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曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸曲线的拐点一.函数的凹凸性 前面我们应用导数判断了函数图形上升和下降的规律，但这还不能完全反映它的变化规律如图所示，的图形在区间 内虽然一直上升，但却有着不同的弯曲状况.定义3.2 设函数 在区间 内，曲线弧位于其任意一点切线的上方，则称曲线在 内是凹的；设函数在区间 内，曲线弧位于其任意一点切线的下方，则称曲线在 内是凸的.如左图所示的图形在 是凹的.如右图所示的图形在 内是凸的 由前面两图可以看出，如果曲线是凹的，曲线的切线斜率 随着 的增大而逐渐增大，即函数 是单调增加的如果曲线是凸的，曲线的切线斜率 随着 的增大而逐渐减小，即函数 是单调递减的而 的单调性可由 的符号决定，故曲线的凹凸性与的 符号有关 定理3.8 设函数 在区间内二阶导数 存在 (1)如果在 内 ，那么曲线 在 内是凹的；(2)如果在 内 ，那么曲线 在 内是凸的 例1 判断曲线 的凹凸性解 函数 的定义域为 ，在 上，所以曲线 在 内是凹的如图.例2 判断曲线 的凹凸性 解 函数 的定义域为 ,;当 时 ，故曲 线在 内是凸的.当 时 ，故曲线在 内是凹的.点 是曲线由凸变凹的分界点如图所示.返回二.曲线的拐点 定义3.3 连续曲线上凹凸的分界点称为这条曲线的拐点 由拐点的定义可知，拐点是曲线凹凸的分界 点，因此，在拐点左右近旁 必然异号，而在 拐点处 或 不存在因而我们可以利 用二阶导数 的符号来判别曲线的拐点 判定曲线拐点的步骤为:(1)确定函数 的定义域；(2)求出 ，解出使 和 不 存在的所有点 ；(3)对解出的每一个点 ，考察 在 左右近旁的符号，如果 的符号相反，那么 就是拐点；如果 的符 号相同，那么 就不是拐点 例3 判断曲线 的凹凸性，并求其拐点 解 (1)所求函数的定义域为 ；(2)(3)由 ，解得:(4)列表判断如下 拐点 拐点表中的符号“”、“”分别表示曲线是“凹”、“凸”的.由上表可知，曲线在区间 和 是凹的，在区间 是凸的 曲线拐点为 和 例4 判断曲线 的凹凸性，并求其拐点 解(1)所求函数的定义域为 ；(2)，；(3)令 ，解得 ；(4)列表判断如下 拐点 例5 判断曲线 是否有拐点?解 (1)函数的定义域为 ；(2)；(3)令 ，解得 ；(4)显然 时,.所以曲线在定义 域内全部是凹的;因此曲线没有拐点