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届高考二轮复习专题高效升级卷圆锥曲线中的探索性问题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3.过点（0，1）作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：C4.对于抛物线C：y24x，我们称满足 4x0的点M（x0，y0）在抛物线内部，若M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y2（xx0）与曲线C（）A.恰有一个公共点B.恰有两个公共点C.可能有一个公共点也可能有两个公共点D.没有公共点答案：D5.如图，过抛物线y24x的焦点的直线依次交抛物线与圆（x1）2y21于A，B，C，D四点，则|AB|CD|等于（）A.1B.2C.3D.4答案：A6.设双曲线 1与 1的四个顶点构成的四边形面积为S1，四个焦点构成的四边形面积为S2，则 的最小值是（）A.1B.2C.4D.8答案：B7.过双曲线 1（a0，b0）的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若|FM|2|ME|，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2C.D.答案：C8.已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2（y4）21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是（）A.5B.8C.1D.2答案：C9.设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足.如果直线AF的斜率为 ，那么|PF|（）A.4 B.8C.8 D.16答案：B10.已知椭圆 1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当 取最小值时，|的值为（）A.2 B.3 C.2 D.答案：B11.已知抛物线y24x，过焦点的弦AB被焦点分成长为m、n（mn）的两段，那么（）A.mnmnB.mnmnC.m2n2mnD.m2n2mn答案：A12.设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点.若 0，则|等于（）A.9B.6C.4D.3答案：B二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共4小题，每小题小题，每小题4分，共分，共16分）分）13.如图，在ABC中，CABCBA30，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为_.答案：14.已知点P是双曲线 -1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|F2M|_.答案：b215.已知抛物线y24x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则y12y22的最小值是_.答案：3216.已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设|FA|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于_.答案：32 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共4小题，每小题小题，每小题9分，共分，共36分）分）17.设b0，椭圆方程为 1，抛物线方程为x28（yb）.如图所示，过点F（0，b2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程.（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得 ABP为直角三角形?若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.解法一：（1）由 易得点G的坐标为（4，b2），抛物线在点G处的切线方程为4x8（b），又F1的坐标为（b，0），4b8（b），b1.椭圆方程为 y21，抛物线的方程为x28（y1）.（2）共有四个点.分别过A、B作x轴的垂线交抛物线于P1、P2，则得到两个直角三角形ABP1、ABP2.以AB为直径的圆显然与抛物线有两个交点P3、P4，则又得到两个直角三角形ABP3、ABP4.解法二：（1）由x28（yb）得y x2b.当yb2时，x4，G点的坐标为（4，b2）.y x，y|x41，过点G的切线方程为y（b2）x4，即yxb2，令y0得x2b，F1点的坐标为（2b，0）.由椭圆方程得F1点的坐标为（b，0），2bb，即b1.因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为 y21和x28（y1）.（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，以PAB为直角的RtABP只有一个.同理，以PBA为直角的RtABP只有一个.若以APB为直角，设P点的坐标为（x，x21），则A、B坐标分别为（，0）、（，0）.由 x22（x21）20，得 x4 x210，关于x2的一元二次方程有一解，x有两解，即以APB为直角的RtABP有两个.因此抛物线上共存在4个点使ABP为直角三角形.18.已知定点A（1，0），F（2，0），定直线l：x ，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.（1）求E的方程;（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.解：（1）设P（x，y），则 2|x|，化简得x2 1（y0）.（2）当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为yk（x2）（k0），与双曲线方程x2 1联立消去y得（3k2）x24k2x（4k23）0.由题意知，3k20，且0.设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1x2 ，x1x2 ，y1y2k2（x12）（x22）k2x1x22（x1x2）4k2（4）.因为x1，x21，所以直线AB的方程为y （x1）.因此M点的坐标为（，），（，），同理可得 （，），因此 （）（）0.当直线BC与x轴垂直时，其方程为x2，则B（2，3），C（2，3），AB的方程为yx1，因此M点的坐标为（，），（，）.同理可得 （，）.因此 （）（）（）0.综上，0，即FMFN.故以线段MN为直径的圆过点F.19.如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线yx2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：yc交于P，Q两点.（1）若 2，求c的值.（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线.（3）试问（2）的逆命题是否成立？请说明理由.解：（1）设过C点的直线为ykxc.代入yx2得x2kxc0.令A（a，a2），B（b，b2），则abc.因为 aba2b2cc22，解得c2，或c1（舍去）.故c2.（2）证明：由题意知Q（，c），直线AQ的斜率为kAQ 2a.又yx2的导数为y2x，所以点A处切线的斜率为2a.因此，AQ为该抛物线的切线.（3）（2）的逆命题成立.证明如下：设Q（x0，c）.若AQ为该抛物线的切线，则kAQ2a.又直线AQ的斜率为kAQ ，所以 2a，得2ax0a2ab.因a0，有x0 .故点P的横坐标为 ，即P点是线段AB的中点.20.已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e .（1）求椭圆E的方程;（2）求F1AF2的角平分线所在直线l的方程;（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在，请找出;若不存在，说明理由.解：（1）设椭圆E的方程为 1，由e ，即 ，a2c，得b2a2c23c2.椭圆方程具有形式 1.将A（2，3）代入上式，得 1，解得c2，椭圆E的方程为 1.（2）解法一：由（1）知F1（2，0），F2（2，0），直线AF1的方程为y（x2），即3x4y60.直线AF2的方程为x2.由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数.设P（x，y）为l上任一点，则|x2|.若3x4y65x10，得x2y80（因其斜率为负，舍去）.于是，由3x4y65x10得2xy10，所以直线l的方程为2xy10.解法二：A（2，3），F1（2，0），F2（2，0），（4，3），（0，3）.（4，3）（0，3）（1，2）.kl2.l：y32（x1），即2xy10.（3）解法一：假设存在这样的两个不同的点B（x1，y1）和C（x2，y2），BCl，kBC .设BC的中点为M（x0，y0），则x0 ，y0 ，由于M在l上，故2x0y010.又B，C在椭圆上，所以有 1与 1.两式相减，得 0，即 0，将该式写为 0，并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中，得 x0 y00，即3x02y00.2得x02，y03，即BC的中点为点A，而这是不可能的.不存在满足题设条件的点B和C.解法二：假设存在B（x1，y1），C（x2，y2）两点关于直线l对称，则lBC，kBC .设直线BC的方程为y xm，将其代入椭圆方程 1，得一元二次方程3x24（xm）248，即x2mxm2120.则x1与x2是该方程的两个根.由韦达定理得x1x2m，于是y1y2（x1x2）2m ，B，C的中点坐标为（，）.又线段BC的中点在直线y2x1上，m1，得m4，即B，C的中点坐标为（2，3），与点A重合，矛盾.不存在满足题设条件的相异两点.