离散型随机变量及其概率分布.ppt
2.3 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即概率分布的性质离散型随机变量的概念离散型随机变量的概念q 非负性q 规范性 F(x)是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 pk离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数例例1 设一汽车在开往目的地的途中需经过 4 盏 信号灯，每盏信号灯独立地以概率 p 允许 汽车通过。令 X 表示首次停下时已通过的 信号灯的盏数，求 X 的概率分布与 p=0.4 时的分布函数。出发地目的地解解01234xx kpk 0 1 2 3 40.60.40.6 0.420.60.430.6 0.44当 01234xF(x)oo1ooo概率分布或分布函数可用来计算有关事件的概率例例2 在上例中，分别用概率分布与分布函数计算下述事件的概率：解解或或或此式应理解为极限对离散型随机变量用概率分布比用分布函数计算这些概率更方便或或例例3 一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须 被击中r 次才能被摧毁。若每次击中目标的 概率为p(0 p 1),且各次轰击相互独立，一次一次地轰击直到摧毁目标为止。求所需 轰击次数 X 的概率分布。解解P(X=k)=P(前 k 1次击中 r 1次，第 k 次击中目标)注利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质当归纳地令(1)0 1 分布分布X=xk 1 0Pk p 1-p0 p 1注 其分布律可写成 2.4 常见的离散型随机变量的分布常见的离散型随机变量的分布 凡是随机试验只有两个可能的结果，应用场合常用0 1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.(2)二项分布二项分布背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 X 是一离散型随机变量若P(A)=p,则称 X 服从参数为n,p 的二项分布，记作0 1 分布是 n=1 的二项分布二项分布的取值情况二项分布的取值情况设.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 0.273由图表可见,当 时，分布取得最大值此时的 称为最可能成功次数xP012345678设.01 .06.14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024681020由图表可见,当 时，分布取得最大值0.22 二项分布中最可能出现次数的定义与推导二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称 为最可能出现的次数 当(n+1)p=整数时，在 k=(n+1)p 与 (n+1)p 1 处的概率取得最大值 对固定的 n、p,P(X=k)的取值呈不对称 分布；固定 p,随着 n 的增大，其取值的分布趋于 对称 当(n+1)p 整数时，在 k=(n+1)p 处的概率取得最大值例例4 独立射击5000次，每次的命中率为0.001,求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于2 次的概率.(2)令X 表示命中次数，则 X B(5000,0.001)解解(1)k=(n+1)p =(5000+1)0.001=5 问题问题 如何计算？本例启示本例启示 小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.由此可见日常生活中“提高警惕,防火防盗”的重要性.由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，毫不奇怪.同样，人生中发生车祸、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是十分正常的,大可不必怨天尤人，更不要想不开而跳楼自杀.Possion定理定理则对固定的 k设Poisson定理说明：若X B(n,p),则当 n 较大，p 较小，而 适中，则可以用近似公式证 记类似地，从装有 a 个白球，b 个红球的袋中不放回地任取 n 个球，其中恰有k 个白球的概率为当时，对每个 n 有结论结论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是 Poisson 分布解解 令X 表示命中次数，则 X B(5000,0.001)令此结果也可直接查 P.378 附表2 Poisson 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 仅相差千分之二点四.利用Poisson定理再求例例4(2)例例5 某厂产品不合格率为0.03，现将产品装箱，若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100个合格品，则每箱至少应装多少个产品？解解 设每箱至少应装100+n 个，每箱的不合格品个数为X，则X B(100+n,0.03)应用Poisson定理由题意 3(100+n)0.03=3+0.03n取 =3查Poisson分布表 =3一栏得 n+1=6,n=5所以每箱至少应装105个产品,才能符合要求.在实际计算中，当 n 20,p时，可用上述公式近似计算；而当n 100,np 10时,精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二项分布 按Possion 公式 k n=10 p=0.1n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1 解解 (1)设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台设备中发生故障的台数，则 X B(90,0.01)设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是 0.01.在通常 情况下，一台设备发生故障可由一个人独立 维修，每人同时也只能维修一台设备.(1)问至少要配备多少维修工人，才能保证当设(2)备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(3)(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负(4)责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？例例6令则查附表2得 N=4(2)三个人共同负责90台设备发生故障不能(3)及时维修的概率为设30台设备中发生故障的台数为 Y B(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第 i 个人负责的 30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai 则三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！在Poisson 定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson 分布(3)Poisson 分布分布或或若其中是常数，则称 X 服从参数为的Poisson 分布，记作在一定时间间隔内：一匹布上的疵点个数；大卖场的顾客数；应用场合电话总机接到的电话次数；一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数 都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件，则称为Poisson流,在 长为 t 的时间内出现的质点数 Xt P(t)市级医院急诊病人数；等等例例7 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X P(),每个虫卵发育成幼虫的概率为 p.设各个虫卵 是否能发育成幼虫是相互独立的.求一只昆虫 所生的虫卵发育成的幼虫数 Y 的概率分布.解解 昆虫X 个虫卵Y 个幼虫已知由全概率公式故
