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微分微分2021720217一、微分的概念一、微分的概念 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、微分运算法则微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则(C 为常数)分别可微,的微分为微分形式不变微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设求 解解:利用一阶微分形式不变性,有例例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意:数学中的反问题往往出现多值性.三、三、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值.解解:设取则例例4.求机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值.解解:例例5.计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解解:已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A,其近似值为 a,称为a 的绝对误差绝对误差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束 误差传递公式误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.设测得圆钢截面的直径 测量D 的 绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解解:计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为试估计面积的误差.计算机动 目录 上页 下页 返回 结束(mm)内容小结内容小结1.微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.设由方程确定,解解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.设 且则机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P122 1;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);12习题课 目录 上页 下页 返回 结束 1.已知求解解：因为所以备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边求微分,得已知求解解：2.习题课 目录 上页 下页 返回 结束