能力和应对应对能力能力 【例例3】等比数列等比数列an的前的前n项项和等于和等于2，紧紧接在后面的接在后面的2n项项和等于和等于12，再，再紧紧接其后的接其后的3n项项和和为为S，求出，求出S.思维点拨：思维点拨：利用等比数列的性质求解或利用整体代换，通过利用等比数列的性质求解或利用整体代换，通过求求 qn和和 来解决问题来解决问题第十六页，编辑于星期五：五点 七分。解：解法一：设依次解：解法一：设依次n项之和分别为：项之和分别为：A1，A2，A3那么有那么有A12，A2A312，A4A5A6S，而数列而数列An为等比数列，公比为为等比数列，公比为qn，A2A32qn2q2n，2qn2q2n12，q2nqn60，qn2或或qn3.当当qn2时，时，SA4A5A6223224225112；当当qn3时，时，SA4A5A62(3)32(3)42(3)5378.所以所以S的值为的值为112或或378.第十七页，编辑于星期五：五点 七分。解法二：解法二：由题意得由题意得q1，且且qn(qn1)6，qn2或或qn3.S223(123)112或或S (3)31(3)3378.第十八页，编辑于星期五：五点 七分。拓展拓展3：将本例中条件改将本例中条件改为为前前n项项和和为为2，前，前2n项为项为12，求前，求前3n项项和和解：解：由等比数列的性由等比数列的性质质可知，可知，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列仍成等比数列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即即1022(S3n12)，S3n62.第十九页，编辑于星期五：五点 七分。由于数列和函数之由于数列和函数之间间有着密切的有着密切的联联系，所以在解决系，所以在解决许许多数列多数列问题时问题时，应应善于运用函数与方善于运用函数与方程的思想方法解决程的思想方法解决问题问题【例【例4】设数列设数列an，a1 假设以假设以a1，a2，an为系数的二次方程为系数的二次方程an1x2anx 10(nN*且且n2)都有根都有根、满足满足331.(1)求求证证：为为等比数列；等比数列；(2)求求an；(3)求求an的前的前n项项和和Sn.第二十页，编辑于星期五：五点 七分。证明：证明：(1)将将 代入代入331，得得an 为为定定值值数列数列 是等比数列是等比数列(2)解：解：a1 an第二十一页，编辑于星期五：五点 七分。【方法规律方法规律】等等比比数数列列的的定定义义，通通项项公公式式，前前n项项和和公公式式是是解解决决等等比比数数列列中中的的有有关关计计算算、讨讨论论等等比比数数列的有关性质的问题的根底和出发点列的有关性质的问题的根底和出发点1确定等比数列的关键是确定首项确定等比数列的关键是确定首项a1和公比和公比q.2在等比数列通项公式和前在等比数列通项公式和前n项和公式中共涉及五个量项和公式中共涉及五个量an，a1，n，q，Sn，可可“知三求二知三求二3等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积 构成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前构成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前n项和项和4在利用等比数列前在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比项和公式时，一定要对公比q1或或q1作出判断；作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法计算过程中要注意整体代入的思想方法5等差数列与等比数列的关系是：等差数列与等比数列的关系是：(1)假设一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么此数列是非零常数列；假设一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么此数列是非零常数列；(2)假设假设an是等比数列，且是等比数列，且an0，那么，那么lg an构成等差数列构成等差数列第二十二页，编辑于星期五：五点 七分。【高考真题高考真题】(2021山东卷山东卷)等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，对任意的，对任意的nN*，点，点(n，Sn)均在函数均在函数ybxr(b0且且b1，b，r均为常数均为常数)的图象上的图象上(1)求求r的值；的值；(2)当当b2时，记时，记bn (nN*)，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn.第二十三页，编辑于星期五：五点 七分。【标准解答】【标准解答】解：解：(1)由题意由题意，Snbnr，当当n2时时，Sn1bn1r，所以所以anSnSn1bn1(b1)，由于由于b0且且b1，所以当所以当n2时时，an是以是以b为公比的等比数列，为公比的等比数列，又又a1br，a2b(b1)，第二十四页，编辑于星期五：五点 七分。(2)由由(1)知，知，nN*，an(b1)bn1，当当b2时时，an2n1，所以，所以bn两式相减得两式相减得故故Tn (nN*)第二十五页，编辑于星期五：五点 七分。【探究与研究探究与研究】创创新是高考命新是高考命题题的要求，的要求，?考考试试大大纲纲?提出命提出命题题要要“创设创设比比较较新新颖颖的的问题问题情情境，同境，同时时，“在知在知识识的交的交汇汇点点处设计处设计命命题题是近年来高考命是近年来高考命题题的一种的一种趋势趋势，此，此题题将将数列的数列的递递推关系式以点在函数推关系式以点在函数图图象上的方式象上的方式给给出，表达了出，表达了这这种命种命题题理念，也渗透了数理念，也渗透了数列是定列是定义义在正整数集上的函数在正整数集上的函数观观念第念第(2)问问中中对对b的的赋值赋值，旨，旨在使在使问题变问题变得得简简捷，也使捷，也使设设置的数列求和置的数列求和问题问题降低降低难难度，到达度，到达“不求在不求在细节细节上人上人为为地地设设置障碍，而是在大方向上考置障碍，而是在大方向上考查查考生的数学能力的命考生的数学能力的命题题指指导导思想思想第二十六页，编辑于星期五：五点 七分。此此题题在在设设置等比数列的置等比数列的递递推关系式推关系式时时，以点，以点(n，Sn)在函数在函数ybxr的的图图象上的方式象上的方式给给出，出，这这种命种命题题方式与方式与2021年福建一道文科年福建一道文科题题有相似之有相似之处处：“an是正数是正数组组成的数列，成的数列，a11，且点，且点(an1)(nN*)在函数在函数yx21的的图图象上象上(1)求数列求数列an的通的通项项公式；公式；(2)假假设设数数列列bn满满足足b11，bn1bn2an，求，求证证：bnbn2 此此题题中增加了中增加了对对参数参数r的求的求解，因此，如何正确求出解，因此，如何正确求出r的的值值，成，成为为此此题题的解的解题题思考点，思考点，这这恰好需要恰好需要对递对递推关系式推关系式an第二十七页，编辑于星期五：五点 七分。的正确理解的正确理解(理解理解题题目的条件：数列目的条件：数列an是等比数列，那么是等比数列，那么a1S1满满足数列足数列递递推式推式)第第(2)问问求数列求数列bn的前的前n项项和和Tn，所用的方法是，所用的方法是错错位相减法，也是位相减法，也是课课本中推本中推导导等比数列前等比数列前n项项和公式和公式时时所用的方法高考复所用的方法高考复习历习历来提倡回来提倡回归课归课本，理解教材，例本，理解教材，例题题的求解方法、公式的推的求解方法、公式的推导导方法，方法，都需要我都需要我们们在回在回归课归课本中本中积积累知累知识识，提，提炼炼方法，形成能力方法，形成能力第二十八页，编辑于星期五：五点 七分。在解答此在解答此题题容易出容易出错错的地方：一是无的地方：一是无视视了由了由Sn求求an时时的分段，没有方法求出的分段，没有方法求出r的的值值；二是在用；二是在用错错位相减求和位相减求和时时无无视视了了对对“开开头头的的项项和和“结结尾的尾的项项的仔的仔细处细处理，理，计计算漏算漏项项或添或添项项在解决在解决这类这类数列数列问题时问题时一定要有分一定要有分类类的思想，在的思想，在进进行行计计算算时时要注意做到不漏要注意做到不漏项项也不添加也不添加项项【技巧点拨技巧点拨】Sn求求an时时是分段的，第一段是是分段的，第一段是针对针对n1的情况，第二段的情况，第二段对对n2都成立，都成立，这样这样当当n2时时数列的数列的通通项项就具就具备备了一个了一个规规律，它可能是等差数列，也可能是等比数列，要想使整个数列都具律，它可能是等差数列，也可能是等比数列，要想使整个数列都具备这备这个个规规律，只要使律，只要使a2，a1之之间间再具再具备这备这个个规规律即可律即可.点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册第二十九页，编辑于星期五：五点 七分。