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二章理论力学平面汇交力系与平面力偶理论 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 平面汇交力系平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。引引 言言 平面汇交力系平面汇交力系 平面力系平面力系 平面平面 力偶系力偶系 平面一般力系平面一般力系(平面任意力系平面任意力系)研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。例：起重机的挂钩。力系分为：平面力系、空间力系力系分为：平面力系、空间力系TT1T22 21 平面汇交力系合成和平衡的几何法平面汇交力系合成和平衡的几何法 22 平面汇交力系合成和平衡的解析法平面汇交力系合成和平衡的解析法 23 力矩力矩、力偶的概念及其性质、力偶的概念及其性质 24 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶理论平面汇交力系与平面力偶理论3 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法一、合成的几何法一、合成的几何法1.1.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向可应用正弦定理确定：由余弦定理：由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。4 2.任意个共点力的合成任意个共点力的合成为力多边形 即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。作用线通过各力的汇交点。即：结论：结论：5 二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件 在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零力系中各力的矢量和等于零6例例 已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。选碾子为研究对象取分离体画受力图解：解：rFNA7又由几何关系：当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时 拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故 由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于碾子对障碍物的压力等于23.1kN。F=11.5kN,NB=23.1kN所以所以此题也可用力多边形方法用比例尺去量。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。8几何法解题步骤：几何法解题步骤：选研究对象；选研究对象；作出受力图；作出受力图；作力多边形，选择适当的比例尺；作力多边形，选择适当的比例尺；求出未知数求出未知数几何法解题不足：几何法解题不足：精度不够，误差大精度不够，误差大;作图要求精度高；作图要求精度高；不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：解析法解析法。92-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影一、力在坐标轴上的投影 X=Fx=Fcosa ;Y=Fy=Fsina=F cosb10二、合力投影定理二、合力投影定理由图可看出，各分力在x 轴和在y轴投影的和分别为：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。即：11合力的大小：合力的大小：方向：方向：作用点：作用点：为该力系的汇交点为该力系的汇交点三、平面汇交力系合成与平衡的解析法三、平面汇交力系合成与平衡的解析法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。即：为平衡的充要条件，也叫平衡方程。为平衡的充要条件，也叫平衡方程。12解解：研究AB杆 画出受力图 列平衡方程例例 已知 P=2kN 求SCD,RA13 解平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：；14例例 已知如图P、Q，求平衡时 =？地面的反力ND=？解解：研究球受力如图，选投影轴列方程为由得由得15又：例例 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h解解：研究块,受力如图，解力三角形：16再研究球，受力如图：作力三角形解力三角形：NB=0时为球离开地面17 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用特殊时用 几几 何法（解力三角形）比较简便。何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。只有一个未知数。2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。特殊，都用解析法。185、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。19力对物体可以产生 移动效应移动效应-取决于力的大小、方向；转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向。2-3 2-3 力矩、力偶的概念及其性质力矩、力偶的概念及其性质一、力对点的矩一、力对点的矩+-20 是代数量。当F=0或d=0时，=0。是影响转动的独立因素。=2AOB=Fd,2倍形面积。说明：说明：F,d转动效应明显。单位Nm21 定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和即：二、合力矩定理二、合力矩定理由合力投影定理有：证证Od=Ob+Oc又22例例 已知：如图 F、Q、l,求：和 解解：用力对点的矩法用力对点的矩法 应用合力矩定理应用合力矩定理 23三、平面力偶及其性质三、平面力偶及其性质力偶力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。性质性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力偶 无合力R=F-F=0FFd24性质性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶 矩度量。矩度量。由于O点是任取的+FFdOxAB25 m是代数量，有是代数量，有+、-；F、d 都不独立，只有力偶矩都不独立，只有力偶矩 是独立是独立量；量；m的值的值m=2ABC；单位：单位：N m说明：说明：FFdABC26性质性质3：平面力偶等效定理：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小 相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。证证设物体的某一平面上作用一力偶(F,F)现沿力偶臂AB方向加一对平衡力(Q,Q),Q,F合成R，再将Q,F合成R，得到新力偶(R,R),27将R,R移到A,B点，则(R,R)，取代了原力偶(F，F)并与原力偶等效。比较(F,F)和(R,R)可得m(F,F)=2ABD=m(R,R)=2 ABC即ABD=ABC，且它们转向相同。28只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力 的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效 应。由上述证明可得下列两个推论两个推论：力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的 作用效应。292-42-4 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平面力偶系平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶d30 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和所有各力偶矩的代数和等于零。等于零。结论结论:平面力偶系合成结果还是一个力偶平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩其力偶矩为各力偶矩的代数和的代数和。31 例例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力?解解:各力偶的合力偶距为 由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。32根据平面力偶系平衡方程有:3334
