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带电粒子在磁场中的多解带电粒子在磁场中的多解问题问题带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在磁场中运动的多解问题 带带电电粒粒子子在在洛洛仑仑兹兹力力作作用用下下做做匀匀速速圆圆周周运运动动的的问问题题一般有多解。形成多解的原因有：一般有多解。形成多解的原因有：磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。确定而形成多解。2.2.磁场方向不确定磁场方向不确定受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。动轨迹不同，导致形成双解。1.1.带电粒子电性不确定带电粒子电性不确定由于由于 所以所以 分析：当粒子从左边射出时分析：当粒子从左边射出时,若运动轨迹半径最大若运动轨迹半径最大,则其圆心为图中则其圆心为图中O O1 1点点,半径半径 r r1 1=d/4=d/4。因此粒子从左边射出必须满足因此粒子从左边射出必须满足r rr r1 1。v0 d/2O1乙乙lr1r2-d/2r2 v0 d/2O2乙乙l练练1 1一一足足够够长长的的矩矩形形区区域域abcdabcd内内充充满满磁磁感感应应强强度度为为B B，方方向向垂垂直直纸纸面面向向里里的的匀匀强强磁磁场场，矩矩形形区区域域的的左左边边界界adad宽宽为为L L，现现从从adad中中点点O O垂垂直直于于磁磁场场射射入入一一带带电电粒粒子子，速速度度大大小小为为v v0 0，方方向向与与adad边边夹夹角角为为3030，如如图图所所示示。已已知知粒粒子子的的电电荷荷量量为为q q，质质量量为为m m（重重力力不不计计）。（1 1）若若粒粒子子带带负负电电，且且恰恰能能从从d d点点射射出出磁磁场场，求求v v0 0的大小；的大小；（2 2）若若粒粒子子带带正正电电，使使粒粒子子能能从从abab边边射射出出磁磁场场，求求v v0 0的取值范围以及粒子在的取值范围以及粒子在磁场中运动时间磁场中运动时间t t 的范围。的范围。abcd300v0BO解：解：（1）粒子带负电粒子带负电,由图可知：由图可知：abcd300v0BOR=L/2据据则则（2）当）当v0最大时：最大时：600abcd300v0BO得得R1=L 则则 当当v0最小时：最小时：得得R2=L/3 则则 带电粒子从带电粒子从ab边射出磁场，当速度为边射出磁场，当速度为 时，时，运动时间最短运动时间最短,600abcd300v0BO速度为速度为vmin时运动时间最长时运动时间最长,粒子运动时间粒子运动时间 t 的范围的范围 练练2 2如如图图所所示示，现现有有一一质质量量为为m m、电电量量为为e e的的电电子子从从y y轴轴上上的的P P（0 0，a a）点点以以初初速速度度v v0 0平平行行于于x x轴轴射射出出，为为了了使使电电子子能能够够经经过过x x轴轴上上的的Q Q（b b，0 0）点点，可可在在y y轴轴右右侧侧加加一一垂垂直直于于xOyxOy平平面面向向里里、宽宽度度为为L L的的匀匀强强磁磁场场，磁磁感感应应强强度度大大小小为为B B，该该磁磁场场左左、右右边边界与界与y y轴平行轴平行,上、下足够宽（图中未画出）上、下足够宽（图中未画出）.已知，已知，L Lb b。试试求求磁磁场场的的左左边边界界距距坐坐标标原原点点的可能距离（结果可用反三角函数表示）的可能距离（结果可用反三角函数表示）xy0Qv0P解：解：设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r r,则则解得解得 当当rLrL时，磁场区域及电子运动轨迹如图时，磁场区域及电子运动轨迹如图1 1所示，所示，xy0Qv0P图图1由几何关系有由几何关系有 则磁场左边界距坐标原点的距离为则磁场左边界距坐标原点的距离为（其中（其中 ）当当r Lr L时，磁场区域及电子运动轨迹如图时，磁场区域及电子运动轨迹如图2 2所示，所示，xy0Qv0P图图2由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为解得解得 4.4.运动的重复性形成多解运动的重复性形成多解 带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。往具有重复性，因而形成多解。例题例题1 1例题例题2 2【变变式式题题1 1】如如图图6 63 32 2所所示示，在在空空间间中中有有一一坐坐标标系系OxyOxy，其其第第一一象象限限内内充充满满着着两两个个匀匀强强磁磁场场区区域域和和，直直线线OPOP是是它它们们的的边边界界，区区域域中中的的磁磁感感应应强强度度为为B B，方方向向垂垂直直纸纸面面向向外外；区区域域中中的的磁磁感感应应强强度度为为2B2B，方方向向垂垂直直纸纸面面向向内内，边边界界上上的的P P点点坐坐标标为为(4L,3L)(4L,3L)一一质质量量为为m m电电荷荷量量为为q q的的带带正正粒粒子子从从P P点点平平行行于于y y轴轴负负方方向向射射入入区区域域，经经过过一一段段时时间间后后，粒粒子子恰恰好好经经过过原原点点O(O(忽忽略略粒粒子子重力重力)，已知，已知sin37=0.6sin37=0.6，cos37=0.8.cos37=0.8.求求：图632(1)(1)粒粒子子从从P P点点运运动动到到O O点点的的时时间间至至少为多少？少为多少？(2)(2)粒子运动的周期粒子运动的周期?(3)(3)粒子的速度大小可能是多少？粒子的速度大小可能是多少？【解解析析】(1)设设粒粒子子的的入入射射速速度度为为v，用用R1，R2，T1，T2分分别别表表示示粒粒子子在在磁磁场场区区和和区区中中运运动动的的轨轨道道半半径径和和周周期则期则qvB=m，qv2B=m T1=，T2=粒粒子子先先在在磁磁场场区区中中做做顺顺时时针针的的圆圆周周运运动动，后后在在磁磁场场区区中中做做逆逆时时针针的的圆圆周周运运动动，然然后后从从O点点射射出出，这样粒子从这样粒子从P点运动到点运动到O点所用的时间最短点所用的时间最短.粒子运动轨迹如图所示粒子运动轨迹如图所示 tana=0.75，得，得=37 +=90粒子在磁场粒子在磁场区和区和区中的运动时间分别为区中的运动时间分别为t1=T1 t2=T2粒子从粒子从P P点运动到点运动到O O点的时间至少为点的时间至少为t=t1+t2由以上各式解得由以上各式解得t=(2)粒子运动的周期粒子运动的周期T=(3)(3)粒粒子子的的速速度度大大小小满满足足一一定定条条件件时时，粒粒子子先先在在磁磁场场区区中中运运动动，后后在在磁磁场场区区中中运运动动，然然后后又又重重复复前前面面的的运运动动，直直到到经经过过原原点点O.O.这这样样粒粒子子经经过过n个个周周期期性性的的运运动动直直到过到过O O点，每个周期的运动情况相同，点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为粒子在一个周期内的位移为x=(n=1,2,3)粒子每次在磁场粒子每次在磁场区中运动的位移为区中运动的位移为x1=x=x由图中几何关系可知：由图中几何关系可知：=cosa由以上各式解得粒子的速度大小为由以上各式解得粒子的速度大小为v=(n=1,2,3)=(n=1,2,3)【变变式式题题2 2】如如图图6 64 42 2所所示示，直直线线MNMN下下方方无无磁磁场场，上上方方空空间间存存在在两两个个匀匀强强磁磁场场，其其分分界界线线是是半半径径为为R R的的半半圆圆，两两侧侧的的磁磁场场方方向向相相反反且且垂垂直直于于纸纸面面，磁磁感感应应强强度度大大小小都都为为B.B.现现有有一一质质量量为为m m、电电荷荷量量为为q q的的带带负负电电微微粒粒从从P P点点沿沿半半径径方方向向向向左左侧侧射射出出，最最终终打打到到Q Q点点，不不计计微微粒粒的的重重力求：力求：(1)(1)微粒在磁场中运动的周期微粒在磁场中运动的周期(2)(2)从从P P点到点到Q Q点，微粒的运动速度大小及运动时间点，微粒的运动速度大小及运动时间【解析】【解析】(1)(1)洛伦兹力提供向心力洛伦兹力提供向心力Bv0q=m T=，T=(2)(2)粒粒子子的的运运动动轨轨迹迹将将磁磁场场边边界界分分成成n n等等分分(n n=2,3,4)=2,3,4)如如右右图图1 1、2 2、3 3所示：所示：由由几几何何知知识识可可得得：=，tantan =，BvBv0 0q q=m m 得得 v v0 0=tan tan (n n=2,3,4)=2,3,4)当n为偶数时，由对称性可得t=T=(n=2,4,6)；当n为奇数时，t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，即t=T+T=(n=3,5,7)【变式题【变式题3】如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为感应强度大小都为B B。折线的顶角。折线的顶角AA9090，P P、Q Q是折线上的两是折线上的两点，点，AP=AQ=AP=AQ=L L。现有一质量为。现有一质量为m m、电荷量为、电荷量为q q的带负电微粒从的带负电微粒从P P点点沿沿PQPQ方向射出，不计微粒的重力。方向射出，不计微粒的重力。求：（求：（1 1）若）若P P、Q Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为度为v v0 0射出的微粒沿射出的微粒沿PQPQ直线运动到直线运动到Q Q点，则场强为多大？点，则场强为多大？（2 2）撤去电场，为使微粒从）撤去电场，为使微粒从P P点射点射出后，途经折线的顶点出后，途经折线的顶点A A而到达而到达Q Q点，点，求初速度求初速度v v0 0应满足什么条件？应满足什么条件？（3 3）求第（）求第（2 2）中微粒从）中微粒从P P点到达点到达Q Q点所用的时间。点所用的时间。QvPBBAQvPBBAn取偶数n取奇数由电场力与洛伦兹力平衡得：由电场力与洛伦兹力平衡得：qEqE=qvqv0 0B B得：得：E E=v v0 0B B（3 3分）分）根据运动的对称性，微粒能根据运动的对称性，微粒能从从P P点到达点到达Q Q点，应满足点，应满足 其中其中x x为每次偏转圆弧对为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为的圆心角为 或或设圆弧的半径为设圆弧的半径为R R，则有，则有2 2R R2 2=x x2 2，可得：，可得：n=1、2、3、（当当n n取奇数时，微粒从取奇数时，微粒从P P到到Q Q过程中圆心角的总和为过程中圆心角的总和为其中n=1、3、5、当当n n取偶数时，微粒从取偶数时，微粒从P P到到Q Q过程中圆心角的总和为过程中圆心角的总和为其中n=2、4、6、【变式题【变式题4】如图19所示，在直线MN右侧正方形ABCD区域内、外分布着方向相反且与平面垂直的匀强磁场和，磁感应强度的大小都为B.正方形边长为L,AB边与直线MN方向夹角为450.现有一质量为m、电荷量为q的带负电的微粒通过小孔O进入PQ与MN间的加速电场区域(进入时可认为初速度为零),微粒经电场加速后从正方形ABCD区域内的A点进入磁场,微粒进入磁场的速度垂直MN,也垂直于磁场.不计微粒的重力.(1)若微粒进入磁场的速度为v,则加速电场的电压为多大?(2)为使微粒从A点进入磁场后,途经B点或D点到达C点,求微粒刚进入磁场时的速度v应满足什么条件?(3)求(2)问中微粒从A点到达C点所用的时间.小结1.1.带电粒子进入有界磁场带电粒子进入有界磁场,运动运动轨迹为一段弧线轨迹为一段弧线.2.2.当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹3.3.注意圆周运动中的有关对称规律注意圆周运动中的有关对称规律:(2)(2)粒子进入单边磁场时粒子进入单边磁场时,入射速度与边界夹角等于出射速入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角度与边界的夹角;(1)(1)在圆形磁场区域内在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子沿径向射入的粒子,必沿径向射出必沿径向射出.结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！37
