《连续函数运算》PPT课件.ppt

一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第八节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与初等函数的连续性 第二章 定理定理2.连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数在其定义域内连续在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1.在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和,差差,积积,(利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)商商(分母不为分母不为 0)运算运算,结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,例如例如,在上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数(递减递减).(证明略证明略)在在 1,1 上也连续单调递增上也连续单调递增.递增递增(递减递减)也连续单调也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.在在内连续内连续 单调单调 递增递增,其反函数其反函数在内也连续单调递增内也连续单调递增.证证:设函数设函数于是于是故复合函数故复合函数又如又如,且且即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,是由连续函数链是由连续函数链因此因此在在上连续上连续.复合而成复合而成,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,指数函数指数函数可看成由连续函数链可看成由连续函数链复合而成复合而成,因而指数函数因而指数函数在在 R 内连续内连续.由反函数的连续性知由反函数的连续性知,对数函数对数函数 在其定义域在其定义域 R+内亦连续内亦连续.例例1.设设均在均在上连续上连续,证明函数证明函数也在也在上连续上连续.证证:根据连续函数运算法则根据连续函数运算法则,可知可知也在也在上上连续连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,的连续区间为的连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)的连续区间为的连续区间为的定义域为的定义域为因此它无连续点因此它无连续点而而机动 目录 上页 下页 返回 结束 在函数在函数 f 连续的条件下连续的条件下,如果已知如果已知f(x)在点在点x0连续连续,则给出了求极限的一种方法则给出了求极限的一种方法,这就是这就是:另外另外,在在f 连续的条件下连续的条件下,求复合函数极求复合函数极限的公式可改写为限的公式可改写为利用这个公式可以解决一系列极限计算问题利用这个公式可以解决一系列极限计算问题.例例2.求解解:原式原式例例3.求解解:令则原式原式说明说明:当当时时,有有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明证明例例5:求求例例6.求求例例7:求求例例8.求求解解:原式说明说明:若若则有则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 等价地等价地:当当例例9:设设解解:左边左边=例例10.设设解解:讨论复合函数讨论复合函数的连续性的连续性.故此时连续故此时连续;而而故故x=1为第一类间断点为第一类间断点.在点在点 x=1 不连续不连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结基本初等函数基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.设函数设函数于于x=0 处连续，且对任意实数处连续，且对任意实数x，有，有证明证明 f(x)是常数函数是常数函数.证明证明:由条件由条件可以推出可以推出由由 x 的任意性即知的任意性即知：f(x)=f(0).