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常微分方程常微分方程1212基本概念基本概念定定义义1:1:联联系系自自变变量量、未未知知函函数数及及未未知知函函数数导导数数（或或微微分）的关系式称分）的关系式称为为微分方程微分方程.例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 11/9/2022常微分方程四 微分方程的解定义411/9/2022常微分方程例2证明:11/9/2022常微分方程1 显式解与隐式解相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.11/9/2022常微分方程例如有显式解:和隐式解:11/9/2022常微分方程2 通解与特解定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:n阶微分方程通解的一般形式为11/9/2022常微分方程注1:11/9/2022常微分方程例3证明:由于故11/9/2022常微分方程又由于11/9/2022常微分方程注2:注3:类似可定义方程的隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解.11/9/2022常微分方程 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如定义611/9/2022常微分方程3 定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题.常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.11/9/2022常微分方程注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为注2:11/9/2022常微分方程例4解由于且11/9/2022常微分方程解以上方程组得11/9/2022常微分方程五 积分曲线和方向场1 积分曲线一阶微分方程称为微分方程的积分曲线.11/9/2022常微分方程2 方向场在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场.11/9/2022常微分方程例511/9/2022常微分方程例6积积分曲分曲线线方向场方向场11/9/2022常微分方程方向场示意图方向场示意图 积分曲线积分曲线 例711/9/2022常微分方程习题：p15.2(1、3、5)；3（1、3、5、7）；411/9/2022常微分方程结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！29