简谐振动平面简谐波.ppt

简谐振动 平面简谐波 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望机械振动：机械振动：物体位置在某一值附近来回往复的变化。物体位置在某一值附近来回往复的变化。广义振动：广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动物理量。该物理量的运动形式称振动物理量。第四章第四章 振振 动动 因为振动是声学、地震学、建筑力学等必须的基础知识，因为振动是声学、地震学、建筑力学等必须的基础知识，自然界中还有许多现象，如交变电流、自然界中还有许多现象，如交变电流、交变的电磁场等，交变的电磁场等，都属于广义的振动现象。这些运动的本质虽然并非机械运动，都属于广义的振动现象。这些运动的本质虽然并非机械运动，但运动规律的数学描述却与机械振动类似。因此，但运动规律的数学描述却与机械振动类似。因此，机械振机械振动的研究也为光学、电学、动的研究也为光学、电学、交流电工学、无线电技术等打交流电工学、无线电技术等打下了一定的基础。下了一定的基础。学习机械振动的意义学习机械振动的意义任何一种复杂的机械振动都可以看成多个简谐振动的叠加。任何一种复杂的机械振动都可以看成多个简谐振动的叠加。4.1.1简谐振动方程)cos(+=tAxxoxo4.1 简谐振动及其描述简谐振动及其描述 物体位移随时间按余弦函数（或正弦函数）规律物体位移随时间按余弦函数（或正弦函数）规律变化的运动称为简谐振动。变化的运动称为简谐振动。（4.1）T 0 0 0a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速xotx、a2.加速度A-A 2A-2Aa A-A 1.速度速度、加速度均是作速度、加速度均是作谐振动的物理量。频谐振动的物理量。频率相同，均为率相同，均为v比比x领先领先/2，a 与与x相差相差 （4.2）（4.3）4.1.2简谐振动的特征量圆频率圆频率初位相初位相周期周期T简谐振动的特征参量简谐振动的特征参量.振幅振幅频率频率v 特点(1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T)cos(+=tAxxo（4.4）（4.1）4.1.3 简谐振动的描述方法由 x=Acos(t+)已知表达式 A、T、已知A、T、表达式2 振动曲线法振动曲线法1 解析法解析法已知 A、T、曲线已知曲线 A、T、oxmt=0,x0=0A-Aotx =/2Tt(s)x(m)00.020.51.0o3 3 旋转矢量法旋转矢量法x对应矢量对应矢量 端点的投影端点的投影,因此，可用一个旋转因此，可用一个旋转矢量来描述简谐振动。矢量来描述简谐振动。它以角速度它以角速度 ，从初始角，从初始角 出发绕原点匀速旋出发绕原点匀速旋转。转。是模为是模为 A，与，与X轴夹角为轴夹角为 的矢量。的矢量。v0,矢量矢量 在三，四象限，在三，四象限，v0,矢量矢量 在一，四象限，在一，四象限，x0,矢量矢量 在二，三象限；在二，三象限；如如 文字叙述说文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点时刻弹簧振子质点 在正的端点在正的端点旋矢与轴夹角为零旋矢与轴夹角为零 质点经二分之一振幅处质点经二分之一振幅处向负方向运动向负方向运动意味意味意味意味1）直观地表达振动状态直观地表达振动状态优点优点用图代替了文字的叙述用图代替了文字的叙述相位差相位差 对两同频率的谐振动 初相差初相差 同相和反相同相和反相当 =2k,两振动步调相同,称同相；(k=0,1,2,),当 =(2k+1),(k=0,1,2,),两振动步调相反,称反相。2）方便地方便地比较振动步调比较振动步调（4.5）A1-A1A2-A2x1x2T同相同相x2TA1-A1A2-A2x1xot反相反相oxA1A2oxA1A2xotxA1A2o 超超 前前 和和 落落后后 则 x2比x1较早达到正最大,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。领先、落后以0 xx1ToA1-A1A2-A2x2t3）方便计算）方便计算.用熟悉的圆周运动代替三角函用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算数的运算例1:已知振动曲线,求此简谐振动的表达式x(cm)ot(s)-12-22解:设简谐振动的表达式为由初始条件t=0时，x0=-1可求初相由于t=2时，x=-2,于负最大位移处xot=2若将振动曲线纵坐标改成速度v,求此简谐振动的表达式ot(s)-12-22v(cm/s)解:设简谐振动的表达式为由于由初始条件t=0时，v0=-1t=2时，v0=-2=-vm,于平衡位置处xot=0t=24.2 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程1.作简谐运动的加速度对于平衡位置的位移的关系作简谐运动的加速度对于平衡位置的位移的关系根据牛顿第二定律,恢复力.例 弹簧振子弹簧振子)cos(+=tAx解得：（4.6）（4.10）（4.9）（4.8）（4.9）2.简谐振动特征参量的确定简谐振动特征参量的确定由系统本身的结构确定。由初始条件确定。例4.2 已知弹簧的倔强系数 ，物体的质量为 。在初始时刻将物体从平衡位置向下拉 0.05m ，给予向下的速度 。写出此微小振动的表达式。解：解：设静止时弹簧的伸长量为b，物体所受重力与弹性力平衡（4.12）x取平衡位置为坐标原点，向下为正，则在任一位置，合外力F=mg-k(b+x)其中b为平衡时弹簧的伸长量，b=mg/k,x是对于平衡位置的位移.F=-kxob 简谐振动表达式为 例4.3单摆？co复摆复摆试问：（2）单摆绕悬点转动的角速度是否为简谐振动的圆频率？初始初始时时刻刻选择选择不同，初相不同，初相值值就不同；就不同；另外，另外，单摆单摆作作简谐简谐振振动动是角位移。是角位移。单摆绕悬单摆绕悬点点转动转动的角速度等于的角速度等于而而简谐简谐振振动动的的圆频圆频率率可可见见，单摆绕悬单摆绕悬点点转动转动的角速度是不是的角速度是不是简谐简谐振振动动的的圆频圆频率。率。如果把一个单摆拉开一个小角度,然后放开让其自由摆动。（1）此是否即为初位相？答：初相是指时刻的位相，并不是初位相。自由摆动，此因此，把一个单摆位开一个小角度，然后放开让其4.3 简谐振动的能量简谐振动的能量以弹簧振子为例xtTEEpo(1/2)kA2Ek（4.13）（4.14）（4.15）xtTEEpo(1/2)kA2Ek 这些结论同样适用于任何简谐振动。这些结论同样适用于任何简谐振动。*振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。*任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比.*弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半.结论：MkT1T2RmmgXO例例44 如图所示，轻弹簧一端固定，另一端与物体m间用细绳相连，细绳跨于桌边定滑轮M上，m悬于细绳下端已知弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量I，半径R将物体m用手托起,再突然放手，任物体m下落而整个系统进入振动状态设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承无摩擦，试证物体m是做简谐振动。解解；以物体平衡位置为原点，取向下的方向为正，定滑轮角速度为当物体下落x时，弹簧拉长为（x0+x），物体运动速度为取弹簧原长处为弹性势能零点，物体平衡位置为重力势能零点，则系统的总能量为由于机械能守恒，所以总能量E是常量，上式对时间求导，得由于 v 0，利用平衡量位置处,化简上式得可知：物体做简谐振动且振动圆频率为 取弹簧原长处为弹性势能零点，物体平衡位置为重力势能零点，则系统的总能量为另解：另解：静平衡时静平衡时滑轮滑轮联立以上各式可得联立以上各式可得物体物体(x 处处)MkT1T2RmmgXO例 如图所示，根据给定的条件（1）写出谐振子的振动方程 （2）求出x=A/2处系统的动能和势能M解 碰后一起运动的速度为v0设0),cos(0+=tAx任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？弹簧振子的振动周期将变大还是变小？讨论讨论变大变大变小变小参考解答：因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大参考解答：因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大则周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振则周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的周期肯定会变大。子的周期肯定会变大。若振子的质量为若振子的质量为M，弹簧的质量为，弹簧的质量为m，弹簧的劲度系数为，弹簧的劲度系数为k，可以计算，可以计算出，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为出，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为解：平衡时解：平衡时0 点为坐标原点。物体运动到点为坐标原点。物体运动到x 处时，处时，速度为速度为v.设此时弹簧的长度为设此时弹簧的长度为L,速度为：速度为：弹簧、物体的动能分别为：弹簧、物体的动能分别为：前提前提:弹簧各等长小段变形相同，位移是线性规律弹簧各等长小段变形相同，位移是线性规律弹簧元弹簧元dl的质量的质量位移为位移为xxM0dll例：劲度系数为例：劲度系数为k、质量为质量为m 的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M 的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。(m M )系统弹性势能系统弹性势能为为系统机械能守恒，有系统机械能守恒，有常数常数常数常数将上式对时间求导，整理后可得将上式对时间求导，整理后可得因此，弹簧因此，弹簧质量小于物体质质量小于物体质量，且系统作微量，且系统作微运动时，弹簧振运动时，弹簧振子的运动可视为子的运动可视为是简谐运动。是简谐运动。4.4 简谐振动的合成简谐振动的合成4.4.1 同一直线上同一直线上 同频率简谐振动的合成同频率简谐振动的合成合振动仍然是同频率的简谐振动合振动仍然是同频率的简谐振动)(cos 2122122212+=AAAAA（4.18）（4.16）（4.17）两种特殊情况(1)若 两 分 振 动 同 相，2 1=2k (k=0,1,2,)(2)若两分振动反相，2 1=(2k+1)(k=0,1,2,)如 A1=A2,则 A=0则A=A1+A2,两分振动合成的结果是振动加强则A=|A1-A2|,两分振动合成的结果是振动减弱一般情况：两个振动的位相差，对合成振动起着重要的作用，两个振动的位相差，对合成振动起着重要的作用，这种现象在波的干涉与衍射中具有特殊的意义这种现象在波的干涉与衍射中具有特殊的意义 例例已知求它们的合振动的振幅和位相。求它们的合振动的振幅和位相。解解:作出作出t=0的旋转矢量图的旋转矢量图.t=0 xoA1AA2例例.两个同方向同频率简谐振动两个同方向同频率简谐振动,其合振动的振幅为其合振动的振幅为20cm,与与第一个简谐振动的位相差为第一个简谐振动的位相差为 -1=/6.若第一个简谐振若第一个简谐振动的振幅为动的振幅为 17.3cm,则第二个简谐振动的振幅为则第二个简谐振动的振幅为 cm,第一第一.二两个简谐动的位相差二两个简谐动的位相差 1-2 为为 。10A1A2A2017.3/6-/2解解:由余弦定理可得由余弦定理可得或由正弦定理可得或由正弦定理可得满足满足ox 合振动仍然是同频率的简谐振动 多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的意义多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的意义4.4.2 多个同方向同频率简谐振动的合成多个同方向同频率简谐振动的合成合振幅 初位相 其中式中表示分振动个数。旋转矢量合成的图解法（4.19）（4.20）例：例：三个同频率三个同频率 同振幅同振幅A A0 0 同方向的同方向的简谐振简谐振动，动，相邻相位差为相邻相位差为 /3/3解：画旋矢图解：画旋矢图/3/3/3/3由图很容易得到由图很容易得到 A=2A0求：合振动方程。求：合振动方程。4.4.3.同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率 1和和 2很接近，且很接近，且两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得：合振动可视为合振动可视为角频率为角频率为随时间变化很慢可随时间变化很慢可看作合振动的振幅看作合振动的振幅随时间变化较快可随时间变化较快可看作作谐振动的部分看作作谐振动的部分振幅为振幅为的简谐振动。的简谐振动。由于振幅总是正值，而余弦函数的绝对值以由于振幅总是正值，而余弦函数的绝对值以 为周期，因而为周期，因而振幅变化的周期振幅变化的周期 可由可由振幅变化的频率即拍频振幅变化的频率即拍频同一直线上，不同频率简谐振动合成同一直线上，不同频率简谐振动合成 拍拍旋转矢量旋转矢量几何法分析几何法分析重合：重合：反向：反向：oxA,拍频拍频:单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|561单位时间内单位时间内A2比比A1多转多转 2-1圈，也就是合圈，也就是合振动时加强时减弱（频率为振动时加强时减弱（频率为 2-1）的拍现象。）的拍现象。从视觉从视觉听听觉觉再次感觉拍现象再次感觉拍现象两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成4.4.4 相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成(1)(1)2-1=0,0,两个分振动同相位，得两个分振动同相位，得(2)(2)2-1=p,两个分运动反相位，得两个分运动反相位，得几种特殊情况：几种特殊情况：（4.22）合合运运动动一一般般是是在在2A1 (x 向向)、2A2 2(y 向向)范范围围内内的一个椭圆。的一个椭圆。(3)(3)2-1=p/2，得，得(4)(4)2-1=3p/2，仍然得，仍然得这是坐标轴为主轴的椭圆，这是坐标轴为主轴的椭圆，质点的轨迹是顺时针旋转。质点的轨迹是顺时针旋转。与与(3)(3)相同，只是质点的轨相同，只是质点的轨迹沿逆时针旋转。迹沿逆时针旋转。质点沿顺时针方向运动；质点沿逆时针方向运动。综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。方向垂直的不同频率的简谐振动的合成方向垂直的不同频率的简谐振动的合成两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小可可看看作作两两频频率率相相等等而而D D 随随t 缓缓慢慢变变化化，合合运运动轨迹将按上页图依次缓慢变化动轨迹将按上页图依次缓慢变化.用李萨如图形在无线电用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：技术中可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。条件:位相差恒定，频率成简单整数比。合成结果合成结果：李萨如图形李萨如图形。4.5.1 阻尼振动阻尼振动4.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振令：令：方程的解方程的解:称称 为振动系统的固有圆频率，称为振动系统的固有圆频率，称 为阻尼系数为阻尼系数(1)欠阻尼欠阻尼（4.23）（4.24）（4.25）（4.26）欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼（3）如果如果 方程的解：方程的解：方程的解:过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼方程的解方程的解:(1)欠阻尼欠阻尼（4.26）临界阻尼临界阻尼:生产和技术中可根据需要生产和技术中可根据需要,用不同办法改变阻用不同办法改变阻尼大小以控制系统的振动情况尼大小以控制系统的振动情况灵敏电流计内灵敏电流计内:表头中的指针和通电线圈相连表头中的指针和通电线圈相连,它在磁场中运它在磁场中运动动,受到电磁阻尼的作用受到电磁阻尼的作用;若电磁阻尼过小或过大若电磁阻尼过小或过大,会使指针会使指针摆动不停或到达平衡点时间过长摆动不停或到达平衡点时间过长,而不利于测量读数而不利于测量读数,所以必所以必须调整电路的电阻须调整电路的电阻,使电表工作在临界阻尼状态使电表工作在临界阻尼状态.类似情况在使用精密天平时也会遇到类似情况在使用精密天平时也会遇到;一般加有阻尼一般加有阻尼气垫气垫,以防止长时间摆动以防止长时间摆动,因而节约时间因而节约时间,便于快速读数便于快速读数机器装有避震器机器装有避震器,大都采用一系列阻尼装置大都采用一系列阻尼装置,目的是使频繁目的是使频繁撞击变为缓慢振动撞击变为缓慢振动,并迅速衰减并迅速衰减,从而达到保护机件目的从而达到保护机件目的应用：电表阻尼、天平阻尼应用：电表阻尼、天平阻尼（1）谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动（二）（二）受迫振动受迫振动 共振共振设强迫力设强迫力其解为：其解为：稳态解稳态解：（4.28）（4.29）（4.30）（4.31）求振幅求振幅 对频率的极值，对频率的极值，位移共振位移共振的圆频率。的圆频率。振幅极大值：振幅极大值：（2）共振共振（4.32）（4.35）（4.36）阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大 受受迫迫振振动动速速度度在在一一定定条条件件下下发发生生共共振振的的的的现现象象称为称为速度共振速度共振。根据根据共振共振 在在阻阻尼尼很很小小的的前前提提下下，速速度度共共振振和和位位移移共共振振可以认为等同。可以认为等同。阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大共振现象共振现象1.乐器的木质琴身乐器的木质琴身利用共振现象使其成为一共鸣盒利用共振现象使其成为一共鸣盒,将乐音发送出去将乐音发送出去,以提高音以提高音响效果响效果2.收音机的调台收音机的调台(电磁共振电磁共振)调节天线长度和方位调节天线长度和方位,让接收频率等于外来信号频率让接收频率等于外来信号频率3.核磁共振核磁共振核磁共振核磁共振(MRI)又叫核磁共振成像技术。是继又叫核磁共振成像技术。是继CT后医学影像学后医学影像学的又一重大进步。自的又一重大进步。自80年代应用以来，它以极快的速度得到发年代应用以来，它以极快的速度得到发展。其基本原理：是将人体置于特殊的磁场中，用无线电射频展。其基本原理：是将人体置于特殊的磁场中，用无线电射频脉冲激发人体内氢原子核，引起氢原子核共振，并吸收能量脉冲激发人体内氢原子核，引起氢原子核共振，并吸收能量,(核磁共振成像的核磁共振成像的“核核”指的是氢原子核，因为人体的约指的是氢原子核，因为人体的约70%是由水组成的，是由水组成的，MRI即依赖水中氢原子。即依赖水中氢原子。)在停止射频脉冲后，在停止射频脉冲后，氢原子核按特定频率发出射电信号，并将吸收的能量释放出来氢原子核按特定频率发出射电信号，并将吸收的能量释放出来(取决于原子核密度、周围环境等取决于原子核密度、周围环境等)，被体外的接受器收录，经，被体外的接受器收录，经电子计算机处理获得图像，这就叫做核磁共振成像。电子计算机处理获得图像，这就叫做核磁共振成像。从核磁发现到从核磁发现到MRI技术的技术的70年时间里有关核磁共振的研究领域年时间里有关核磁共振的研究领域曾在三个领域（物理、化学、生理学或医学）内获得了曾在三个领域（物理、化学、生理学或医学）内获得了6次诺贝次诺贝尔奖，足以说明此领域及其衍生技术的重要性。尔奖，足以说明此领域及其衍生技术的重要性。共振不利的一面共振不利的一面:共振时因系统振幅过大会造成设备损坏共振时因系统振幅过大会造成设备损坏1.汽车发动机运转的频率若接近车身的固有频率汽车发动机运转的频率若接近车身的固有频率,车身产车身产生共振而可能损坏生共振而可能损坏2.部队过桥齐步走部队过桥齐步走消除有害的共振现象消除有害的共振现象1.破坏外力周期性破坏外力周期性2.改变物体频率或周期性外力频率改变物体频率或周期性外力频率3.增大系统阻尼增大系统阻尼1940年华盛顿的塔科曼年华盛顿的塔科曼大桥建成大桥建成同年同年7月的一场大风月的一场大风引起桥的共振引起桥的共振 桥被摧毁桥被摧毁谐振分析谐振分析 利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干简谐利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干简谐 振动振动的叠加的叠加(合成的逆运算）合成的逆运算）对周期性振动：对周期性振动：T 周期周期k=1 基频基频（）k=2 二次谐频二次谐频（2）k=3 三次谐频三次谐频（3）决定决定音调音调决定决定音色音色高次高次谐频谐频 x1t0 x3t0 x5t00ta0Tx0+x1+x3+x5t0Tx2n=0,n=1,2,3,方波：方波：ta0/20 x0