清华大学微积分高等数学课件第7讲定积分二.ppt

P174习题习题6.3 1(3)(4).2(2).4.5.7(3)(5)(11).8(1)(3).复习复习:P168186 作业作业11/14/20221第十七讲第十七讲 定积分定积分（二）（二）二、牛顿二、牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式一、变上限定积分一、变上限定积分三、定积分的换元积分法三、定积分的换元积分法四、定积分的分部积分法四、定积分的分部积分法11/14/20222上限变量上限变量积分变量积分变量一、变上限定积分一、变上限定积分11/14/20223定理：定理：注意注意 连续函数一定存在原函数连续函数一定存在原函数 ！路程函数是速度函数的原函数路程函数是速度函数的原函数11/14/20224证证(1)用连续定义证明用连续定义证明11/14/20225证证(2)用导数定义证明用导数定义证明11/14/20226解解11/14/20227解解11/14/20228解解注意注意 变上限定积分给出一种表示函数的方变上限定积分给出一种表示函数的方 法，对这种函数也可以讨论各种性态。法，对这种函数也可以讨论各种性态。11/14/20229解解11/14/202210解解11/14/20221111/14/202212思考题：思考题：1.有原函数的函数是否一定连续？有原函数的函数是否一定连续？2.有原函数的函数是否一定黎曼可积有原函数的函数是否一定黎曼可积？3.黎曼可积的函数是否一定存在原函黎曼可积的函数是否一定存在原函 数？数？11/14/202213二、牛顿二、牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式定理定理2：证证11/14/20221411/14/202215解解 牛顿牛顿莱布尼兹公式将定积分的计莱布尼兹公式将定积分的计算问题转化为求被积函数的一个原函算问题转化为求被积函数的一个原函数的问题数的问题.11/14/202216解解11/14/202217 例例33 解解 利用估值定理利用估值定理11/14/202218所以所以即即11/14/202219三、定积分的换元积分法三、定积分的换元积分法定理定理1:(1:(定积分的换元积分法定积分的换元积分法)11/14/202220 证证 11/14/202221 解解 于是由换元公式于是由换元公式11/14/202222 解解 于是由换元公式得于是由换元公式得11/14/202223 证证(1)(1)11/14/202224为什麽为什麽?定积分与积分变量定积分与积分变量 所用字母无关！所用字母无关！例如例如:11/14/202225例例例例解解解解11/14/20222611/14/202227四、定积分的分部积分法四、定积分的分部积分法定理定理2:(2:(定积分的分部积分法定积分的分部积分法)11/14/202228 证证 利用牛顿利用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式11/14/202229即即11/14/202230 解解 11/14/202231 解解 11/14/202232 解解 11/14/20223311/14/20223411/14/202235