实验3一元函数图形的绘制.ppt
实验实验3 3 一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制内容提要内容提要现在计算机数学都具有良好的作图功能现在计算机数学都具有良好的作图功能,对于一元对于一元显式函数显式函数,只要输入函数的表达式只要输入函数的表达式,并键入简单的并键入简单的作图命令作图命令,计算机的显示屏上就会出现所求作函数计算机的显示屏上就会出现所求作函数的图形的图形.不管函数的表达式多么复杂，其图形都能不管函数的表达式多么复杂，其图形都能被迅速的显示出来。与传统的手工描点作图法和被迅速的显示出来。与传统的手工描点作图法和分析作图法比较，计算机的作图的优越性是快速、分析作图法比较，计算机的作图的优越性是快速、准确。因此，读者应学会如何使用诸如准确。因此，读者应学会如何使用诸如M M M Mathematicaathematica这样的软件来制作函数图形。这样的软件来制作函数图形。一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制但是应该指出，如果脱离了微分的知识而但是应该指出，如果脱离了微分的知识而单纯的依赖计算机作图，也往往不能获得单纯的依赖计算机作图，也往往不能获得理想的函数图形。这是因为在一定的条件理想的函数图形。这是因为在一定的条件下，由于计算机的显示的局限性，它描绘下，由于计算机的显示的局限性，它描绘出来的图形往往会出来的图形往往会“丢失丢失”一些重要特征，一些重要特征，出现出现“失真失真”的现象。在实验中，我们将的现象。在实验中，我们将结合具体的函数（例结合具体的函数（例2 2）来说明这一问题以）来说明这一问题以及相应的处理方法，从中我们可以看到微及相应的处理方法，从中我们可以看到微积分知识与计算机的相互作用。积分知识与计算机的相互作用。一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制实验步骤实验步骤我们采用软件，先键入函数我们采用软件，先键入函数y=fy=f（x x）的具体表达）的具体表达式，然后利用作图命令，并选定自变量式，然后利用作图命令，并选定自变量x x与因变与因变量量y y的取值范围（一般可由系统默认），计算机的取值范围（一般可由系统默认），计算机执行后就在显示屏上出现函数执行后就在显示屏上出现函数y=fy=f（x x）的图形。）的图形。例例1 1绘出函数绘出函数y=y=的图形，并由此观察的最大值的图形，并由此观察的最大值的近似值。的近似值。解（解（1 1）定义函数，先键入）定义函数，先键入:一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制并运行，不妨先在区间并运行，不妨先在区间00，1010上作出上作出f f（x x）=的图形并取的图形并取f f（x x）纵坐标的显示范围为）纵坐标的显示范围为00，22，为方便观察，我们加上网格线，键入为方便观察，我们加上网格线，键入:运行后，就得到运行后，就得到f(x)f(x)的图形，易见当的图形，易见当x4x4后图形呈后图形呈下降趋势，并在下降趋势，并在2,42,4间内有间内有f(x)f(x)一极大值一极大值(即为即为f(x)f(x)的最大值的最大值)，该区间内有函数值在之间，且最，该区间内有函数值在之间，且最小值在该区间端点取到即为小值在该区间端点取到即为minf(2),f(4),minf(2),f(4),通过通过键入键入:一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制并运行可得并运行可得1.414,1.414,即函数即函数f(x)f(x)最大值在之间最大值在之间.(2)(2)为了较精确地观察出为了较精确地观察出f(x)f(x)的最大值的最大值,在区间在区间2,42,4上作上作出的图形并取纵坐标显示范围为出的图形并取纵坐标显示范围为1.414,1.5,1.414,1.5,键入键入:一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制运行后运行后,从图从图1212中可见的最小值约为之间中可见的最小值约为之间,且明显且明显靠近靠近1.44,1.44,因此我们取因此我们取1.44.1.44.一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制例例2 2 绘出函数绘出函数f(x)=2xf(x)=2x6 6+3x+3x5 5+3x+3x3 3-2x-2x2 2的图形的图形.解解(1)(1)我们不妨先我们不妨先f(x)f(x)的自变量显示范围设为的自变量显示范围设为-5,5,5,5,这时这时MathematicaMathematica将自动选择相应将自动选择相应y y的显示范的显示范围约为围约为-100,2100(-100,2100(如图如图13)(13)(注意在不同的软件注意在不同的软件下下y y的显示范围将是不同的的显示范围将是不同的,既使同在既使同在MathematicaMathematica下下,有时也会的不同的显示范围有时也会的不同的显示范围),),这时图中的曲线这时图中的曲线差不多是差不多是y=f(x)y=f(x)图形的图形的”全貌全貌”,”,它与它与y=f(x)y=f(x)的图的图形很相似形很相似.我们看到大约在我们看到大约在-2-2的范围内的图形近的范围内的图形近乎是乎是”直线段直线段”,”,但这并不是曲线但这并不是曲线y=f(x)y=f(x)的真实写的真实写照照.一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制(2)(2)现在我们将自变量的显示范围调整为现在我们将自变量的显示范围调整为，,相应的的自动选择范围约，相应的的自动选择范围约，为为,就获得如图所示的（）的图形就获得如图所示的（）的图形,看看出大约在出大约在.出函数有一个极小值出函数有一个极小值(也就也就示函数的最小值示函数的最小值)并且函数在（并且函数在（，），）单调减少单调减少,在内（，在内（，）单调增加）单调增加,同同时我们发现在时我们发现在x=x=与的附近，曲线的凸与的附近，曲线的凸向似乎有所改变总之，在图显示的直线段向似乎有所改变总之，在图显示的直线段内被埋没了许多重要的信息，然而，从图中内被埋没了许多重要的信息，然而，从图中获得的这些印象是否属实呢？获得的这些印象是否属实呢？一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制为了证实这种印象，我们求出为了证实这种印象，我们求出（）（）5 54 42 2（）（）4 43 32 21 1分别在，及作出（）的图形，分别在，及作出（）的图形，借助图形（图（）（），并通过标尺借助图形（图（）（），并通过标尺可看到当，时，可看到当，时，（）（）一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制也就证实也就证实f f（x x）了在（）了在（，.）内单调减）内单调减少的；同时纠正了（）在（少的；同时纠正了（）在（.，）内，）内单调减少的错误印象，实际情况是（）在单调减少的错误印象，实际情况是（）在（，.）几（，）几（，.）内单调减）内单调减少，在（少，在（.，）及（，）及（.,）内单）内单调增加。调增加。2 2再在，作出（）的图形借助再在，作出（）的图形借助图形（图），我们发现，当图形（图），我们发现，当.及及=.一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制这就证实了图形在这就证实了图形在=.及及=.处各有一个拐点，处各有一个拐点，并且在（并且在（，.）及（）及（.，）内是向下凸）内是向下凸的，在（的，在（.,.）是向上凸的）是向上凸的一元函数图形的绘制一元函数图形的绘制（）我们利用了函数微分的有关知识找出了这（）我们利用了函数微分的有关知识找出了这些关键点，它们是极值点些关键点，它们是极值点=.、=,=.及拐点对应得横坐标及拐点对应得横坐标=.,=.，又为了清楚得反映函数图形在这些点附近，又为了清楚得反映函数图形在这些点附近的走势，设定自变量显示范围为的走势，设定自变量显示范围为.，.，这时显示的图形才反映了函数，这时显示的图形才反映了函数f f（）（）在这部分在这部分2 2曲线的真实面貌。如有必要可将图曲线的真实面貌。如有必要可将图1313、图图1414与图与图1717打印出来，成为由全貌至局部的一组打印出来，成为由全貌至局部的一组图形。图形。由此可见，通过人与机器的相互作用，在微分理由此可见，通过人与机器的相互作用，在微分理论的指导下运用计算机研究函数图形，才能作到论的指导下运用计算机研究函数图形，才能作到真正便捷与准确。真正便捷与准确。
