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学科网备战届高考大纲版数学一轮复习第九章第讲排列组合本章考点本章考点列举如下：分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列、排列举如下：分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列、排列数公式、组合、组合数公式、组合数的两个性质公式、二项式定理、列数公式、组合、组合数公式、组合数的两个性质公式、二项式定理、二项展开式。二项展开式。高考命题趋势：高考命题趋势：高考命题以基本概念为考察对象，排列、组合、二项式高考命题以基本概念为考察对象，排列、组合、二项式定理以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中占有特殊的地位，定理以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中占有特殊的地位，他们既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计等高等数学的他们既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计等高等数学的基础。因此排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附基础。因此排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题。二项式定理与高等数学的知识有关，其考查常有两加条件的应用问题。二项式定理与高等数学的知识有关，其考查常有两类问题：一是直接运用通项公式求特定项的系数和与系数有关的问题；类问题：一是直接运用通项公式求特定项的系数和与系数有关的问题；第二类需要用转化化归为二项式定理来处理的问题。第二类需要用转化化归为二项式定理来处理的问题。热点点击热点点击高考再现高考再现排位问题【例【例1】4个男同学，个男同学，3个女同学站成一排个女同学站成一排.(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高个女生身高互不相等互不相等)(6)学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？（男生）（女生）(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？【解析】【解析】3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有种排法；由于种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全个元素的全排列，应有排列，应有种排法，由乘法原理，有种排法，由乘法原理，有种不同种不同排法排法.(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？元素相邻问题，一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其它元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列。(2)任何两个女同学彼此不相邻任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？【解析解析】先将男生排好先将男生排好,共有共有种排法种排法,再在这再在这4个男生的中间及两头的个男生的中间及两头的5个空档中插入个空档中插入3个女生有个女生有种方案种方案,故符合条件的排法共有故符合条件的排法共有种不同排法种不同排法.(2)任何两个女同学彼此不相邻任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？l元素不相邻，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在普通元素之间或两端插入不相邻的元素。(3)其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须有其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？【解析】【解析】甲、乙甲、乙2人先排好，有人先排好，有种排法种排法,再从余下再从余下5人中人中选选3个排在甲、乙个排在甲、乙2人中间人中间,有有种排法种排法,这时把已排好这时把已排好的的5人视为一个整体人视为一个整体,与最后剩下的与最后剩下的2人再排人再排,又有又有种种排法，这样总共有排法，这样总共有种不同排法种不同排法.(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？【解析】【解析】安排甲、乙和丙安排甲、乙和丙3人以外的其他人以外的其他4人，有人，有种排法；由于甲、乙要相邻种排法；由于甲、乙要相邻,故再把甲、乙排好故再把甲、乙排好,有有种排法种排法,最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的原先排好的4人的空档中有人的空档中有种排法种排法,这样这样,总共有总共有种不同排法种不同排法.(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高个女生身高互不相等互不相等)【解析】【解析】从从7个位置中选出个位置中选出4个位置把男生安排好，则有个位置把男生安排好，则有种方法，然后再在余下的种方法，然后再在余下的3个空位置中安排女生，由于个空位置中安排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法，这样一共有女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法，这样一共有种不同排法。种不同排法。(6)学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？【解析】【解析】学生甲不站在排头，则他可能站学生甲不站在排头，则他可能站 在中间或排在中间或排尾，故可分两类，一类是甲站在中间有尾，故可分两类，一类是甲站在中间有5 5种站法，此种站法，此时乙有时乙有5 5种站法，种站法，其他其他5 5名学生站在五个不同的位置名学生站在五个不同的位置上有上有 种站法，故共有种站法，故共有 种种 站法。第站法。第二类是甲站在排尾，此时乙有二类是甲站在排尾，此时乙有 6 6种站法，其他种站法，其他5 5名同名同学站在五个不同的学站在五个不同的 位置上有位置上有 种，由加种，由加法原理，故共有法原理，故共有37203720种站法。种站法。(6)学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？位置分析法和元素分析法是解决排列组位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法合问题最常用也是最基本的方法,若以若以元素分析为主元素分析为主,需先安排特殊元素需先安排特殊元素,再处再处理其它元素理其它元素.若以位置分析为主若以位置分析为主,需先满需先满足特殊位置的要求足特殊位置的要求,再处理其它位置。再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件束条件的同时还要兼顾其它条件分组问题分组问题【例【例2】某高校某高校为支援农村高中教育为支援农村高中教育,拟定分某拟定分某6 6名毕业生去名毕业生去某县的甲、乙、丙三所不同的农村高中任教。按以下要求某县的甲、乙、丙三所不同的农村高中任教。按以下要求分配各有多少种分法？分配各有多少种分法？（1 1）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两名。）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两名。（2 2）分给甲、乙、丙三所学校，一校）分给甲、乙、丙三所学校，一校1 1名，一校名，一校2 2名，一校名，一校3 3名。名。（3 3）分给甲、乙、丙三所学校，一校）分给甲、乙、丙三所学校，一校4 4名，另两所学校各名，另两所学校各1 1名。名。（1 1）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两名。）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两名。【解析】【解析】分三步：甲学校分三步：甲学校2 2名，有名，有 种方法，乙学校种方法，乙学校2 2名有名有 种方法，丙学校种方法，丙学校2 2名，有名，有 种方法，依据分种方法，依据分步计数原理，所求不同方法数为步计数原理，所求不同方法数为 。（2）分给甲、乙、丙三所学校，一校）分给甲、乙、丙三所学校，一校1名，一校名，一校2名，一校名，一校3名。名。【解析】【解析】分两步：第一步，把分两步：第一步，把6名毕业生分为三组，分别为一、名毕业生分为三组，分别为一、二、三名，共有种方法二、三名，共有种方法;第二步，把他们分给甲、第二步，把他们分给甲、乙、丙三所学校乙、丙三所学校有种方法，依据分步计数原理，共有有种方法，依据分步计数原理，共有种方法。种方法。(3)分给甲、乙、丙三所学校，一校分给甲、乙、丙三所学校，一校4名，另两所学校各名，另两所学校各1名。名。【解析解析】分三步：第一步，从分三步：第一步，从6名毕业生中选取名毕业生中选取4名名有种方法；有种方法；第二步第二步,分给甲、乙、丙三所学校中的一所分给甲、乙、丙三所学校中的一所有种方法；有种方法；第三步：余下两名毕业生分给剩下的两所学校第三步：余下两名毕业生分给剩下的两所学校有种方法；有种方法；由分步计数原理有种方法。由分步计数原理有种方法。邮筒问题解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类元素：要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作素看作“信件信件”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“邮筒邮筒”，再利用乘法，再利用乘法原理直接求解。原理直接求解。【例【例3】2008年北京奥运会上，七名运动员争夺五项射年北京奥运会上，七名运动员争夺五项射击冠军，每项冠军只能由一人获得，则获得冠军的可能击冠军，每项冠军只能由一人获得，则获得冠军的可能的种数有（的种数有（）A.B.CD.【例【例3】2008年北京奥运会上，七名运动员争年北京奥运会上，七名运动员争夺五项射击冠军，每项冠军只夺五项射击冠军，每项冠军只能由一人获得，能由一人获得，则获得冠军的可能的种数有（则获得冠军的可能的种数有（）A.B.CD.【分析】【分析】因同一运动员可以同时夺得因同一运动员可以同时夺得n项冠军，故运动员可重项冠军，故运动员可重复排列，将七名运动员看作复排列，将七名运动员看作7个个“邮筒邮筒”，五项冠军看作，五项冠军看作5个个“信信件件”，每个，每个“信件信件”有有7种投放方法，由乘法原理得种投放方法，由乘法原理得种。种。【注】【注】对此类问题，常有疑惑，为什么不是对此类问题，常有疑惑，为什么不是呢？呢？用分步用分步计数原理看，计数原理看，5是步骤数，自然是指数。是步骤数，自然是指数。染色问题染色问题【例例4 4】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 6个部分（如图所示）个部分（如图所示），现要栽种，现要栽种4 4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种相同颜色的花，不同的栽种方法共有种相同颜色的花，不同的栽种方法共有_种种.(.(用数字作答用数字作答)612345【解析】【解析】本题是一道涂色问题的应用题本题是一道涂色问题的应用题,可将不相邻的区域合并成涂可将不相邻的区域合并成涂同一颜色的区域，再用颜色进行排列；也可以根据条件分布涂色同一颜色的区域，再用颜色进行排列；也可以根据条件分布涂色.612345把不相邻的区域合并后，成为把不相邻的区域合并后，成为4个个“大区域大区域”，然后再把，然后再把4种颜色种颜色对应全排列对应全排列124356124365125364125463123546共共5种合并方法，所以种合并方法，所以种栽种方法种栽种方法.方法一：方法一：方法二：方法二：先从区域先从区域1开始栽种，其方法有开始栽种，其方法有4种，则区域种，则区域6有有3种栽法，区种栽法，区域域5有有2种栽法，若区域种栽法，若区域4与区域与区域6栽种同一种花，则区域栽种同一种花，则区域2、3两块各有两块各有2种栽法，故总共有种栽法，故总共有43222=96种；若若区域种；若若区域4与区域与区域6不栽种同一种花，则区域不栽种同一种花，则区域2、3两块两块各有各有1种栽法，总共有种栽法，总共有43211=24种，所以一共有种，所以一共有96+24=120种栽种方法。种栽种方法。612345方程的解问题方程的解问题【例【例5】方程方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？有多少组正整数解？【例【例5 5】方程方程a+b+c+d=12a+b+c+d=12有多少组正整数解？有多少组正整数解？【解析】【解析】建立隔板模型：建立隔板模型：将将1212个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的 11 11个个“空挡空挡”中任意插入中任意插入3 3块隔板，把球分成块隔板，把球分成4 4堆，而每一种分法所堆，而每一种分法所得得4 4堆的各堆球的数目，即为堆的各堆球的数目，即为a,b,c,da,b,c,d的一组正整数解，故原方程的一组正整数解，故原方程的正整数解的组数共有的正整数解的组数共有 种。因此方程种。因此方程a+b+c+d=12a+b+c+d=12有有165165组正整数解。组正整数解。放球问题放球问题【例【例6】将将4个编号为个编号为1、2、3、4的小球放入的小球放入4个编号为个编号为1、2、3、4的盒子中的盒子中.(1)有多少种放法？有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同编号相同,有多少种放法？有多少种放法？(1)有多少种放法？有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？每盒至多一球，有多少种放法？【解析】【解析】（1）每个小球都等可能放入）每个小球都等可能放入4个盒子中的任何一个盒子中的任何一个，个，将小球一个一个地放入盒子，共有将小球一个一个地放入盒子，共有种放种放法。法。（2）为全排列问题，共有）为全排列问题，共有种放法。种放法。(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？恰好有一个空盒，有多少种放法？【解析解析】先将先将4个小球分为三组有种，再将个小球分为三组有种，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子有种三组小球投入四个盒子中的三个盒子有种投投放方法，故一共有放方法，故一共有种投放方法。种投放方法。(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同号相同,有多少种放法？有多少种放法？【解析】【解析】1个球的编号与盒子编号相同的选法有个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当种，当1个球个球与与1个盒子的编号相同时个盒子的编号相同时,同局部列举法可知其余同局部列举法可知其余3个球的投放方个球的投放方法有法有2种，故共有种，故共有种种.【点评】【点评】1.做排列组合应用题，做排列组合应用题，首先要分清首先要分清问题的类型，问题的类型，是用基本计数原理，是用基本计数原理，还是排还是排列问题或是组合问题列问题或是组合问题.2.掌握常见的解法策略，掌握常见的解法策略，常见策略有：常见策略有：特殊元素（特殊位置）优先；特殊元素（特殊位置）优先；合理分类与合理分步；合理分类与合理分步；先选后排；相邻问题捆绑法；先选后排；相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；不相邻问题插空法；正难则反，等价转化法。正难则反，等价转化法。思悟小结思悟小结1 1 1 1、对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法：、对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法：、对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法：、对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法：（1 1 1 1）直接法：）直接法：）直接法：）直接法：（2 2 2 2）间接法；）间接法；）间接法；）间接法；（3 3 3 3）一般先从特殊元素和特殊位置入手）一般先从特殊元素和特殊位置入手）一般先从特殊元素和特殊位置入手）一般先从特殊元素和特殊位置入手.2 2 2 2、组合数公式有连乘和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数、组合数公式有连乘和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数、组合数公式有连乘和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数、组合数公式有连乘和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数的性质常用于证明等式及合并组合数简化计算的性质常用于证明等式及合并组合数简化计算的性质常用于证明等式及合并组合数简化计算的性质常用于证明等式及合并组合数简化计算.3 3 3 3、解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）、解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）、解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）、解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.4 4 4 4、解组合应用题时，应注意至少、至多、最多、恰好等词的含义、解组合应用题时，应注意至少、至多、最多、恰好等词的含义、解组合应用题时，应注意至少、至多、最多、恰好等词的含义、解组合应用题时，应注意至少、至多、最多、恰好等词的含义.5 5 5 5、各种与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的有选派问题、抽样问、各种与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的有选派问题、抽样问、各种与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的有选派问题、抽样问、各种与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题略加以复习巩固。排本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题略加以复习巩固。排本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题略加以复习巩固。排本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我我我我们就可以选取不同的技巧来解决问题们就可以选取不同的技巧来解决问题们就可以选取不同的技巧来解决问题们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题对于一些比较复杂的问题对于一些比较复杂的问题对于一些比较复杂的问题,我们可我们可我们可我们可以将几种策略结合起来应用，把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁以将几种策略结合起来应用，把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁以将几种策略结合起来应用，把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁以将几种策略结合起来应用，把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。通，进而为后续学习打下坚实的基础。通，进而为后续学习打下坚实的基础。通，进而为后续学习打下坚实的基础。教学点睛教学点睛1 1、弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的、弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别其区别在于：在于：（1 1）分类计数原理是）分类计数原理是“分类分类”，分步计数原理是，分步计数原理是“分步分步”；（2 2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事事的一步，不能独立完成这件事.2 2、排列与组合是两类特殊的计数问题，它还有一些较为独、排列与组合是两类特殊的计数问题，它还有一些较为独特的思考方法，应理解掌握特的思考方法，应理解掌握.关于排列组合问题，大致有下关于排列组合问题，大致有下面几种解法：面几种解法：不附加条件的排列组合问题不附加条件的排列组合问题,大多用分类讨论的方法，注大多用分类讨论的方法，注意分类不重不漏意分类不重不漏.元素必须相邻元素必须相邻,一般采用看作一个整体的方法一般采用看作一个整体的方法.元素不相邻元素不相邻,采用插空法采用插空法.排列组合的混合型问题排列组合的混合型问题,交替使用两个原理交替使用两个原理.间接法间接法,把不合条件的排列数或组合数剔除掉把不合条件的排列数或组合数剔除掉.穷举法穷举法,把符合条件的所有排列或组合一一写出把符合条件的所有排列或组合一一写出来来.3 3、要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无、要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取（组关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取（组合）后排列两个步骤进行合）后排列两个步骤进行.4 4、熟练掌握组合数公式的两种形式、熟练掌握组合数公式的两种形式.结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！40