用正交变换化二次型为标准形.ppt
用正交变换化二次型为标准形 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例从而得特征值从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为于是所求正交变换为五、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法6.2 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩项数等于二次型的秩下面我们限定所用的变换为下面我们限定所用的变换为实变换实变换，来研究，来研究二次型的标准形所具有的性质二次型的标准形所具有的性质二、正(负)定二次型的概念为为正定二次型正定二次型为为负定二次型负定二次型例如例如为为不定型二次型不定型二次型三、正(负)定二次型的判别推论推论对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的特征值全为正的特征值全为正定理定理3正定矩阵具有以下一些简单性质：正定矩阵具有以下一些简单性质：这个定理称为这个定理称为霍尔维茨定理霍尔维茨定理定理定理4 4 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即的各阶顺序主子式为正，即定义定义2 2推论推论 对称矩阵对称矩阵A A为负定的充分必要条件是：奇为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即例例3 3 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法.故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，例例4 4 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.解解例例5 5 若二次型若二次型正定，求参数正定，求参数 t 应满足的条件应满足的条件.2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(3)(3)顺序主子式判别法；顺序主子式判别法；(2)(2)特征值判别法特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导1、解矩阵方程、解矩阵方程2、行列式的计算、行列式的计算已知已知,且且,求矩求矩阵阵,故故可逆可逆,3方程组求解：何时有唯一解，无解，无穷多解方程组求解：何时有唯一解，无解，无穷多解线线性方程性方程组为组为,问问,各取何各取何值时值时,线线性方程性方程组组无解，有唯一解，有无无解，有唯一解，有无穷穷多解？多解？在有无在有无穷穷多解多解时时求出其通解。求出其通解。2，方程方程组组有唯一解有唯一解;2 2，1 1时时，方程方程组组无解无解;2，1时，方程方程组组有无有无穷穷多解多解P69 例例3 两种两种解法解法4、求向量组的最大无关组，其余向量用最大无关组表示、求向量组的最大无关组，其余向量用最大无关组表示P90 例例1 p93 例例45、证向量组线性无关（相关）、证向量组线性无关（相关）设设向量向量组组线线性无关性无关,而向量而向量组组线线性相关性相关,线线性无关性无关.证证明明:向量向量组组线线性无关。性无关。6、二次型化为标准形、二次型化为标准形设设,则则=_2_，则则有（有（B B ）。）。时时，必有秩，必有秩（B B）当）当时时，必有秩，必有秩（C C）当）当时时，必有秩，必有秩（D D）当当时时，必有秩，必有秩（A A）当）当.设设其中其中则则方程方程的解的解为为_ 设设为为矩矩阵阵,为为矩矩阵阵,则则（）。）。时时,必有行列式必有行列式（B B）当当时时,必有行列式必有行列式（C C）当当时时,必有行列式必有行列式（D D）当当时时,必有行列式必有行列式.（A A）当当B
