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结构的稳定计算结构力学 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第第1414章章 结构的稳定计算结构的稳定计算14.1 14.1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述一、结构设计应满足三方面的要求一、结构设计应满足三方面的要求 1 1、强度、强度 2 2、刚度、刚度 3 3、稳定性、稳定性二、基本概念二、基本概念 1 1、失稳：、失稳：当荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态当荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，简称转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，简称“失稳失稳”。2 2、临界状态：、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间状态（中性平衡状态）。间状态（中性平衡状态）。3 3、临界荷载：、临界荷载：临界状态时相应的荷载。临界状态时相应的荷载。第第14章章三、结构失稳的两种基本形式三、结构失稳的两种基本形式 1 1、第一类失稳（分支点失稳）：、第一类失稳（分支点失稳）：结构变形产生了性质结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。上的突变，带有突然性。第第14章章l/2PPc rl(b)弯曲平衡状态弯曲平衡状态P2POP1D（c）荷载荷载位移曲线（位移曲线（P 曲线）曲线）Pc rDCABP(a)直线平衡状态直线平衡状态 l第第14章章(a)偏心受压杆偏心受压杆PePPPOPe(b)荷载荷载位移曲线（位移曲线（P 曲线）曲线）Pc rCAB 2 2、第二类失稳（极值点失稳）：、第二类失稳（极值点失稳）：虽不出现新的变形形式，虽不出现新的变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构不能正常工作。不能正常工作。14.2 14.2 确定临界荷载的静力法和能量法确定临界荷载的静力法和能量法一、临界状态的静力特征一、临界状态的静力特征 1 1、体系失稳前在弹性阶段工作、体系失稳前在弹性阶段工作 （1 1）应力、应变成线性关系。）应力、应变成线性关系。（2 2）挠曲线近似微分方程成立。）挠曲线近似微分方程成立。2 2、采用小挠度理论分析、采用小挠度理论分析 （1 1）无论采用小挠度理论，还是大挠度理论，所得临界荷载值）无论采用小挠度理论，还是大挠度理论，所得临界荷载值是相同的。是相同的。（2 2）大挠度理论可以反映体系屈曲失稳后平衡路径的变化，而）大挠度理论可以反映体系屈曲失稳后平衡路径的变化，而小挠度理论则欠缺，采用简化假定的原因。小挠度理论则欠缺，采用简化假定的原因。3 3、静力特征、静力特征 临界荷载具有临界荷载具有“平衡状态的二重性平衡状态的二重性”，因为它是由稳定平衡状，因为它是由稳定平衡状态过渡到不稳定状态的极限状态。态过渡到不稳定状态的极限状态。第第14章章二、静力法二、静力法 1 1、定义、定义 假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相应的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。应的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。2 2、步骤、步骤 （1 1）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。（2 2）列静力平衡方程。）列静力平衡方程。（3 3）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界条件求稳定方程。条件求稳定方程。（4 4）解稳定方程，求临界荷载。）解稳定方程，求临界荷载。第第14章章3 3、举例、举例 （1 1）试求图示结构的临界荷载。试求图示结构的临界荷载。p pcrcry yx xx xp p第第14章章p pcrcrM(xM(x)y yR Rl-xl-x左式为左式为“超越方程超越方程”解解“超越方程超越方程”的两种方法：的两种方法：1 1、逐步逼近法（试算法）：、逐步逼近法（试算法）：2 2、图解法：、图解法：以以 l为自变量，分别绘出为自变量，分别绘出z=l和和z=tg l的图形，求大于零的第一个交点，的图形，求大于零的第一个交点，确定确定 l。第第14章章例例14-1 14-1 试求图示结构的临界荷载。试求图示结构的临界荷载。yxxpcrpcrM(x)yp第第14章章例例14-1 14-1 试求图示结构的临界荷载。试求图示结构的临界荷载。y yx xx xp pcrcrp pcrcrM(xM(x)y yp p第第14章章第第14章章（另法）（另法）例例14-1 14-1 试求图示结构的临界荷载。试求图示结构的临界荷载。yxxpcrpM(x)xy第第14章章三三 、能量法、能量法（一）用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系）（一）用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系）2 2、解题思路、解题思路1 1、三种平衡状态、三种平衡状态（1 1）稳定平衡：）稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。偏离平衡位置，总势能增加。（2 2）不稳定平衡：）不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。偏离平衡位置，总势能减少。（3 3）随遇平衡：）随遇平衡：偏离平衡位置，总势能不变。偏离平衡位置，总势能不变。图图1 1图图2 2图图3 3（1 1）当外力为保守力系时）当外力为保守力系时（2 2）当体系偏离平衡位置，发生微小移动时）当体系偏离平衡位置，发生微小移动时第第14章章（3 3）直杆稳定（刚性杆）直杆稳定（刚性杆）第第14章章3 3、能量法计算公式（单杆）、能量法计算公式（单杆）xy第第14章章4 4、P151P151例题例题14-214-2（二）用势能原理建立的能量准则（适用于多自由度体系）（二）用势能原理建立的能量准则（适用于多自由度体系）设弹性曲线为多参数曲线：设弹性曲线为多参数曲线：依依“势能驻值原理势能驻值原理”：临界状态下真实的变形曲线应使体系的总临界状态下真实的变形曲线应使体系的总势能为驻值。势能为驻值。第第14章章得：得：（14-15）：）：第第14章章 这就是计算临界荷载的特征方程，其展开式是关于这就是计算临界荷载的特征方程，其展开式是关于P P的的n n次次线性方程组，可求出线性方程组，可求出n n个根，由最小根可确定临界荷载。个根，由最小根可确定临界荷载。得：得：（14-15）令：令：简写为：简写为：14.3 14.3 弹性支承等截面直杆的稳定计算弹性支承等截面直杆的稳定计算第第14章章具有弹性支承的压杆的稳定问题。一般情况下有四类具有弹性支承的压杆的稳定问题。一般情况下有四类 MA=k ABPc rxxyyEIPc rBxklyxyEIMA=k APc rxyyRBEIyPc rBxkAEI第第14章章一、一端固定、一端为弹性支座一、一端固定、一端为弹性支座Pc rBxklyxyEI由边界条件：由边界条件：x=0处，处，y=y=0；x=l处，处，y=。得到：。得到：(14-21)第第14章章MA=k ABPc rxxyyEI二、一端自由、另一端为弹性抗转支座二、一端自由、另一端为弹性抗转支座(14-21)边界条件：边界条件：平衡方程：平衡方程：稳定方程：稳定方程：第第14章章MA=k ABPc rxxyyEI三、一端铰支、另一端为弹性抗转支座三、一端铰支、另一端为弹性抗转支座边界条件：边界条件：平衡方程：平衡方程：稳定方程：稳定方程：(14-22)第第14章章四、一端铰支、另一端为弹性支座四、一端铰支、另一端为弹性支座 yPc rBxkAEI考虑在小变形情况下，取考虑在小变形情况下，取sin=、cos=1，上式改写为上式改写为 弹簧的支反力弹簧的支反力 临界荷载临界荷载：(14-24)补充例题（补充例题（1）试求图示结构的临界荷载。试求图示结构的临界荷载。pyxxpM(x)yR=0l-xpMB第第14章章补充例题（补充例题（2）试求图示结构的临界荷载。试求图示结构的临界荷载。l-xyxxM(x)ypppMB第第14章章补充例题（补充例题（3）试求图示结构的临界荷载。试求图示结构的临界荷载。yxxpM(x)yppxRc第第14章章补充例题（补充例题（4）试求图示结构的稳定方程及临界荷载。试求图示结构的稳定方程及临界荷载。yxxpM(x)yppxRc第第14章章补充例题（补充例题（5）试求图示结构的临界荷载。试求图示结构的临界荷载。l解：解：ppxy第第14章章补充例题（补充例题（6）试求图示结构的稳定方程及临界荷载。试求图示结构的稳定方程及临界荷载。解：解：ppxylpM(x)yx第第14章章补充例题（补充例题（7）试求图示结构的临界荷载。试求图示结构的临界荷载。解：解：pxyxM(x)ypp第第14章章