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常微分方程课件常微分方程课件11(习题课习题课)一、主要内容一、主要内容高阶方程高阶方程可降阶方程可降阶方程线性方程解的结构线性方程解的结构二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特特征征根根法法特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项待待定定系系数数法法f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项4 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.二、典型例题二、典型例题例例1 1解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为例例2 2解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为例例3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为设二阶非齐次线性方程的三个特解为求其通解求其通解解解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解相应齐方程的解故故是齐方程的两个解是齐方程的两个解齐通解齐通解且线性无关且线性无关非齐通解非齐通解例例4 设设 f(x)具有连续的二阶导数试确定具有连续的二阶导数试确定f(x)使曲线积分使曲线积分与路径无关与路径无关解解 由曲线积分与路径无关的条件得由曲线积分与路径无关的条件得即即这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程齐通解齐通解例例5 5解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为由由解得解得由由即即故原方程的通解为故原方程的通解为例例6 6解解（）由题设可得：（）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得（）原方程为（）原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为测测 验验 题题测验题答案测验题答案