《差分方程与滤波》PPT课件.ppt

第第4 4章章 差分方程与滤波差分方程与滤波4.1 滤波基波基础知知识4.2 模模拟滤波器和数字波器和数字滤波器波器4.3 线性、性、时不不变、因果系、因果系统4.4 差分方程差分方程4.5 叠加原理叠加原理4.6 差分方程流差分方程流图4.7 脉冲响脉冲响应 4.8 阶跃响响应非递归差分方程非递归差分方程递归差分方程递归差分方程返回roll-off 滚降降 gain 增益增益pass band 通通带 stop band 阻阻带bandwidth 带宽 linear system 线性系性系统superposition 叠加原理叠加原理 time-invariant 时不不变causal system因果系因果系统 difference equation差分方程差分方程filter coefficient滤波器系数波器系数recursive filter 递归滤波器波器nonrecursive filter 非非递归滤波器波器 finite word length effect有限字有限字长效效应impulse response 脉冲响脉冲响应infinite impulse response（IIR)无限脉冲响无限脉冲响应finite impulse response(FIR)有限脉冲响有限脉冲响应moving average filter 滑滑动平均平均滤波器波器step response 阶跃响响应4.1 滤波基波基础知知识滤波器是以特定方式改波器是以特定方式改变信号的信号的频率特性，从而率特性，从而变换信信 号的系号的系统。例：例：低通低通滤波器波器减少磁减少磁带中的高中的高频杂音分量，保留中、音分量，保留中、低低频率分量。率分量。高通高通滤波器波器可用于声可用于声纳系系统中消除信号中船和海的中消除信号中船和海的 低低频噪声，来噪声，来识别目目标。带通通滤波器波器可用于数字可用于数字电话系系统中双音多中双音多频信号的信号的 带阻阻滤波器波器除特定除特定频带外，允外，允许所有所有频率通率通过。理想理想滤波器的形状是矩形，波器的形状是矩形，图 4.2 给出非理想出非理想滤波器。波器。滤波器的波器的阶数越高，它的数越高，它的滚降（降（roll-off)越快，也就越逼越快，也就越逼近理想情况。近理想情况。增益高的增益高的频率范率范围，信号可以通，信号可以通过，称，称为滤波器的通波器的通带。增益低的增益低的频率范率范围，滤波器波器对信号有衰减或阻塞作用，称信号有衰减或阻塞作用，称滤波器的阻波器的阻带。增益增益为最大最大值的的1增益通常用分增益通常用分贝（dB）表示。增益（表示。增益（dB）=20log(增益）增益）增益增益为 0.707 时对应-3dB，因此截止因此截止频率常被称率常被称为-3dB。它它们定定义了了滤波器的波器的宽带。对于低通于低通滤波器波器宽带是从是从0 -3dB 对于高通于高通滤波器波器宽带是从是从-3dB采采样频率的一半率的一半对于于带通通滤波器波器带宽是截止是截止频率之率之间的的频率距离率距离FIGURE 4-3 Band pass filter for Example 4.1.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 4-4 Bandwidth calculation for Example 4.1.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.低通低通滤波器可以平滑信号的突波器可以平滑信号的突变高通高通滤波器可以波器可以强化信号的化信号的锐变FIGURE 4-5 Effects of low and high pass filters.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 4-5 Continued.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 4-5 Continued.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.图4.6说明不同方式明不同方式滤波器波器对语言言滤波器可以波器可以获得得不同不同频率分量（自学）率分量（自学）返回返回模模拟滤波器波器是由是由电器元件构成的器元件构成的电路，路，滤波器特性波器特性对所所用部件用部件值非常敏感，非常敏感，对外界影响也很敏感，重新外界影响也很敏感，重新设计就就 要新要新设计的的电路，路，滤波器介数增加波器介数增加时，所需部件也就越，所需部件也就越多。多。数字数字滤波器波器用用软件件实现，很少用硬件，很少用硬件，滤波波软件只是一件只是一系列程序指令，系列程序指令，滤波器的性能由一系列数字系数来确定，波器的性能由一系列数字系数来确定，只要重新确定只要重新确定滤波程序的系数就可重新波程序的系数就可重新设计数字数字滤波器。波器。数字数字滤波器程序波器程序实现有两种主要方式。有两种主要方式。1、用、用滤波器差分方程，波器差分方程，计算算滤波器的波器的输出。出。2、用卷、用卷积过程程计算算输出。出。返回返回4.3 线性、性、时不不变、因果系、因果系统线性系性系统：满足叠加原理。足叠加原理。输入入 x1 的的输出出为 y1，输入入 x2 的的输出出为 y2，则当当输入入为两个两个输入（入（x1，x2）之和之和时，输出出为两个两个输出出（y1，y2)之和。之和。X1+x2 y1+y2ax1+bx2 ay1+by2 a，b为权系数系数时不不变系系统：什么：什么时间加上加上输入，入，输出都是相同的；出都是相同的；换 句句话说 输入延入延迟，相同的量。，相同的量。因果系因果系统：一个系：一个系统在任何在任何时刻的刻的输出只决定于出只决定于现在的在的 输入以及入以及过去的去的输入，而与以后的入，而与以后的输入关。入关。也称也称为不可不可预测的系的系统，因，因为系系统的的输出无法出无法预测未来未来的的输入入值返回返回4.4 差分方程差分方程差分方程（差分方程（difference equation)可用来描述可用来描述线性性时不不变，因果数字因果数字滤波器。用波器。用x表示表示滤波器的波器的输入，用入，用y表示表示滤波器的波器的输出。出。xn表示在表示在输入，入，每个每个值之之间有一采有一采样周期延周期延迟xn-1表前一表前一输入，入，同同样的，的，输出出对应为ynxn-2表再前一表再前一输入，入，yn-1,yn-2差分方程一般表示差分方程一般表示为:a0yn+a1yn-1+aNyn-N =b0 xn+b1xn-1+bMxn-M (1)akyn-K=gkxn-K (2)Ak,bk 为权系数，称系数，称为滤波器系数。波器系数。N为所需所需过去去输出的个数，出的个数，M 为所需所需输入的个数。入的个数。NK=1 MK=0将将 yn 前前变为 1，即，即 a0 为1，所有系数除以，所有系数除以a0，得：得：yn=-akyn-K+bkxn-K (3)表明了怎表明了怎样从从过去的去的输出，出，现在的在的输入和以前的入和以前的输入入计算算滤波器每一个新波器每一个新输出。出。数字系数字系统依依赖于于输入和入和过去的去的输出出时，称其，称其为递归滤波器（波器（3式）。当数字系式）。当数字系统仅依依赖于于输入而不依入而不依赖过去去的的输出，称出，称 其其为非非递归滤波器。（波器。（4）式）式 yn=bkxn-K (4)NK=1 MK=0 MK=0下面学下面学习差分方程的使用：差分方程的使用：例例 4.2 一个一个滤波器的差分方程波器的差分方程为：yn=0.5yn-1+xn a.确定所有系数确定所有系数 ak,bk。b.它是它是递归滤波器波器还是非是非递归滤波器？波器？c.如果如果输入入 xn（如如图 4.9 所示），从所示），从 n=0 开始求出前开始求出前 12 个个输出。出。图 4.9 解：解：a.将差分方程重新改写，输出放在左侧，输入放在右侧将差分方程重新改写，输出放在左侧，输入放在右侧yn 0.5yn-1=xn 系数的值很易确定，参照式（系数的值很易确定，参照式（4.1）滤波器的系数为：）滤波器的系数为：a0=1.0,a1=-0.5 及及 b0=1.0,除除 a0,a1,b0 外其他所有系数为零。外其他所有系数为零。b.由于输出由于输出 yn 取决于过去的输出取决于过去的输出 yn-1，所以数所以数 字滤波器是递归滤波器。字滤波器是递归滤波器。c.输出可以从输出可以从 n=0 开始，通过反复计算式（开始，通过反复计算式（4.5)求出。求出。对于对于 n=0 这种情况，计算时需要输出这种情况，计算时需要输出 y-1。本书本书 中，假定数字滤波器是因果的，这就意味着直到第一中，假定数字滤波器是因果的，这就意味着直到第一 个输入不为零时，输出才开始变化。此例中为个输入不为零时，输出才开始变化。此例中为 n=0 所以，所以，y0 以前的所有输出可以假定为零。以前的所有输出可以假定为零。Y0 计算出来以后，可以计算计算出来以后，可以计算 y1。前前 12 个输出为：个输出为：y0=0.5y-1+x0=0.5 x(0.000 0)+1.0=1.000 0y1=0.5y 0+x1=0.5 x(1.000 0)+1.0=1.500 0y2=0.5y1+x2=0.5 x(1.500 0)+1.0=1.750 0y3=0.5y 2+x3=0.5 x(1.750 0)+1.0=1.875 0y4=0.5y 3+x4=0.5 x(1.875 0)+1.0=1.937 5y5=0.5y 4+x5=0.5 x(1.937 5)+1.0=1.968 8y6=0.5y 5+x6=0.5 x(1.968 8)+1.0=1.984 4y7=0.5y 6+x7=0.5 x(1.984 4)+1.0=1.992 2y8=0.5y 7+x8=0.5 x(1.992 2)+1.0=1.996 1y9=0.5y 8+x9=0.5 x(1.996 1)+1.0=1.998 0y10=0.5y 9+x10=0.5 x(1.998 0)+1.0=1.999 0y11=0.5y 10+x11=0.5 x(1.999 0)+1.0=1.999 5 输出示于出示于图 4.10。由于。由于输入入为一个恒定一个恒定值，输出最出最终也也趋近一个恒近一个恒值。例例 4.3 yn=0.5xn 0.3xn-1 a.确定所有系数确定所有系数 ak,bk。b.它是它是递归滤波器波器还是非是非递归滤波器差分方程？波器差分方程？c.输入入 xn=sin(n2/9)un,求出前求出前 20 个个输出。出。解：解：a.a0=1.0,b0=0.5 及及 b1=-0.3。b.由于输出不取决于过去的输出，所以数字滤波器是非由于输出不取决于过去的输出，所以数字滤波器是非 递归滤波器递归滤波器 c.由于输入中有由于输入中有 un，所以所以 n=0 以前的输入为零。以前的输入为零。出了输入和输出的图形。注意，虽然两个信号的幅度出了输入和输出的图形。注意，虽然两个信号的幅度 和相位不同，但它们均具有正弦特性和相同的数字周期。和相位不同，但它们均具有正弦特性和相同的数字周期。表表 4.1 n -1 0 1 2 3 4 5xn 0.000 yn 0.000 n 6 7 8 9 10 11 12xnyn n 13 14 15 16 17 18 19xnyn返回返回4.5 叠加原理叠加原理 几个几个输入同入同时加到加到滤波器上，此波器上，此时滤波器的响波器的响应要要应用叠加原理，当用叠加原理，当滤波器是波器是线形形时，多个，多个输入情况入情况较容易容易处理。理。用两种方法：用两种方法：1）分）分别计算每一算每一输入的入的输出，然后把出，然后把输出加起来得到出加起来得到总的的输出信号。出信号。2）先把所有）先把所有输入加起来，然后求入加起来，然后求滤波波器器对这个和信号的响个和信号的响应。例例 4.4 滤波器用差分方程描述波器用差分方程描述为：yn=xn+0.5xn-1两个两个输入（如入（如图 4.12所示所示)加到加到滤波器上，它波器上，它们分分别是：是：x1n=2unX2n=sin un求出两个信号共同求出两个信号共同产生的前生的前 20 个个输出，并画出出，并画出图。NN 7 7 解：解：输入入为两部分：两部分：x1n=2un,x2n=sinn/7)/7)un。每个每个输入所入所对应的的输出出y1n,y2n可以可以单独求出，然后独求出，然后把两个把两个输出相加得到出相加得到总的的输出。注意出。注意输入在入在n=0之前之前为零。零。计算出的前算出的前20个个输出如表出如表4.2和和图4.13所示。比如所示。比如n=3的情况，表的情况，表4.2中用黑体表示。中用黑体表示。X1n的的输出出y1n由下式由下式给出：出：y1n=x11n-1这样，y13=x112=2+0.5*（2）=3。X2n的的输出出y2n为：y2n=x22n-1这样，y23=x222=0.975+0.5*（0.782）=1.37，两个信号两个信号总的的输出出为y1n+y2n，对于于n=3，y13+y23=03+1.37=4.37.把两个把两个输入信号加起来同入信号加起来同样可以得到相同的可以得到相同的结果。果。在加黑的行上在加黑的行上y3=x3+x2=2.975+0.5*(2.782)=4.37。实际上，上，输出出列列y1n+y1n可以直接从可以直接从输入之和列入之和列x1n+x2n计算得到，而不需要算得到，而不需要经过中中间y1n，y2n两列。两列。n x1n x2n xn=x1n+x2n y1n y2n yn=y1n+y2n 2 2 0.782 2.782 3 1.00 4.00 3 2 0.975 2.975 3 1.37 4.37 6 2 0.434 2.434 3 0.82 3.82 17 2 0.975 2.975 3 1.37 4.37 返回返回4.6 差分方程流差分方程流图1、非、非递归差分方程差分方程（a）延延迟单元元 xn 延延迟 xn-1 (b)系数乘法器系数乘法器 xn bk bkxn x1n(c)加法器加法器 +x1n+x2n x2n前面所前面所讲的一般非的一般非递归差分方程，可用差分方程，可用图 4.15 表示。表示。有限字有限字长效效应：由于：由于处理器有效比特数的有限而理器有效比特数的有限而产生的影生的影响（量化响（量化误差）。差）。采取措施减小采取措施减小这些影响的方法：些影响的方法：把高把高阶滤波器分波器分为若干个二若干个二阶滤波器波器块，每，每块两个延两个延迟单元，然后将元，然后将这些些滤波器波器块级联起来，起来，这样平均来平均来说每一个每一个二二阶滤波器波器节的系数比原来的系数比原来滤波器系数大，波器系数大，这样对量化量化误差敏感程度差敏感程度较低。低。例例 4.5 画出下列差分方程的流画出下列差分方程的流图：yn=0.5xn+0.4n-1 0.2xn-2解解以上差分方程的流图如图以上差分方程的流图如图 4.17 所示。所示。图图 4.17例例 4.6 写出写出图 4.18 流流图的差分方程。的差分方程。解：解：xn 的乘数为的乘数为 1，无，无 xn-1 项，差分方程是：项，差分方程是：yn=xn 0.3xn-2+0.7xn-3例例 4.7 写出写出图 4.19 级联流流图的差分方程。的差分方程。解：解：第一级的差分方程为：第一级的差分方程为：y1n=x11n-2第二级的差分方程为：第二级的差分方程为：y2n=x222n-2第三第三级的差分方程的差分方程为：y3n=x33n-1第一第一级的的输出等于第二出等于第二级的的输入，入，x2n=y1n;第二第二级的的输出等于第三出等于第三级的的输入；入；x3n=y2n,可得可得级联系系统总的的输入入 y3n。从第三从第三级的差分方程开始，代入第的差分方程开始，代入第二二级的差分方程有：的差分方程有：y3n=x33n-1=y22n-1 =(x222n-2)-0.4(x222n-3)=x2222n-3代入第一代入第一级的差分方程有：的差分方程有：y3n=x2222 n-3 =y1111 n-3 =(x111 n-2)-0.1(x111 n-3)-0.02(x111 n-4)-0.04(x111 n-5)=x1111 n-31n-5 得到得到总的的滤波器的差分方程。波器的差分方程。返回返回2、递归差分方程差分方程1）直接）直接 1 型型实现 对于一般于一般递归滤波器的差分方程（式波器的差分方程（式 4.3），也可画），也可画出其流出其流图（图 4.20)例例 4.8 画出如下差分方程所描述的画出如下差分方程所描述的递归数字数字滤波器的直接波器的直接 1 型流型流图：yn+0.5yn-2=0.8xn+0.1xn-1-0.3xn-2解：解：从方程可知从方程可知 a0=1.0,a1=0.5,b0=0.8,b1=0.1 和和b2=-0.3。将差分方程重新排列如下：将差分方程重新排列如下：yn=-0.5yn-2+0.8xn+0.1xn-1 0.3xn-2可以画出流图如图可以画出流图如图 4.21。图图 4.21例例 4.9 写出如下流写出如下流图的差分方程：的差分方程：解：解：差分方程为：差分方程为：yn=0.1yn-1 0.3yn-2+0.6yn-3 0.8xn-1+0.2xn-32)直接直接 2 型型实现 它采用中它采用中间信号信号 wn，代替代替过去去输入和入和输出，出，记录滤波器波器历史的重要信息。史的重要信息。定定义直接直接 2 型型实现的两个方程的两个方程为（附（附录 C P599有推有推导）wn=xn akwn-k yn=bkwn-k两者两者结合起来构成合起来构成图 4.23 所示的直接所示的直接 2 型流型流图，它减，它减小了小了过去去输入和入和输出状出状态的的储存，直接存，直接 2 型型较直接直接 1 型型省存省存储器。器。NK=1 NK=0颠倒图颠倒图 4.23中信息流向，得到转置直中信息流向，得到转置直接接 2 型（如图型（如图4.24)。图图 4.24例例 4.10 求出求出图 4.25 所示流所示流图的的滤波器差分方程：波器差分方程：解：解：最下面的加法器输出为最下面的加法器输出为 0.1xn-0.3yn,延迟一个单延迟一个单xn-1 0.3yn-1。xn,最后得到：最后得到：yn=0.1xn-2-0.3yn-2+0.2xn-1 -0.2yn-1+0.8xn即得所示即得所示滤波器的差分方程。表示成更一般的形式波器的差分方程。表示成更一般的形式为：yn=-0.2yn-1 0.3yn-2+0.8xn +0.2xn-1+0.1xn-2返回返回4.7 脉冲响脉冲响应脉冲响脉冲响应是是滤波器波器对脉冲脉冲输入的响入的响应。数字数字滤波器的差分方程可以用来波器的差分方程可以用来计算算滤波波器的脉冲响器的脉冲响应，输入是脉冲函数，入是脉冲函数，则差分差分方程的方程的输入入 xn 用用 n代替，脉冲响代替，脉冲响应用用 hn 表示。脉冲响表示。脉冲响应反映了反映了滤波器波器的基本特性，由于所有数字信号可以由脉的基本特性，由于所有数字信号可以由脉冲函数构成，所以脉冲响冲函数构成，所以脉冲响应可用来求各种可用来求各种输入的入的输出。出。例例 4.11 对下列差分方程求出脉冲响下列差分方程求出脉冲响应的前六个的前六个值。yn 0.4yn-1=xn xn-1解：解：首先，用首先，用 n 代替代替 xn，hn 代替代替 yn，有：有：hn 0.4hn-1=n-n-1 或或 hn=0.4hn-1+n-n-1从从 n=0 开始：开始：h0+0.4h-1+0-1脉冲函数的值已知：脉冲函数的值已知：n=0 时，它为时，它为 1；在其他；在其他 n 不等于不等于零处，它为零。假定滤波器是因果系统，几脉冲响应在零处，它为零。假定滤波器是因果系统，几脉冲响应在n=0 之前为零。因此：之前为零。因此：h0=0.4*(0.0)+注意注意 -1=0 是函数是函数 n 当当 n=-1 是的是的值，而非，而非因果性的因果性的结果。果。随后的脉冲响随后的脉冲响应为：h1=0.4h0+1-0 h2=0.4h1+2-1 h3=0.4h2+3-2 h4=0.4h3+4-3 =0.4*(-0.096)+0.0-1.0=-0.038 4 h5=0.4h4+5-4 =0.4*(-0.038 4)+0.0-1.0=-0.015 36脉冲函数和脉冲响脉冲函数和脉冲响应示于下示于下图：(b)中中 即使即使 n=0 以后没有以后没有输入，入，虽然脉冲响然脉冲响应值越来越越来越小，但决不会下降到小，但决不会下降到 0，这一特性常一特性常为递归滤波器所具波器所具有。新的有。新的输出取决于出取决于过去的去的输出，所以脉冲响出，所以脉冲响应不会消不会消失，失，这个响个响应称称为无限脉冲响无限脉冲响应（IIR）例例 4.12 求出下列求出下列滤波器脉冲响波器脉冲响应的前六个采的前六个采样值。yn=0.25(xn+xn-1+xn-2+xn-3解：解：用用n 代替代替 xn，hn 代替代替 yn，有：有：hn=0.25(n+n-1+n-2+n-3这样：这样：(0+-1+-2+-3)=0.25*(1.0+0.0+0.0+0.0)=0.25 (1+0+-1+-2)=0.25*(0.0+1.0+0.0+0.0)=0.25 (2+1+0+-1)=0.25*(0.0+0.0+1.0+0.0)=0.25 (3+2+1+0)(4+3+2+1)(5+4+3+2)显然，当然，当 n 4 时，脉冲响，脉冲响应的所有采的所有采样值均均为零，零，图 4.29(a)给出了脉冲函数出了脉冲函数输入和脉冲响入和脉冲响应。图 4.29(a)（b）中，脉冲响中，脉冲响应在有限个非零采在有限个非零采样值之后下降到零，之后下降到零，这种响种响应称称为有限脉冲响有限脉冲响应(FIR)，是非是非递归滤波器的波器的特性。特性。非非递归滤波器在波器在计算每一个新算每一个新输出出时，只要用，只要用 M 个个过去去输入，脉冲响入，脉冲响应变为零所需要的采零所需要的采样点数取决于点数取决于计算中所用到的算中所用到的过去去输入个数。入个数。图 4.29(b)中，它的脉冲响中，它的脉冲响应有有 4 个，每个个，每个辐度度为 1/4，从差分方程中可看出，从差分方程中可看出，这种脉冲响种脉冲响应形式具有形式具有对输入信入信号每号每 4 个采个采样值进行平均的作用。行平均的作用。具有这种脉冲响应形式的滤波器，被称为滑动平均具有这种脉冲响应形式的滤波器，被称为滑动平均 滤波器。滤波器。图图 4.29(b)对于非递归滤波器，脉冲响应的采样值给出了差分方程的系数。对于非递归滤波器，脉冲响应的采样值给出了差分方程的系数。如图如图 4.29(b)式式 yn=0.25(xn+xn-1+xn-2+xn-3中的差分方程系数。中的差分方程系数。图图 4.29(b)具有具有 M 个非零采个非零采样值的脉冲响的脉冲响应 hn，可表示可表示为脉冲函数之和脉冲函数之和 hn=h0n+h1n-1+hMn-M 非非递归差分方程脉冲响差分方程脉冲响应 hn=b0n+b1n-1+bMn-M 两式相等两式相等 bK=hk 非非递归差分方程差分方程 yn=b0 xn+b1xn+bMxn-M 可改写成可改写成 yn=h0 xn+h1xn-1+hMxn-M例例 4.13 写出写出图 4.30 所示脉冲响所示脉冲响应的的滤波器差分方程。波器差分方程。解：解：脉冲响应可以写成脉冲函数之和：脉冲响应可以写成脉冲函数之和：hn=nn-2 这样，差分方程具有类似的结构：这样，差分方程具有类似的结构：yn=xnn-2由由于于脉脉冲冲响响应应中中非非零零的的采采样样点点数数有有限限，所所以以差差分分方方程程具具有有有有限限脉脉冲冲响响应应(FIR)特特性性例：例：4.14 图 4.31 所示信号所示信号 xn 加到加到线形形滤波器的波器的输入入 端，端，滤波器的脉冲响波器的脉冲响应 hn 如如图 4.32 所示。将所示。将 入信号分成脉冲函数并求每一个的响入信号分成脉冲函数并求每一个的响应，然后求，然后求滤 波器的波器的输出出 yn。解：解：图图 4.31 所示信号所示信号 xn 可以表示成：可以表示成：xn=3n+2n-1+n-2 正如式和图所示，信号正如式和图所示，信号 xn 由不同幅度的三个脉冲函数由不同幅度的三个脉冲函数组成：组成：3n，2n-1 及及n-2。由于脉冲由于脉冲 n 的响的响应是脉冲响应应是脉冲响应 hn，所以所以 3n 的响应是的响应是 3hn，类似类似地，地，2n-1 的响应是的响应是 2hn-1，n-2 的响应是的响应是hn-2。这些函数画于图这些函数画于图 4.33，正如所料，左面的三个脉冲相加，正如所料，左面的三个脉冲相加后构成左下方的输入信号。由于滤波器是线形的，输入端后构成左下方的输入信号。由于滤波器是线形的，输入端三个脉冲函数的和将产生三个脉冲响应之和的输出。这个三个脉冲函数的和将产生三个脉冲响应之和的输出。这个“和和”示于图的右下方，关系为：示于图的右下方，关系为：yn=3hn+2hn-1+hn-2 返回返回4.8 阶跃响响应阶跃响响应是是滤波器波器对单位位阶跃函数的响函数的响应阶跃函数函数为 un，阶跃响响应记为 sn。求解求解滤波器波器阶跃响响应的两种方法的两种方法直接用差分方程直接用差分方程求脉冲响应之和求脉冲响应之和（线形滤波器）（线形滤波器）例：例：4.15 求求滤波器的波器的阶跃响响应：yn 0.2 yn-2=0.5xn+0.3xn-1解：解：图图 4.34(a)对于图对于图 4.34(a)所示的阶跃函数输入所示的阶跃函数输入 xn=un，输出输出 yn=sn 如下：如下：sn 0.2 sn-2=0.5un+0.3un-1这样 s0=0.2s-2+0.5u0+0.3u-1 s1=0.2s-1+0.5u1+0.3u0 s2=0.2s0+0.5u2+0.3u1 s3=0.2s1+0.5u3+0.3u2 s4=0.2s2+0.5u4+0.3u3 s5=0.2s3+0.5u5+0.3u4 s6=0.2s4+0.5u6+0.3u5 s7=0.2s5+0.5u7+0.3u6 =0.2*(0.992)+0.5*(1)+0.3*(1)=0.998 4滤波器的波器的阶跃响响应示于示于图 4.34(b)。图图 4.34(b)例：例：4.16 滤波器：波器：yn 0.2yn-2=0.5xn+0.3xn-1 的脉冲响的脉冲响应也可以通也可以通过：hnn-1从例从例 4.15 得到。得到。hn 的的值位于表位于表 4.3 的第二列，通的第二列，通过求累求累积和，可以从脉冲响和，可以从脉冲响应得到得到阶跃响响应，如，如图 4.35 所示。即每个所示。即每个阶跃响响应的的值是所有到是所有到 n 的脉冲响的脉冲响应的和。的和。例如，例如，s2 为 返回返回