D18闭区间上连续函数的性质.ppt
第八节一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 一一.有界性及最值定理有界性及最值定理1.最值的概念最值的概念设设 f(x)定义在区间定义在区间I上上,若存在若存在使得对任意使得对任意有有则称则称为为 f(x)在区间在区间 I 上的最小值上的最小值,大大例如：例如：在区间在区间上的最大值为上的最大值为最小值为最小值为小结小结 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为最小值点为最小值点.大大在在(0,1 上的最小值为上的最小值为 f(1)=1,无最大无最大值值在在上的最大值为上的最大值为f(1)=1,无最小值无最小值在在上既无最大值上既无最大值,也无最小值也无最小值在在上的最大值和最小值均为上的最大值和最小值均为c小结小结 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.2.最值定理最值定理定理定理1.1.在在闭区间闭区间上上连续连续的函数的函数即即:设设则则使使值和最小值值和最小值.在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大(证明略证明略)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 或或例如例如,无最大值和最小值无最大值和最小值 也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意:若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不一定成立结论不一定成立.或在闭区间内或在闭区间内有间断有间断 点点,设设f(x)Ca,b，则则(i)f(x)在在a,b上为单调函数时上为单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此时，函数此时，函数 f(x)恰好在恰好在 a,b的端点的端点a和和b取到最大值和最小值取到最大值和最小值.y=f(x)a,b,则则y=f(x)a,b,则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (ii)y=f(x)为一般的连续函数时，如图中所示，为一般的连续函数时，如图中所示，xya a1a2a3a4a5a6bma1mama2ma3ma4ma5ma6mby=f(x)定理定理8.2.由定理由定理8.1 可知有可知有证证:设设上有界上有界.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界.二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理定理定理8.3.(零点定理零点定理)至少有一点至少有一点且且使使(证明略证明略)1.零点零点:若若则称则称 为为f(x)的零点的零点.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意：注意：定理只表明的零点的存在性，而没有回答零点的个数定理只表明的零点的存在性，而没有回答零点的个数 及求法。及求法。证明的思想方法是等分区间法证明的思想方法是等分区间法(区间套法区间套法)：将：将区间区间a,b等分为等分为a,a1和和a1,b,在这两个区间中在这两个区间中选择与选择与a,b性质相同的一个，例如，若性质相同的一个，例如，若f(a1)f(b)0,则选取则选取a1,b,然后，对然后，对a1,b进行等分，进行等分，并进行选择，又得一个新的小区间并进行选择，又得一个新的小区间.如此下去，小如此下去，小区间的长度趋于零，并且总保持区间端点值反号，区间的长度趋于零，并且总保持区间端点值反号，由函数的连续性，这些小区间的左端点或右端点构由函数的连续性，这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值就是我们要求的成的数列的极限值就是我们要求的 (a,b).机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设 且且则对则对 介于介于f(a)与与f(b)B 之间的任一数之间的任一数 A,一点一点证证:作辅助函数作辅助函数则则且且使使至少有至少有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理（介值定理）：定理（介值定理）：若若则必有则必有故由零点定理知故由零点定理知,至少有一点至少有一点使使即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若若则则或或即即或或此时取此时取或或即可即可.综上可知结论成立综上可知结论成立.推论推论1:在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最必取得介于最小值与最大值之间的任何值大值之间的任何值.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 推论推论2:闭区间上不为常数的连续函数把该区间应为闭闭区间上不为常数的连续函数把该区间应为闭区间区间.例例1.证明方程证明方程一个根一个根.证证:显然显然又又故据零点定理故据零点定理,至少存在一点至少存在一点使使即即说明说明:内必有方程的根内必有方程的根;取取的中点的中点内必有方程的根内必有方程的根;可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法在区间在区间内至少有内至少有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则则则例例2 2：证明：方程证明：方程 x=2 sinx+1 至少有一个不超过至少有一个不超过 3 的正根的正根.证证：问题归结为在：问题归结为在(0,(0,3 上求方程的根的问题上求方程的根的问题.而而 f(0)=0 2 sin0 1=1 0,则则f(0)f(3)0，由介值定理由介值定理,至少存在一个至少存在一个 (0,3)，使得使得 f(3)=0.综上所述，方程在综上所述，方程在(0,3上至少有一个根上至少有一个根,即即至少有一个不超过至少有一个不超过 3 的正根的正根.例例3：设设 f(x)Ca,b，a x1 x2 xn b,证明证明:至少存在一点至少存在一点 x1,xn，使得使得小结小结 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证：证：f(x)C(a,b).有有从而从而若若m M,由介值定理，至少存在一点由介值定理，至少存在一点 x1,xn，使使若若m=M,f(x1)=f(x2)=f(xn),则可取则可取 xi综上所述，命题获证综上所述，命题获证.m f(xi)M.小结小结 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上连续上连续,且恒为正且恒为正,例例4.设设在在对任意的对任意的必存在一点必存在一点证证:使使令令,则则使使故由零点定理知故由零点定理知,存在存在即即当当时时,取取或或,则有则有证明证明:小结小结 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结2.f(x)在在a,b上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;3.f(x)在在a,b上可取最大与最小值之间的任何上可取最大与最小值之间的任何值值;1.f(x)在在a,b上有界上有界;机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.当当时时,使使必存在必存在思考与练习思考与练习机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明至少存在证明至少存在使使一点一点设设则则提示提示:令令则则易证易证作业作业P70 1,2,4,5 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.机动 目录 上页 下页 返回 结束
