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数学建模知识综合例例3 3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态一个过渡状态亮一段时间的黄灯。亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离离 L。这就是说，在离街口距离为。这就是说，在离街口距离为 L处处存在着一条停车线（尽管它没被画在存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。穿过马路。马路的宽度马路的宽度 D是容易测得是容易测得 的，问题的关键在的，问题的关键在 于于L的确定。为确定的确定。为确定 L，还应当将，还应当将 L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其中其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动为刹车制动后车辆驶过的路程。后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来定律计算出来（留作习题）留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到至少应当达到 （L+D）/v。DL例例4 4 将形状质量相同的砖块一一向右往外将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均设砖块是均质的，长度与重量均 为为1 1，其，其 重重心在中点心在中点1/21/2砖长处，现用砖长处，现用归纳法归纳法推导。推导。Zn(n1)n(n1)由第由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：块砖受到的两个力的力矩相等，有：1/2-Zn=(n1)Zn故故Zn=1/(2n)，从而上面，从而上面 n块砖向右推出块砖向右推出的总距离为的总距离为 ，故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至 任意远任意远任意远任意远 ，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。学科知识的应用有时是意想不到的。学科知识的应用有时是意想不到的。（例（例5）循环图的连通性与）循环图的连通性与gcd(a,n)=1之之间的关系）。举例间的关系）。举例gcd(2,7)=1，gcd(2,6)=2希尔密码设计希尔密码设计 古典密码不能改变字母出现的频率古典密码不能改变字母出现的频率 利用矩阵与向量相乘运算利用矩阵与向量相乘运算困难：逆矩阵不能用于解密困难：逆矩阵不能用于解密想办法克服困难。想办法克服困难。（实（实例例）取取A=则则 (具体求法见具体求法见后后),用用A加密加密THANK YOU,再用再用 对密文解密对密文解密 用矩阵用矩阵A左乘各向量加密（关左乘各向量加密（关 于于26取余）得取余）得 得到密文得到密文 JXCPI WEK 解解:(希尔密码加希尔密码加 密密)用相应数字代替字符，划分为两个元素一用相应数字代替字符，划分为两个元素一 组并表示为向量：组并表示为向量：（希尔密码解密希尔密码解密）用用A-1左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。(自行验证自行验证)希尔密码是以希尔密码是以矩阵矩阵 法法为基础的，明文与密文的对为基础的，明文与密文的对 应由应由n阶矩阶矩阵阵A确定。矩阵确定。矩阵A的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字母的字母数量相同，如果明文所含字数母的字母数量相同，如果明文所含字数 与与n不匹配，则最后不匹配，则最后几个分量可任意补足。几个分量可任意补足。A-1的求法的求法方法方法1 利用公式利用公式 ，例如，若取，例如，若取 ，则则 ,(mod26)，即，即 方法方法2 利用高斯消去法。将矩利用高斯消去法。将矩 阵阵(A,E)中的矩阵中的矩阵A消为消为E，则原先的则原先的E即被消成了即被消成了A-1，n（例（例1）敏感问题的调查）敏感问题的调查 因为需要，人们有时候会去调查一些敏感问题。因为需要，人们有时候会去调查一些敏感问题。例如，学校领导可能想通过调查了解在校学生中例如，学校领导可能想通过调查了解在校学生中究竟有多少人在考试中作弊究竟有多少人在考试中作弊过过，或者究竟有多少，或者究竟有多少学生在谈恋爱学生在谈恋爱，。卫生部门为了控制和预防艾。卫生部门为了控制和预防艾滋病，希望了解本地区大约有多少人是同性恋者、滋病，希望了解本地区大约有多少人是同性恋者、有多少人在吸毒有多少人在吸毒，等等。直截了当去问别人非但，等等。直截了当去问别人非但了解不到真实情况，还很可能会引起别人的反感，了解不到真实情况，还很可能会引起别人的反感，你能想出办法来解决这一困难吗？（分析：不能你能想出办法来解决这一困难吗？（分析：不能只提一个问题）只提一个问题）分析问题的能力分析问题的能力n方法一（随机回答法方法一（随机回答法）n要调查敏感问题，所提问题必定要涉及到这一敏要调查敏感问题，所提问题必定要涉及到这一敏感问题，但是，如果你直截了当地去提问，你又感问题，但是，如果你直截了当地去提问，你又成了在打听别人的隐私。有什么办法可以解决这成了在打听别人的隐私。有什么办法可以解决这一困难呢？方法之一就是多提几个问题，采用所一困难呢？方法之一就是多提几个问题，采用所谓的随机回答法（谓的随机回答法（Randomized Response Method）。调查者不是只提出敏感问题，而）。调查者不是只提出敏感问题，而是将此敏感问题是将此敏感问题包包含在所提的问题之中，让被调含在所提的问题之中，让被调查者回答其中的一个问题。由于调查者并不知道查者回答其中的一个问题。由于调查者并不知道被调查者回答的是哪一个问题，只要被调查者知被调查者回答的是哪一个问题，只要被调查者知道这一点并确信调查者不可能从自己的回答中了道这一点并确信调查者不可能从自己的回答中了解到他个人的隐私，也就没有必要再讲假话解到他个人的隐私，也就没有必要再讲假话了。了。例如例如调查者提出以下两个问题：调查者提出以下两个问题：问题问题1）你曾经在考试中作弊）你曾经在考试中作弊过过吗？吗？问题问题2）你从不在考试中作弊吗？）你从不在考试中作弊吗？调查者又如何计算出作过弊的人所占的比调查者又如何计算出作过弊的人所占的比例呢？这里需要用到概率论中的条件概率例呢？这里需要用到概率论中的条件概率公式。公式。用一个竹筒，里面装用一个竹筒，里面装n根竹签，其根竹签，其中中有有p根标有根标有1，q根标有根标有2（p+q=n）。被调查者抽到被调查者抽到1的概率为的概率为 p/p+q，抽到，抽到2的概率为的概率为q/p+q。假设回答。假设回答“是是”的人占被的人占被调查者总数的百分比为调查者总数的百分比为a。n从未作弊从未作弊过过的学生所占的比例为（的学生所占的比例为（1-a，由条件概率公式由条件概率公式，回答是的比例为，回答是的比例为：k=(apn+(1-a)qn)/n，k可统计出来可统计出来 a=(k-q)/(p-q)，a即要求的数（近似值）即要求的数（近似值）方法二（不相关问题模型方法二（不相关问题模型）问题问题1：你曾经作弊过吗？你曾经作弊过吗？问题问题2：你是上半年出生的吗？你是上半年出生的吗？则可得：则可得：a=(k-rq)/p，(r为上半年生比例为上半年生比例)例例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最哩，潜水艇最大航速为大航速为30节而巡逻艇最大航速为节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。水艇。显然，这是一个对策问题，较为复杂。仅讨论以下简单情形：显然，这是一个对策问题，较为复杂。仅讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。（追赶方案的设计）（追赶方案的设计）设巡逻艇在设巡逻艇在A处发现位于处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以处的潜水艇，取极坐标，以B为极为极点，点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r()，见图，见图3-2。BAA1drdsd图3-2由题意，由题意，故，故ds=2dr图图3-2可看出，可看出，故有故有:即即:（3.3）解为：解为：（3.4）先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然然后按后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。对数螺线航行，即可追上潜艇。追赶方法如下：追赶方法如下：观察观察猜测猜测证明，科学研究的重要证明，科学研究的重要途径之一途径之一（例（例1）设有一个半径为）设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为的圆形湖，圆心为 O。A、B 位于湖的两侧，位于湖的两侧，AB连线过连线过O，见图。，见图。现拟从现拟从A点步行到点步行到B点，在不得进入湖中的限点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。制下，问怎样的路径最近。ABOrEFEF逻辑推理与证明能力逻辑推理与证明能力猜测证明如下：猜测证明如下：（方法一）（方法一）显然，显然，由由AE、EF、FB及及AE，EF，FB围成围成的区域的区域 R是一凸集。利用是一凸集。利用分离定理分离定理易证最短径不可能经过易证最短径不可能经过R外的点，若不然，设外的点，若不然，设 为最短路径，为最短路径，过过R外的一点外的一点M，则，则必存在直必存在直 线线l分离分离M与与R，由于路径，由于路径是连续曲线，由是连续曲线，由A沿沿到到M，必交，必交l于于M1，由，由M沿沿到到B又必交又必交l于于M2。这样，直线。这样，直线 段段M1M2的长度必小于路的长度必小于路 径径M1MM2的长度，与的长度，与是是A到到B的的最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。内。不妨设路径经湖的上方到达不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧点，则弧EF必在路径必在路径F上，又上，又直线段直线段AE是由是由A至至E的最短路径，直线的最短路径，直线FB是由是由F到到B的最短的最短路径，猜测得证。路径，猜测得证。ABOrEFEFM1M2Ml例例2 在每一次人数不少于在每一次人数不少于6人的聚会中必可找人的聚会中必可找出这样的出这样的3人，他们或者彼此均认识或者彼此均人，他们或者彼此均认识或者彼此均不认识不认识。利用利用图的方法图的方法来描述该问题。将人看成顶来描述该问题。将人看成顶点，两人彼此都认识用实线连，否则虚线。点，两人彼此都认识用实线连，否则虚线。证明：证明：相识问题（拉姆齐问题）相识问题（拉姆齐问题）问题转化为在一个问题转化为在一个6阶图中必存在实线三角阶图中必存在实线三角形或虚线三角形。形或虚线三角形。请大家一起画图证明请大家一起画图证明2 1 3 4 6 5 1 2 34 任取一顶点，不妨任取一顶点，不妨1 考察考察23、24和和3423、24和和34只能是虚线只能是虚线，否则得证，否则得证但这样三角形但这样三角形234的三边均为虚线的三边均为虚线 不妨取不妨取1 2、1 3、1 4 实线实线与与1相连的边必然有：相连的边必然有：实线条数不小于实线条数不小于3或虚线条数不小于或虚线条数不小于3拉姆齐问题也可这样叙述：拉姆齐问题也可这样叙述：6阶阶2色完全图中必含有色完全图中必含有3阶单阶单色完全图。色完全图。其他类似可推出的结果其他类似可推出的结果：命题命题1 任一任一6阶阶2色完全图中至少含有两个色完全图中至少含有两个3阶单色完全图。阶单色完全图。证明证明：前面证明必存在：前面证明必存在3阶单色完全图，不妨设阶单色完全图，不妨设123 为红色完全图为红色完全图15、25、35中至少有两条黑色、故中至少有两条黑色、故15与与25中至少有一条是黑色中至少有一条是黑色若若456也是红色三角形，命题已得证也是红色三角形，命题已得证 故至少一边与故至少一边与123的边异色，不妨设的边异色，不妨设45黑色黑色14、24、34至少应有两条黑色，不妨设至少应有两条黑色，不妨设14、24 黑色黑色所以存在第二个所以存在第二个3阶单色完全图。阶单色完全图。命题命题2 7阶双色完全图中至少含有阶双色完全图中至少含有4个个3阶单色完全图阶单色完全图2 1 3 4 6 5 定义定义 ：用用m种颜色对种颜色对 的边进行染色，如果要求必的边进行染色，如果要求必存在一种颜色存在一种颜色t（t=1,m之一），在之一），在 中总可以找出该种颜色的中总可以找出该种颜色的 阶单色子图，具阶单色子图，具有这种性质的最小正整数有这种性质的最小正整数n记为记为 ，这种数被称为拉姆塞数。根据前面的证明，我这种数被称为拉姆塞数。根据前面的证明，我们已经知道了们已经知道了 。（易见，由于数。（易见，由于数学符号的引入，我们的叙述大大地简化了）。学符号的引入，我们的叙述大大地简化了）。n经过许多人的努力，现已发现：经过许多人的努力，现已发现：人们找到的拉姆塞数总共只有这人们找到的拉姆塞数总共只有这10个，寻找个，寻找 已经是常人无法想象地困难。由于计算量太大的原因，要找已经是常人无法想象地困难。由于计算量太大的原因，要找到第十一个，例如到第十一个，例如 已经非常困难，即使利用计算机来已经非常困难，即使利用计算机来计算，也要花上几年甚至更长的时间。计算，也要花上几年甚至更长的时间。实例实例 17位学者中每人都和其他人通信讨论位学者中每人都和其他人通信讨论3个方向的课题。个方向的课题。任意两人间只讨论其中一个方向的课题，则其中必可找出任意两人间只讨论其中一个方向的课题，则其中必可找出3位学者，他们之间讨论的是同一方向的课题。即位学者，他们之间讨论的是同一方向的课题。即r(3,3,3)=17（例（例3）（交换座位）（交换座位奇偶数校验）奇偶数校验）n（问题的提出）一位老师正在上英语课，教室里共（问题的提出）一位老师正在上英语课，教室里共有九排座位，每排有有九排座位，每排有7把椅子，座位上坐满了学生。把椅子，座位上坐满了学生。为了增加口语练习机会，老师要求学生变换一下座为了增加口语练习机会，老师要求学生变换一下座位，但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在原位，但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在原先座位的前后左右先座位的前后左右4个座位之一上，问学生应当怎个座位之一上，问学生应当怎样交换座位？样交换座位？n（解答）这一问题是无解的，教室里共有（解答）这一问题是无解的，教室里共有63个座个座位，如果你给座位编一下号（要连续编号），你会位，如果你给座位编一下号（要连续编号），你会发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必定坐在偶发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必定坐在偶数位上，反之，原先坐在偶数位的同学交换后必定数位上，反之，原先坐在偶数位的同学交换后必定坐在奇数位上，但奇数位椅子和偶数位椅子数量坐在奇数位上，但奇数位椅子和偶数位椅子数量不一样，所以无法交换。不一样，所以无法交换。（例（例4）拟将一批尺寸为拟将一批尺寸为124的的商品装入尺寸为的的商品装入尺寸为666的正方体包装箱中，问是否存在一种装法，使装的正方体包装箱中，问是否存在一种装法，使装入的该商品正好充满包装箱。入的该商品正好充满包装箱。解解 将正方体剖分成将正方体剖分成27个个222的小正方体，并的小正方体，并 按下图所示黑白相间地染色。按下图所示黑白相间地染色。再将每一再将每一222的小正方体剖分成的小正方体剖分成111的的小正方体。小正方体。易见，易见，27个个222的正方体中，有的正方体中，有14个是黑个是黑的，的，13个是白的（或个是白的（或13黑黑14白），故经两次剖白），故经两次剖分，共计有分，共计有112个个111的黑色小正方体和的黑色小正方体和104个个111的白色小正方体。的白色小正方体。虽然包装箱的体积恰好是商品体积的虽然包装箱的体积恰好是商品体积的27倍，但倍，但容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占据据4个黑色和个黑色和4个白色的个白色的111小正方体的位置，小正方体的位置，故商品不可能充满包装箱。故商品不可能充满包装箱。圆周率是人类获得的最古老的数学概念之圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约一，早在大约3700年前（即公元前年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已经在年左右）的古埃及人就已经在 用用256/81（约（约3.1605）作为）作为的近似值了。的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求几千年来，人们一直没有停止过求的努力。的努力。（从阿基米德到祖冲之，最后到39位，1630）（计算能力（计算能力）的计算的计算 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有在微积分中我们学过泰勒级数，其中有当当 在中学数学中证明过下面的等式在中学数学中证明过下面的等式左边三个正方形左边三个正方形组成的矩形中，组成的矩形中，由由 和和 可得可得 和和 的展的展开式的收敛速度都比开式的收敛速度都比 快得多快得多ACBD 麦琴麦琴(Machin)给出给出(Machin公式公式)记记 ，得，得此式求得了此式求得了的第的第100位小数且全部正确位小数且全部正确 还有许多其它公式，例如还有许多其它公式，例如 n/4=4arctan1/5-arctan1/70+arctan1/99n/4=2arctan1/3+arctan1/7n/4=arctan1/2+arctan1/5+arctan1/8n/4=22arctan1/28+2arctan1/443-5arctan1/1393-10arctan1/11018要求学生会建模必须让他们掌握建模基本技巧要求学生会建模必须让他们掌握建模基本技巧n在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验方法（数据处理）、量纲分析、比例关系的利方法（数据处理）、量纲分析、比例关系的利用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布参数法、工程师原则、统计筹算率等参数法、工程师原则、统计筹算率等n基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：从人口模型到多种群生态系统模型从人口模型到多种群生态系统模型 建模基本技巧的掌握建模基本技巧的掌握（三种基本的双种群模型说明）（三种基本的双种群模型说明）从从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米简化模型，设竞争系统的方程为：简化模型，设竞争系统的方程为：其中其中不为不为0，否则为，否则为Logistic模型模型。一般可取一般可取，但所用方法可适用于一般情况。，但所用方法可适用于一般情况。（竞争排斥原理）若（竞争排斥原理）若K1K2，则对任一初状态，则对任一初状态（x1(0),x2(0)），当），当t+时，总有（时，总有（x1(t),x2(t)）（K1,0），即物种），即物种2将绝灭，而物种将绝灭，而物种1则趋于环境允许承担的则趋于环境允许承担的最大总量。最大总量。定理定理4作直线作直线l1:x1+x2=K1及及l2:x1+x2=K2，K1 K2，见图见图3-26。dx1/dt0dx2/dt0dx2/dt0dx1/dt0dx2/dt0有以下几个引理有以下几个引理:引理引理1 若初始点位于区域若初始点位于区域I中，则解中，则解 （x1(t)、x2(t)）从某一时刻）从某一时刻起起 必开此区域而进入区域必开此区域而进入区域II 引理引理2 若初始点（若初始点（x1(0)、x2(0)）位）位于于 区域区域II中，则（中，则（x1(t)，x2(t)）始）始 终位于终位于II中，且：中，且：引理引理3 若初始点位于区域若初始点位于区域III中中,且对且对于于 任意任意t，（，（x1(t)，x2(t)）仍）仍位于位于 III中，则当中，则当t+时，时，（x1(t)，x2(t)）必以（）必以（K1,0）为极限）为极限点。点。由引理由引理1和引理和引理2，初始点位于像限，初始点位于像限I和和II的解必趋于的解必趋于平衡点（平衡点（K1,0）。由引理）。由引理3，初始点位于，初始点位于III且（且（x1(t)，x2(t)）始终位于）始终位于III中的解最终必趋于平衡点（中的解最终必趋于平衡点（K1,0），），而在某时刻进入区域而在某时刻进入区域II的解由引理最终也必趋于（的解由引理最终也必趋于（K1,0）。）。易见只有上述三种可能，而在三种可能情况下（易见只有上述三种可能，而在三种可能情况下（x1(t)，x2(t)）均以（）均以（K1,0）为极限，定理得证。）为极限，定理得证。定理定理4的证明：的证明：（一个建模实例）（信息的度量及应用）（一个建模实例）（信息的度量及应用）n现代社会离不开信息，一条消息究竟包含了多少信现代社会离不开信息，一条消息究竟包含了多少信息，怎样计算信息量的大小呢？就像不解决温度的息，怎样计算信息量的大小呢？就像不解决温度的度量就不可能建立起热力学一样，不解决信息量的度量就不可能建立起热力学一样，不解决信息量的度量问题就不可能建立起信息论科学。获取有用的度量问题就不可能建立起信息论科学。获取有用的信息应当有助于我们对某一问题的了解，这就是说，信息应当有助于我们对某一问题的了解，这就是说，获取信息是为了消除不确定性，对于我们已经了解获取信息是为了消除不确定性，对于我们已经了解的事情，没有必要再去获取什么信息。基于这一想的事情，没有必要再去获取什么信息。基于这一想法，美国贝尔实验室的香农采用了多少有点像欧几法，美国贝尔实验室的香农采用了多少有点像欧几里得创建平面几何那样的方法，利用逻辑推理方法里得创建平面几何那样的方法，利用逻辑推理方法解决了信息的度量问题。首先，他在严密分析的基解决了信息的度量问题。首先，他在严密分析的基础上提出了几条不加证明而采用的公理，进而，他础上提出了几条不加证明而采用的公理，进而，他在这些公理的基础上运用数学知识推导出了计算信在这些公理的基础上运用数学知识推导出了计算信息量大小的公式。他的具体做法如下：息量大小的公式。他的具体做法如下：n（几条公理）（几条公理）（1）信息量是该事件发生概率的连续函数）信息量是该事件发生概率的连续函数（2）如果事件）如果事件A发生必有事件发生必有事件B发生，则得知发生，则得知事件事件A发生的信息量大于或等于得知事件发生的信息量大于或等于得知事件B发发生的信息量。生的信息量。（3）如果事件）如果事件A和事件和事件B的发生是相互独立的，的发生是相互独立的，则获知则获知A、B事件将同时发生的信息量应为单事件将同时发生的信息量应为单独获知两事件发生的信息量之和。独获知两事件发生的信息量之和。（4）任何信息的信息量均是有限的）任何信息的信息量均是有限的定理定理 满足公理满足公理1公理公理4的信息量计算公式为的信息量计算公式为I(M)=Clogap，其中，其中C是任意正常数，对数之底是任意正常数，对数之底a可取任意为不为可取任意为不为1的正的正实数。实数。证明证明:由公理由公理1 I(M)=f(p)，函数，函数f连续连续。由公理由公理2 若若A发生必有发生必有B发生，则发生，则pApB，有有f(pA)f(PB)，故函数，故函数f是单调不增的是单调不增的。由公理由公理3 若若A、B是两个独立事件，则是两个独立事件，则A、B同时发生同时发生 的概率为的概率为pApB，有，有f(PAPB)=f(pA)+f(pB)。先作变量替换先作变量替换 令令p=a-q，即，即q=logaP 记记 ，又，又 有：有：，g亦为连续函数亦为连续函数。g(x+y)=g(x)+g(y)的连续函数有怎样的性质的连续函数有怎样的性质 首先，由首先，由g(0)=g(0+0)=2g(0)得出得出g(0)=0或或g(0)=。但由公理但由公理4，后式不能成立，故必有，后式不能成立，故必有g(0)=0。记记g(1)=C，容易求得，容易求得g(2)=2C,g(3)=3C,一般地，一般地，有有g(n)=nC。进而。进而 ，可得，可得 。于是对一切正有理数于是对一切正有理数 m/n，g(m/n)=(m/n)C。由由连续性连续性可知：对一切非负实数可知：对一切非负实数x，有，有g(x)=Cx 当当x取负实数时，由取负实数时，由g(x)+g(x)=g(0)=0，可得，可得出出g(x)=g(x)=cx也成立，从而也成立，从而对一切实数对一切实数x，g(x)=Cx,故故g(q)=Cq。现作逆变换现作逆变换q=logap，得得I(M)=f(P)=ClogaP （11.3）证毕证毕。平均信息量（数学期望平均信息量（数学期望-熵）问题熵）问题 设某一实验可能有设某一实验可能有N种结果，它们出现的概率分别为种结果，它们出现的概率分别为p1,pN,则则事先告诉你将出现第事先告诉你将出现第i种结果的信息，其信息量为种结果的信息，其信息量为log2pi，而该，而该实验的不确定性则可用这组信息的平均信息量（或熵）实验的不确定性则可用这组信息的平均信息量（或熵）来表示来表示例如例如投掷一枚骼子的结果有六种，即出现投掷一枚骼子的结果有六种，即出现16点、出现每点、出现每 种情况的概率均为种情况的概率均为1/6，故熵，故熵 H=log262.585（比特）。（比特）。投掷一枚硬币的结果为正、反面两种，出现的概率均为投掷一枚硬币的结果为正、反面两种，出现的概率均为1/2，故熵，故熵 H=log22=1（比特）。（比特）。向石块上猛摔一只鸡蛋，其结果必然是将鸡蛋摔破，向石块上猛摔一只鸡蛋，其结果必然是将鸡蛋摔破，出现的概率为出现的概率为1，故熵，故熵H=log21=0 从例子可以看出，熵实质上反映的是问题的从例子可以看出，熵实质上反映的是问题的“模糊度模糊度”，熵为零，熵为零时问题是完全清楚的，熵越大则问题的模糊程度也越大时问题是完全清楚的，熵越大则问题的模糊程度也越大 定理定理 若实验仅有有限结果若实验仅有有限结果S1,Sn，其发生的概率分别为，其发生的概率分别为 P1,Pn，则当，则当 时，此实验具有最大熵。时，此实验具有最大熵。v建立信息度量公式有什么用处呢？下面我建立信息度量公式有什么用处呢？下面我们来举一个简单的例子加以说明。为了研究们来举一个简单的例子加以说明。为了研究某一现象，我们有时候需要做一些实验，做某一现象，我们有时候需要做一些实验，做实验是为了获取信息。实验可以有不同的设实验是为了获取信息。实验可以有不同的设计方法，设计的方法不同，每次试验能提供计方法，设计的方法不同，每次试验能提供的信息量也会不同，为了少做实验节省经费的信息量也会不同，为了少做实验节省经费和时间，我们总希望每次实验能提供尽可能和时间，我们总希望每次实验能提供尽可能多的信息，怎样设计实验才能达到这一目的多的信息，怎样设计实验才能达到这一目的呢？呢？下面，我们来考察一个简单的群试实例。下面，我们来考察一个简单的群试实例。（一个实例）（一个实例）有有12个外表相同的硬币，已知其中有一个是个外表相同的硬币，已知其中有一个是假的，可能轻些也可能重些。现要求用没有砝码的天平在最少假的，可能轻些也可能重些。现要求用没有砝码的天平在最少次数中找出假币，问应当怎样称法。次数中找出假币，问应当怎样称法。解解 假币可轻可重，每枚硬币都可能是假币。故此问题共有假币可轻可重，每枚硬币都可能是假币。故此问题共有 24种情况，每种情况的概率为种情况，每种情况的概率为1/24。所以此问题的熵为。所以此问题的熵为log224。（1）确定最少次数的下界）确定最少次数的下界实验最多可能出现实验最多可能出现三种结果三种结果，根据定理根据定理11.3，这种实验在可，这种实验在可能出现的各种事件具有相等的概率时，所提供的平均信息量能出现的各种事件具有相等的概率时，所提供的平均信息量最大，故实验提供的平均信息量不超过最大，故实验提供的平均信息量不超过log23。设最少需称设最少需称k次，则这次，则这k次实验提供的总信息量次实验提供的总信息量 不超过不超过klog23=log23k，又问题的模糊度（熵）为又问题的模糊度（熵）为log224 必要条件必要条件:log23klog224，得，得 k3。称三次足够了吗？（实验的设计）称三次足够了吗？（实验的设计）实验方法：实验方法：使每次实验使每次实验提供尽可能大的平均信息量。提供尽可能大的平均信息量。第一次第一次：将：将12枚硬币平分成三堆，取两堆称，出现两中情况枚硬币平分成三堆，取两堆称，出现两中情况 情况情况1 两堆重量相等两堆重量相等假币在未秤的假币在未秤的4枚中。任取其中的枚中。任取其中的3枚加上从已秤过的枚加上从已秤过的8枚中任取的枚中任取的1枚，平分成两堆称。出现两种情况枚，平分成两堆称。出现两种情况 情况情况1.1 两堆重量相等两堆重量相等最后剩下的一枚是假币最后剩下的一枚是假币,再再称一次知其比真币轻还是重。称一次知其比真币轻还是重。情况情况1.2 两堆重量不相等两堆重量不相等设右重左轻，并设真币在左边，设右重左轻，并设真币在左边，若假币在右边，则比真币重，若若假币在右边，则比真币重，若在左边，则轻。取右边两个称在左边，则轻。取右边两个称。情况情况2 两堆重量不相等两堆重量不相等设右边较重设右边较重。先从左边取出两枚，再将右边的取两枚。先从左边取出两枚，再将右边的取两枚放到左边，将原来左边的两枚中取出一枚放于右边放到左边，将原来左边的两枚中取出一枚放于右边 情况情况2.1 两堆重量相等两堆重量相等取出的两枚中轻的为假币，取出的两枚中轻的为假币，再称一次即可找出假币。再称一次即可找出假币。情况情况2.2 两堆重量不相等两堆重量不相等若右边较重，则假币在右边原来若右边较重，则假币在右边原来的两枚及左边未动过的一枚中的两枚及左边未动过的一枚中（若为前者，则假币偏重；若为（若为前者，则假币偏重；若为后者，则假币偏轻），于是再称后者，则假币偏轻），于是再称一次即可找出假币。若第二次称一次即可找出假币。若第二次称时左边较重，则假币必在交换位时左边较重，则假币必在交换位置的三枚中，可类似区分真伪置的三枚中，可类似区分真伪。三次是最少次数！（信息论是有用的！）三次是最少次数！（信息论是有用的！）此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢