中科大量子力学7.pptx

第1页/共84页前前言言1.未考虑粒子的自旋特征，微观粒子都有自旋特征。未考虑粒子的自旋特征，微观粒子都有自旋特征。2.仅考虑了单粒子体系，实际粒子体系一般是多粒仅考虑了单粒子体系，实际粒子体系一般是多粒子体系。子体系。前前面面的的理理论论尚尚有有两两方方面面的的局局限限:电子的自旋特征电子的自旋特征具有自旋特征粒子的波函数具有自旋特征粒子的波函数角动量耦合角动量耦合多粒子体系多粒子体系实际应用实际应用主主要要研研究究内内容容第2页/共84页v7.1 电子自旋 Electron spin v7.2 电子自旋算符与自旋波函数 Electron spin operator and spin wave function v7.3 简单塞曼效应 Simple Zeeman effectv7.4 两个角动量的耦合 Coupling of two angular momentum v7.5 光谱的精细结构 Fine structure of the spectrumv7.6 全同粒子的性质 The characterization of similar particles v7.7 全同粒子系统的波函数 泡利原理 The wave function of similar particle system Pauli principlev7.8 两个电子的波函数 The spin wave function of two electrons讲授内容讲授内容第3页/共84页学习要求学习要求1 1了解斯特恩了解斯特恩-格拉赫实验，电子自旋回转磁比率与格拉赫实验，电子自旋回转磁比率与 轨道回转磁比率。轨道回转磁比率。2 2掌握自旋算符的对易关系和自旋算的矩阵形式掌握自旋算符的对易关系和自旋算的矩阵形式(泡利泡利 矩阵矩阵)，与自旋相联系的测量值、概率、平均值等的，与自旋相联系的测量值、概率、平均值等的 计算以及本征值方程和本征函数的求解方法。计算以及本征值方程和本征函数的求解方法。3 3了解简单塞曼效应的物理机制了解简单塞曼效应的物理机制。4 4了解耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理了解耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理 解释。解释。5 5全同粒子的基本概念，全同性质理，波函数的交换全同粒子的基本概念，全同性质理，波函数的交换 对称性。对称性。6 6全同粒子的分类全同粒子的分类。7 7全同粒子体系的波函数，包括两个全同粒子体系的全同粒子体系的波函数，包括两个全同粒子体系的 波函数，波函数，N N个全同粒子体系的波函数。个全同粒子体系的波函数。8 8掌握掌握两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数。第4页/共84页Stern-Gerlach实验7.1 7.1 电子自旋电子自旋基态氢原子在非均匀磁场中基态氢原子在非均匀磁场中Conclusion:磁矩平行或反平行于外加磁场磁矩平行或反平行于外加磁场M(Magnetic moment)parallel or anti-parallel to B(Magnetic field)Problem：Where does the M come from?第5页/共84页乌仑贝克乌仑贝克.哥德斯米脱假设哥德斯米脱假设（1 1）每个电子具有自旋角动量每个电子具有自旋角动量 ，它在空间任意方，它在空间任意方向的取值只能有两个向的取值只能有两个 。（SI）（CGS）在任意方面在任意方面上的投影上的投影（SI）（CGS）（2 2）每个电子具有自旋磁矩）每个电子具有自旋磁矩 ，它与自旋角动量的它与自旋角动量的关系是关系是7.1 7.1 电子自旋电子自旋 （续 1）第6页/共84页回旋磁比率：回旋磁比率：（SI）（CGS）轨道磁矩与轨道角动量的关系：轨道磁矩与轨道角动量的关系：（SI）（CGS）自自磁磁矩矩是是轨轨道道磁磁矩矩的的两两倍倍（玻尔磁子玻尔磁子）（SI）（CGS）7.1 7.1 电子自旋电子自旋 （续 2）第7页/共84页87.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数1 自 旋 算 符 为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算符符 来表征电子的自旋角动量来表征电子的自旋角动量 。注意：自旋角动量自旋角动量是电子内部是电子内部的一种的一种固有特性，在固有特性，在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量，经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量，它不能表示为坐标和动量的函数。它不能表示为坐标和动量的函数。是是自旋自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对角动量，应满足角动量算符的普遍对易关系易关系第8页/共84页自旋角动量平方算符自旋角动量平方算符平方分量间的对易关系平方分量间的对易关系7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 1）第9页/共84页 由于在空间任意方向上的投影只有两个取值由于在空间任意方向上的投影只有两个取值，所以所以 、的本征值是的本征值是 的本征值的本征值都是都是 即即的本征值的本征值 若将若将自旋角动量自旋角动量本征值表示为角动量本征值表示为角动量本征值本征值的的一般形式一般形式:1.自自旋旋算算符符的的本本征征值值7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 2）第10页/共84页3 3 泡泡 利利 算算 符符s s为自旋量子数为自旋量子数为为“磁磁”量子量子数数为了讨论问题方便，引入泡利算符为了讨论问题方便，引入泡利算符7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 3）第11页/共84页对对 易易 关关 系系泡利算符泡利算符平方算符平方算符7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 4）第12页/共84页的本征值的本征值本本 征征 值值的本征值都是的本征值都是 7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 5）第13页/共84页Prove反反对对易易关关系系7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 6）第14页/共84页154 4自旋算符的矩阵表示自旋算符在自旋算符在 、表象中的矩阵形式，可根据表象中的矩阵形式，可根据算符的一般理论，算符在其自身表象中为对角矩算符的一般理论，算符在其自身表象中为对角矩阵，矩阵元就是其本征得到：阵，矩阵元就是其本征得到：现在来研究现在来研究 、的矩阵形式的矩阵形式7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 7）第15页/共84页故有故有（a a,d d 必为实数）必为实数）由由 设设 的矩阵形式为的矩阵形式为7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 8）第16页/共84页则则 而而 再由再由 得到得到7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 9）第17页/共84页取取 7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 10）第18页/共84页泡利矩阵自 旋 算 符 矩 阵7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 11）第19页/共84页205.自 旋 函 数 电子既然有自旋，则其波函数就应考虑自旋量子电子既然有自旋，则其波函数就应考虑自旋量子数数 （构成力学量完全集合的力学量数目为（构成力学量完全集合的力学量数目为4 4个），个），波函数表示为波函数表示为写成矩阵形式，为二行一列矩阵写成矩阵形式，为二行一列矩阵7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 12）第20页/共84页这两种情况的物理意义：这两种情况的物理意义：时刻，时刻，处找到自旋处找到自旋 的电子的几率密度。的电子的几率密度。时刻，时刻，处找到自旋处找到自旋 的电子的几率密度的电子的几率密度 7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 13）第21页/共84页归一化条件：是是 时刻，时刻，处找到电子的几率密度处找到电子的几率密度7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 14）第22页/共84页 在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作用，因而电子的自旋状态对轨道运动有影响，这通用，因而电子的自旋状态对轨道运动有影响，这通过过 中的中的 和和 是是 的不同函数来体现。的不同函数来体现。当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽略时，略时，和和 对空间位置的依赖关系是一样的，对空间位置的依赖关系是一样的，这时可引入自旋函数这时可引入自旋函数7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 15）第23页/共84页自自旋旋算算符符的的本本征征值值方方程程自自旋旋函函数数的的正正交交归归一一性性7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 16）第24页/共84页对自旋求平均：对自旋求平均：对坐标和自旋同时求平均对坐标和自旋同时求平均 将将 表示为二行二列矩阵表示为二行二列矩阵 任意一个算符 的平均值7.2 7.2 电子的自旋算符和自旋函数电子的自旋算符和自旋函数 （续 17）第25页/共84页267.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应考虑氢原子和类氢原子在磁场中的情况考虑氢原子和类氢原子在磁场中的情况在无外磁场的情况下，体系的定态在无外磁场的情况下，体系的定态Schrdinger方程方程 本征函数本征函数：第26页/共84页本征能量：氢原子本征能量：氢原子 （仅与（仅与 有关）有关）由由2P2P态跃迁到态跃迁到1S1S态的跃迁频率态的跃迁频率在有强磁场的情况下（忽略自旋与轨道运动的相在有强磁场的情况下（忽略自旋与轨道运动的相互作用能）磁场引起的附加能量互作用能）磁场引起的附加能量 （与有关）类氢原子类氢原子 7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续 1）第27页/共84页取的取的 方向为方向为 轴方向，则轴方向，则定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程本征函数：本征函数：7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续 2）第28页/共84页代入以上方程，写成代入以上方程，写成本征能量本征能量：当当 时时,7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续 3）第29页/共84页讨讨论论当 时,1当原子处在 态时，7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续 4）第30页/共84页 由于电子存在自旋，原子处在磁场中，原来的能级 分裂为两条，正如斯特恩革拉赫实验中所观察到的。22P态1S态的跃迁情况1S态的能级 7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续 5）第31页/共84页2P态的能级 7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续 6）第32页/共84页7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续 7）第33页/共84页7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续 8）第34页/共84页2P1S2P1S跃迁频率跃迁频率由此和选择定则由此和选择定则知知 即即2P1S2P1S跃迁频率可取三个值跃迁频率可取三个值,7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续 9）第35页/共84页7.3 7.3 简单塞曼效应简单塞曼效应（续 10）第36页/共84页377.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征固有性质相同的粒子称为全同粒子 例：电子、质子、中子、超子、重子、轻子、微子同类核原子、分子 固有性质指的是：质量、电荷、自旋同位旋、宇称、奇异数1.全同粒子第37页/共84页 例如：在电子双缝衍射实验中，考察两个电子，无法判别哪个电子通过哪条缝，也无法判别屏上观察到的电子，哪个是通过哪条缝来的，也无法判别哪个是第一个电子，哪个是第二个电子2 2不可区分性不可区分性 经典力学中，两物体性质相同时，仍然可以区分，因各自有确定轨道。微观体系（粒子），因为运动具有波粒二象波粒二象性，无确定轨道，在位置几率重迭处就不能区分是哪个粒子。7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续 1）第38页/共84页393 3全同性原理全同性原理由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成的系统中，任意两个全同粒子相互交换（位置等），不会引起系统状态的改变。全同性原理是量子力学中的基本原理之一，也称基本假设之一。几率分布不变：7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续）第39页/共84页404 4全同粒子体系波函数的对称性质全同粒子体系波函数的对称性质设体系由N个全同粒子组成以 表示第i个粒子的坐标和自旋表示第i个粒子在外场中的能量表示第i个粒子和第i个粒子的相互作用能则体系的哈米顿算符：两粒子互换，哈米顿算符不变7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续）第40页/共84页薛定格方程：再交换 与7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续）第41页/共84页 这表示如果这表示如果 是方程的解，是方程的解，则则 也是方程的解。也是方程的解。根据全同性原理，它们描述的是同一状态，则它根据全同性原理，它们描述的是同一状态，则它们们间只可能间只可能相差一常数因子，以相差一常数因子，以 表示表示.即有即有再交换再交换 与与7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续）第42页/共84页 描述全同粒子系统状态的波函数只能是对称的，描述全同粒子系统状态的波函数只能是对称的，或者反对称的。或者反对称的。当当 时时 即波函数为反对称函数即波函数为反对称函数当当 时时 即波函数为对称函数即波函数为对称函数7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续）第43页/共84页5 5波波函函数数的的对对称称性性质质不不随随时时间间而而变变化化 设设 时刻波函数对称：时刻波函数对称：它满足薛定格方程：它满足薛定格方程：由于由于 对称对称,使使 也对称也对称在在 时刻，波函数为时刻，波函数为 它它 是两个对称函数之和，故也是对称的。是两个对称函数之和，故也是对称的。同样可证明反对称函数在以后任何时刻都是反对称的同样可证明反对称函数在以后任何时刻都是反对称的。7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续）第44页/共84页费米子和费米子和玻玻色子：色子：费米子：费米子：自旋为自旋为 奇数倍的粒子称为费米子。如电子、奇数倍的粒子称为费米子。如电子、质子、中子等粒子，自旋均为质子、中子等粒子，自旋均为 ，它们均为费米子。，它们均为费米子。玻色子：玻色子：自旋为自旋为 的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、光子的自旋分别为光子的自旋分别为O O或或 ，它们均为玻色子。，它们均为玻色子。玻色子服从玻色玻色子服从玻色爱因斯坦统计，其波函数是对称爱因斯坦统计，其波函数是对称的。的。费米子系统服从费米费米子系统服从费米狄拉克统计，其波函数是反狄拉克统计，其波函数是反对称的对称的。结论：结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是对描写全同粒子系统状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。7.6 7.6 全同粒子的特征全同粒子的特征（续）第45页/共84页467.7 7.7 全同粒子体系的波函数全同粒子体系的波函数 泡利原理泡利原理一一、两两粒粒子子体体系系在不考虑粒子间相互作用时，体系的哈米顿算符在不考虑粒子间相互作用时，体系的哈米顿算符 以以 和和 表示表示 的第的第i i个本征值和本征函数，则单个本征值和本征函数，则单粒子的本征值方程为：粒子的本征值方程为：体系的哈米顿算符的本征值方程为：体系的哈米顿算符的本征值方程为：本征波函数本征波函数（7.7-4）第46页/共84页本征能量本征能量若两粒子交换，则若两粒子交换，则（7.7-6）能量值仍为能量值仍为 是简并的，这种简并称为是简并的，这种简并称为交换简并交换简并。如果两粒子处于同一状态，如果两粒子处于同一状态，则（则（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）给出同一个对称波函数）给出同一个对称波函数 如果两粒子处于不同状态，如果两粒子处于不同状态，则（则（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）式的函数既不对称，也不）式的函数既不对称，也不反对称，故不符合全同粒子体系波函数的要求。反对称，故不符合全同粒子体系波函数的要求。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第47页/共84页 这表明（这表明（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）两式所表示的函数，）两式所表示的函数，只能部分满足全同粒子体系对波函数的要求，不能只能部分满足全同粒子体系对波函数的要求，不能完全满足，故不能作为全同粒子体系的波函数。完全满足，故不能作为全同粒子体系的波函数。但由（但由（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）两式的和、差可以）两式的和、差可以构成对称函数和反对称函数。构成对称函数和反对称函数。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）玻色系统：玻色系统：费米系统：费米系统：第48页/共84页49泡泡利利原原理理对对玻色子系统玻色子系统，波函数取形式，当两个，波函数取形式，当两个玻色子处于同一个状态时玻色子处于同一个状态时 ，这时，这时，故几率密度，所以允许。，故几率密度，所以允许。对于对于费米系统费米系统，波函数取，波函数取 形式，当两费形式，当两费米子处于同一个状态时，故使几率密度米子处于同一个状态时，故使几率密度 ，所以不允许。，所以不允许。泡利不相容原理：费米系统中，两个费米子不能处费米系统中，两个费米子不能处 于同一个状态于同一个状态正是这个原理，使核和原子等的结构有序。正是这个原理，使核和原子等的结构有序。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第49页/共84页50二二、N N粒粒子子体体系系将两粒子体系推广到将两粒子体系推广到N N粒子体系粒子体系单粒子的本征值方程：单粒子的本征值方程：体系的薛定格方程：体系的薛定格方程：本征函数本征函数（7.7-13）本征能量本征能量7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第50页/共84页51三三、费费米米子子体体系系波波函函数数可见，在不考虑粒子间相互作用时，全同粒子可见，在不考虑粒子间相互作用时，全同粒子体系的能量等于各单粒子能量之和，哈米顿算符的体系的能量等于各单粒子能量之和，哈米顿算符的本征函数是各单粒子的本征函数的积。因此，解多本征函数是各单粒子的本征函数的积。因此，解多粒子体系的问题，归结为解单粒子的薛定格方程。粒子体系的问题，归结为解单粒子的薛定格方程。下面分别讨论费米系统和玻色系统的波函数形式。下面分别讨论费米系统和玻色系统的波函数形式。由由N N个费米子组成的体系的个费米子组成的体系的本征本征函数是反对称函数是反对称的的，依照（，依照（7.7-137.7-13）式）式称为称为斯莱斯莱特行特行列式列式7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第51页/共84页交换任意两个粒子，在斯莱特行列式中就表现出两交换任意两个粒子，在斯莱特行列式中就表现出两列相互交换，这就使行列式改变符号。所以列相互交换，这就使行列式改变符号。所以 是反是反对称的。对称的。如果如果N N个粒子中有两个处于同一个状态，则个粒子中有两个处于同一个状态，则斯莱特斯莱特行行列式中有两行完全相同，这使行列式等于零，从而使列式中有两行完全相同，这使行列式等于零，从而使，几率几率 。要使。要使 ，不能有两不能有两费米费米子子处在同一单粒子态。处在同一单粒子态。这就是这就是泡利的不相容原理泡利的不相容原理。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）是归一化的，是归一化的，是是 的的归一化因子。将斯归一化因子。将斯莱特行列式展开，共有莱特行列式展开，共有 项如（项如（7.7-137.7-13）式的形式，）式的形式，因而因而,是体系薛定格方程是体系薛定格方程 的的本征函数本征函数解。解。第52页/共84页例例一个体系由三个费米子组成，粒子间无相互作一个体系由三个费米子组成，粒子间无相互作用，它们分别可能处于单粒态用，它们分别可能处于单粒态 、，求系统波，求系统波函数。函数。Solve7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第53页/共84页54四、玻色子体系的波函数四、玻色子体系的波函数 N N个玻色子所组成的体系的波函数应是对称的。个玻色子所组成的体系的波函数应是对称的。它也由（它也由（7.7-137.7-13）式进行构成。所不同的是单粒）式进行构成。所不同的是单粒子态子态 中，能容纳的玻色子数不受限制，可大中，能容纳的玻色子数不受限制，可大于于1 1。波函数形式可表示为：。波函数形式可表示为：式中式中P P表示表示N N个粒子在波函数中的某一种排列，个粒子在波函数中的某一种排列，表表示对所有可能的排列求和，而示对所有可能的排列求和，而C C则为归一化常数。则为归一化常数。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第54页/共84页设设N N个玻色子中，有个玻色子中，有 个处于个处于 态，有态，有 个处于个处于 态，有态，有 个处于个处于 态，而态，而 ，则体系的，则体系的 波函数为：波函数为：式中，因为N 个粒子排列共有 种不相同的形式。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第55页/共84页所以归一化因子为：Ex.1 在在N N个全同玻色子所组成的体系中，如果有个全同玻色子所组成的体系中，如果有 个个粒子处在单粒子态粒子处在单粒子态 中中,，求此体系的归，求此体系的归一化波函数。一化波函数。Solve：当当N N个全同玻色子处于个全同玻色子处于N N个不同的单粒子个不同的单粒子状态时，体系的玻函数为：状态时，体系的玻函数为：7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第56页/共84页由于单粒子态是正交归一的，则上式变为：由于单粒子态是正交归一的，则上式变为：这里这里 表示表示 个粒子在个粒子在 个单粒子态上各占一态的个单粒子态上各占一态的某一种排列，而某一种排列，而 表示对各种可能排列方式的种表示对各种可能排列方式的种数求和，应有数求和，应有 种。种。根据波函数的归一化条件：根据波函数的归一化条件：归一化归一化常数常数7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第57页/共84页 当当 个粒子处于某一个态个粒子处于某一个态 时时,有有 种交换，种交换，即即 种排列不形成新的状态，这时求和的项数不是种排列不形成新的状态，这时求和的项数不是 ，而应是，而应是归一化归一化常数常数归一化波波函数7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第58页/共84页 一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的玻函数怎样用单问体系可能的状态有几个？它们的玻函数怎样用单粒子态构成？粒子态构成？Solve:状状态数态数 =设两单粒子态为设两单粒子态为 和和 。Ex.2：有有两两种种情情况况：7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第59页/共84页第第 一一 种种 情情 况况：三粒子同处于三粒子同处于 态：态：三粒子同处于三粒子同处于 态：态：(1)(1)三个玻色子处在同一个状态。三个玻色子处在同一个状态。(2)(2)两个玻色子处在同一个状态，另一个玻色子两个玻色子处在同一个状态，另一个玻色子处于另一状态。处于另一状态。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第60页/共84页第第 二二 种种 情情 况况：两粒子同处于两粒子同处于 态，一粒子处于态，一粒子处于 态态两粒子同处于两粒子同处于 态，一粒子处于态，一粒子处于 态态7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第61页/共84页 一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。可能的单粒子态有三个相互作用。可能的单粒子态有三个 ，问体系可能的状态有几个？波函数怎样由单粒子问体系可能的状态有几个？波函数怎样由单粒子态构成？态构成？Solve:（1 1）三个玻色子分别处于三个单态上：）三个玻色子分别处于三个单态上：状态数：状态数：Ex.37.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第62页/共84页（2 2）三个粒子处于同一个单态上）三个粒子处于同一个单态上7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第63页/共84页（3 3）两粒子处在同一态，一粒子处在另一态）两粒子处在同一态，一粒子处在另一态7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第64页/共84页7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第65页/共84页三种十个态！三种十个态！7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第66页/共84页五五、全全同同粒粒子子体体系系的的自自旋旋函函数数 在不考虑粒子自旋和轨道相互作用的情况下，体在不考虑粒子自旋和轨道相互作用的情况下，体系的波函数可写成坐标函数和自旋函数的乘积。系的波函数可写成坐标函数和自旋函数的乘积。若粒子是玻色子，则若粒子是玻色子，则 为对称波函数，这时为对称波函数，这时 和和 均为对称或均为反对称的。均为对称或均为反对称的。若粒子为费米子，则若粒子为费米子，则 为反对称波函数，这时为反对称波函数，这时如果如果 为对称的，那么为对称的，那么 为反对称的。如果为反对称的。如果 为为反对称的，那么反对称的，那么 为对称的。为对称的。7.7 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理全同粒子体系的波函数泡利原理（续）第67页/共84页7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数中性氦原子、氢分子都是两电子体系，研中性氦原子、氢分子都是两电子体系，研究氦原子或氢分子的状态，就涉及到两个究氦原子或氢分子的状态，就涉及到两个电子的全同粒子体系。电子的全同粒子体系。电子体系的电子体系的自旋角动量自旋角动量第68页/共84页在不考虑两电子自旋相互作用时，两电子体在不考虑两电子自旋相互作用时，两电子体系的自旋函数可写成单电子自旋函数的乘积，系的自旋函数可写成单电子自旋函数的乘积，由此可以构造两电子由此可以构造两电子体系体系的四个自旋函数的四个自旋函数（三个对称函数（三个对称函数 和一个反对称和一个反对称 )7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）单电子的自旋状态单电子的自旋状态 第69页/共84页7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）这四个自旋函数是这四个自旋函数是 的共同本征函数，满足的共同本征函数，满足本征方程本征方程：第70页/共84页 的本征值：的本征值：的本征值：的本征值：第71页/共84页对于单电子对于单电子7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）Prove：第72页/共84页7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）第73页/共84页7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）两电子体系两电子体系第74页/共84页7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）即即同理可证同理可证第75页/共84页7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）即即同理可证同理可证第76页/共84页量子数自旋函数自旋取向以Z轴为标准两电子的自旋z分量都沿z的正向，平行两电子的自旋z分量反平行，但在垂直于z轴方向分量平行两电子的自旋z分量平行，但沿z的负向两电子自旋反平行，各分量均为0图象说明图象说明7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）第77页/共84页对称波函数自旋平行三重态S S2 2三重简并反对称波函数自旋反平行独态S S2 2无简并7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）第78页/共84页自自旋旋三三重重态态、单单态态和和纠纠缠缠态态形象地记形象地记:不考虑两电子间的不考虑两电子间的相互作用，相互作用，和和 的共同本征函数的共同本征函数可形象地表示为可形象地表示为7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）第79页/共84页两两电电子子体体 系系自自旋旋平平行行三三重重态态两两电电子子体体系系自自旋旋自自旋旋反反平平行行独独态态由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果能表示为每个粒子的量子态的乘积，则称为能表示为每个粒子的量子态的乘积，则称为可分离态（可分离态（separable state)；反之，称为；反之，称为纠纠缠态缠态(entangled state)7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）第80页/共84页 自旋为自旋为 的二粒子体系的的二粒子体系的4 4个归一化的纠缠个归一化的纠缠态可如下构成态可如下构成可以证明，这四个纠缠态构成二体算符可以证明，这四个纠缠态构成二体算符 的共同本征态，称为的共同本征态，称为B Bell基。基。7.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）第81页/共84页 表：Bell基 Bell 基-1-1-1-1+1+1+1+17.8 7.8 两个电子的自旋函数两个电子的自旋函数（续）第82页/共84页作作 业业周世勋教材：7.2,7.3,7.4,7.5,7.6,7.8设氢原子处于设氢原子处于 状态中，求：状态中，求：1.归一化波函数归一化波函数2.能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率及能量的平均值；可能值的概率及能量的平均值；3.角动量平方有无确定值？如果有，求其本征值；角动量平方有无确定值？如果有，求其本征值；4.角动量的角动量的z分量有无确定值？如果没有，求其可能分量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率及的平均值。值和取这些可能值的概率及的平均值。5.自旋角动量的自旋角动量的z分量有无确定值？如果没有，求其分量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率及的平均值。可能值和取这些可能值的概率及的平均值。第83页/共84页感谢您的观看！第84页/共84页