主成分分析实例及含义讲解.pptx

1汇报什么？假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，比如固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等。如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都原封不动地摆出去吗？当然不能。你必须要把各个方面作出高度概括，用一两个指标简单明了地把情况说清楚。第1页/共106页2主成分分析每个人都会遇到有很多变量的数据。比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据；各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的变量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述。本章就介绍两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法：主 成 分 分 析（principal principal component component analysisanalysis）和 因 子 分 析（factor factor analysisanalysis）。实际上主成分分析可以说是因子分析的一个特例。在引进主成分分析之前，先看下面的例子。第2页/共106页3成绩数据（student.sav）100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。第3页/共106页4从本例可能提出的问题目前的问题是，能不能把这个数据的6 6个变量用一两个综合变量来表示呢？这一两个综合变量包含有多少原来的信息呢？能不能利用找到的综合变量来对学生排序呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对企业，对学校进行分析、排序、判别和分类等问题。第4页/共106页5空间的点例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是6维空间中的一个点。我们希望把6维空间用低维空间表示。先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维正态的假定下是可能的）那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。第5页/共106页6第6页/共106页7椭球的长短轴当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。第7页/共106页8第8页/共106页9主轴和主成分对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成了。注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分(principalcomponent)。第9页/共106页10主成分之选取正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定。第10页/共106页11主成分分析的数学要要寻寻找找方方差差最最大大的的方方向向。即即使使得得向向量量X的的线线性性组组合合aX的的方方差最大的方向差最大的方向a.而而Var(aX)=aCov(X)a;由由于于Cov(X)未未知知；于于是是用用X的的样样本本相相关关阵阵R来来近近似似.因因此此，要要寻寻找找向向量量a使使得得aRa最最大大(注注意意相关阵和协方差阵差一个常数相关阵和协方差阵差一个常数记得相关阵和特征值问题吗记得相关阵和特征值问题吗?回顾一下吧回顾一下吧!选择几个主成分呢选择几个主成分呢?要看要看“贡献率贡献率.”第11页/共106页12对于我们的数据，SPSSSPSS输出为这里的Initial Eigenvalues就是这里的六个主轴长度，又称特征值（数据相关阵的特征值）。头两个成分特征值累积占了总方差的81.142%。后面的特征值的贡献越来越少。第12页/共106页13特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出第13页/共106页14怎么解释这两个主成分。前面说过主成分是原始六个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？SPSSSPSS可以输出下面的表。这里每一列代表一个主成分作为原来变量线性组合的系数（比例）。比如第一主成分为数学、物理、化学、语文、历史、英语这六个变量的线性组合，系数（比例）为-0.806,-0.674,-0.675,0.893,0.825,0.836。第14页/共106页15如用x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4,x x5 5,x x6 6分别表示原先的六个变量，而用y y1 1,y y2 2,y y3 3,y y4 4,y y5 5,y y6 6表示新的主成分，那么，第一和第二主成分为这些系数称为主成分载荷（loading），它表示主成分和相应的原先变量的相关系数。比如y1表示式中x1的系数为-0.806，这就是说第一主成分和数学变量的相关系数为-0.806。相关系数(绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。可以看得出，第一主成分对各个变量解释得都很充分。而最后的几个主成分和原先的变量就不那么相关了。第15页/共106页16可以把第一和第二主成分的载荷点出一个二维图以直观地显示它们如何解释原来的变量的。这个图叫做载荷图。第16页/共106页17该图左面三个点是数学、物理、化学三科，右边三个点是语文、历史、外语三科。图中的六个点由于比较挤，不易分清，但只要认识到这些点的坐标是前面的第一二主成分载荷，坐标是前面表中第一二列中的数目，还是可以识别的。第17页/共106页18因子分析主成分分析从原理上是寻找椭球的所有主轴。因此，原先有几个变量，就有几个主成分。而因子分析是事先确定要找几个成分，这里叫因子（factor）（比如两个），那就找两个。这使得在数学模型上，因子分析和主成分分析有不少区别。而且因子分析的计算也复杂得多。根据因子分析模型的特点，它还多一道工序：因子旋转（factorrotation）；这个步骤可以使结果更好。当然，对于计算机来说，因子分析并不比主成分分析多费多少时间。从输出的结果来看，因子分析也有因子载荷（factorloading）的概念，代表了因子和原先变量的相关系数。但是在因子分析公式中的因子载荷和主成分分析中的因子载荷位置不同。因子分析也给出了二维图；但解释和主成分分析的载荷图类似。第18页/共106页19主成分分析与因子分析的公式上的区别主成分分析主成分分析因子分析因子分析(m ex=eigen(cor(z)；ex$values1 2.87331359 1.79666009 0.21483689 0.09993405 0.01525537$vectors house services employ school poppop 0.3427304-0.60162927 0.05951715-0.20403274 0.6894972617school 0.4525067 0.40641449 0.68882245 0.35357060 0.1748611748employ 0.3966948-0.54166500 0.24795775-0.02293716-0.6980136963services 0.5500565 0.07781686-0.66407565 0.50038572-0.0001235807house 0.4667384 0.41642892-0.13964890-0.76318182-0.0824254824 sweep(ex$ve,2,sqrt(ex$va),*)载荷载荷 house services employ school poppop 0.5809571-0.8064212 0.02758650-0.064499538 8.516163e-02school 0.7670373 0.5447561 0.31927265 0.111771968 2.159757e-02employ 0.6724314-0.7260453 0.11492966-0.007250974-8.621352e-02services 0.9323926 0.1043054-0.30780239 0.158183675-1.526378e-05house 0.7911612 0.5581795-0.06472796-0.241259690-1.018059e-02第53页/共106页54正交性验证正交性验证 t(ex$ve)%*%ex$ve house services employ school pop house 1.00e+00 -5.55e-17 6.9e-17 -1.11e-16 0.00e+00 services -5.55e-17 1.00e+00 4.16e-17 0.00e+00 -8.33e-17 employ 6.94e-17 4.16e-17 1.00e+00 2.78e-17 5.38e-17 school -1.11e-16 0.00e+00 2.78e-17 1.00e+00 -1.39e-17 pop 0.00e+00 -8.33e-17 5.38e-17 -1.39e-17 1.00e+00第54页/共106页55相关阵的特征值:(R输出)2.8733 1.7967 0.2148 0.0999 0.0153特征向量矩阵(列向量)A(R输出)0.343-0.6016 0.0595-0.2040 0.6894970.453 0.4064 0.6888 0.3536 0.1748610.397-0.5417 0.2480-0.0229-0.6980140.550 0.0778-0.6641 0.5004-0.0001240.467 0.4164-0.1396-0.7632-0.082425第55页/共106页56第56页/共106页57The SAS System 11:15 Sunday,September 22,2002Eigenvalues of the Correlation Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumulative PRIN1 2.87331 1.07665 0.574663 0.57466 PRIN2 1.79666 1.58182 0.359332 0.93399 PRIN3 0.21484 0.11490 0.042967 0.97696 PRIN4 0.09993 0.08468 0.019987 0.99695 PRIN5 0.01526 .0.003051 1.00000 Eigenvectors PRIN1 PRIN2 PRIN3 PRIN4 PRIN5 X1 0.342730 0.601629 0.059517 0.204033 0.689497 X2 0.452507 -.406414 0.688822 -.353571 0.174861 X3 0.396695 0.541665 0.247958 0.022937 -.698014 X4 0.550057 -.077817 -.664076 -.500386 -.000124 X5 0.466738 -.416429 -.139649 0.763182 -.082425(SAS输出)第57页/共106页58销售人员数据销售人员数据(salesmen.sav)（50个观测值）个观测值）销售增长 销售利润 新客户销售额 创造力 机械推理 抽象推理 数学推理93.0096.0097.809.0012.009.0020.0088.8091.8096.807.0010.0010.0015.0095.00100.3099.008.0012.009.0026.00101.30103.80106.8013.0014.0012.0029.00102.00107.80103.0010.0015.0012.0032.0095.8097.5099.3010.0014.0011.0021.0095.5099.5099.009.0012.009.0025.00110.80122.00115.3018.0020.0015.0051.00102.80108.30103.8010.0017.0013.0031.00106.80120.50102.0014.0018.0011.0039.00103.30109.80104.0012.0017.0012.0032.0099.50111.80100.3010.0018.008.0031.00103.50112.50107.0016.0017.0011.0034.0099.50105.50102.308.0010.0011.0034.00第58页/共106页59特征值、累积贡献率特征值、累积贡献率第59页/共106页60特征值图特征值图第60页/共106页61二主成分因子负荷图二主成分因子负荷图第61页/共106页62主成分的因子负荷主成分的因子负荷(每列平方和为相应特征值每列平方和为相应特征值,而每列除以相应特而每列除以相应特征值的平方根为相应的特征向量征值的平方根为相应的特征向量)这是主成分与各个变量的相关系这是主成分与各个变量的相关系数数有的书把它当成特征向量了有的书把它当成特征向量了SPSS没有给出特征向量没有给出特征向量第62页/共106页63The SAS System Eigenvalues of the Correlation Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumulative PRIN1 5.03460 4.10108 0.719228 0.71923 PRIN2 0.93352 0.43560 0.133359 0.85259 PRIN3 0.49792 0.07667 0.071131 0.92372 PRIN4 0.42125 0.34021 0.060178 0.98390 PRIN5 0.08104 0.06070 0.011577 0.99547 PRIN6 0.02034 0.00900 0.002906 0.99838 PRIN7 0.01134 .0.001620 1.00000 Eigenvectors PRIN1 PRIN2 PRIN3 PRIN4 PRIN5 PRIN6 PRIN7 SALE 0.433672 -.111754 -.075489 -.042373 0.632494 -.336596 -.527825 BENEFIT 0.420214 0.029287 -.442479 0.010753 -.000118 0.785342 -.099483 NEWSALE 0.421051 0.009202 0.204189 -.324928 -.701026 -.156811 -.399164 CREATIV 0.294286 0.668416 0.451492 -.302712 0.261008 0.114171 0.299960 MECHD 0.349092 0.294944 0.005922 0.846604 -.174263 -.196909 0.072311 ABSD 0.289167 -.642378 0.603780 0.153674 0.086959 0.236261 0.228444 MATHD 0.407404 -.200368 -.434040 -.246013 -.049583 -.371111 0.636224(SAS输出)第63页/共106页64后面是因子分析后面是因子分析(FactorAnalysis)第64页/共106页65因子分析因子分析(FactorAnalysis)第65页/共106页66男子径赛记录数据男子径赛记录数据(MTF,p384)100m 200m 400m 800m 1500m 5000m 10000m Marathon10.3920.8146.841.813.7014.0429.36137.72 argentin 10.3120.0644.841.743.5713.2827.66128.30australi 10.4420.8146.821.793.6013.2627.72135.90austria 10.3420.6845.041.733.6013.2227.45129.95belgium 10.2820.5845.911.803.7514.6830.55146.62bermuda 10.2220.4345.211.733.6613.6228.62133.13brazil 女子径赛记录数据女子径赛记录数据(FTF,p34)100m 200m 400m 800m 1500m 3000m Marathon11.6122.9454.502.154.439.79178.52argentin 11.2022.3551.081.984.139.08152.37australi11.4323.0950.621.994.229.34159.37austria 11.4123.0452.002.004.148.88157.85belgium 11.4623.0553.302.164.589.81169.98bermuda 11.3123.1752.802.104.499.77168.75brazil.第66页/共106页67人口普查数据人口普查数据(census,p383)5.9414.22.272.272.911.5213.1.60.752.622.6012.71.241.111.724.0115.21.65.813.02(两个方法区别不大)股票数据股票数据(stock,p382).00.00.00.04.00.03-.04.00-.01.04.12.06.09.09.08.06.03.07.01.02.第67页/共106页681995中国社会数据中国社会数据(317.sav)变量:人均GDP(元)新增固定资产(亿元)城镇居民人均年可支配收入(元)农村居民家庭人均纯收人(元)高等学校数(所)卫生机构数(个)地区:北京 天津 河北 山西 内蒙 辽宁 吉林 黑龙江 上海 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 广西 海南 四川 贵州 云南 陕西 甘肃 青海 宁夏 新疆 (296矩阵)北京 10265 30.81 6235 3223 65 4955天津 8164 49.13 4929 2406 21 3182河北 3376 77.76 3921 1668 47 10266山西 2819 33.97 3305 1206 26 5922内蒙 3013 54.51 2863 1208 19 4915.于秀林书上说可有三个因子:收入因子,社会因子,投资因子第68页/共106页6935家中国上市公司2000年年报数据(Chcomp.sav)变量:净资产收益率%,总资产报酬率%,资产负债率%,总资产周转率,流动资产周转率,已获利息倍数,销售增长率%,资本积累率%公司:深能源,深南电,富龙热力,穗恒运,粤电力,韶能股份,惠天热电,原水股份,大连热电,龙电股份,华银电力,长春经开,兴业房产,金丰投资,新黄 浦,浦东金桥,外高桥,中华企业,渝开发,辽房天,粤宏远,ST中福,倍特高新,三木集团,寰岛实业,中关 村,中兴通讯,长城电脑,青鸟华光,清华同方,永鼎光缆,宏图高科,海星科技,方正科技,复华实业(358矩阵)深能源16.8512.3542.32.371.787.1845.7354.5深南电22.0015.3046.51.761.7715.6748.1119.41富龙热力8.977.9830.56.17.5810.4317.809.44.第69页/共106页70SpearmansExample有一组古典文学、法语、英语、数学和音乐的测验成绩，从它们的相关性表明存在一个潜在的“智力”因子（F1）。而另一组变量，表示身体健康的得分，只要有效就可以对应另一个潜在的因子（F2）。记这些变量为(X1,Xp).我要寻求下面这样的结构：第70页/共106页71第71页/共106页72正交因子模型：正交因子模型：X-m m=AF+e em mi=变量变量i的均值的均值e ei=第第i个特殊因子个特殊因子Fi=第第i个公共因子个公共因子aij=第第i个变量在个变量在第第j个因子上的载荷个因子上的载荷不能观测的值满足下列条件：不能观测的值满足下列条件：F和和e e独立独立E(F)=0,Cov(F)=IE(e e)=0,Cov(e e)=Y Y,Y Y是对角矩阵是对角矩阵第72页/共106页73F为公共因子向量,每个公共因子(如Fi)是对模型中每个变量都起作用的因子;而e e为特殊因子向量,每个特殊因子(如e ei)只对一个变量(第i个)起作用.第73页/共106页74因子分析的方法在于估计因子分析的方法在于估计S S=AA+Y Y和和Y Y,再分解以得再分解以得到到A.X的协方差阵的协方差阵S S可以可以分解成分解成这里这里l l1 l l2 l lp为为S S的特征值的特征值;而而e1,ep为相为相应的特征向量应的特征向量(e1,ep为主成分的系数为主成分的系数,因此称因此称为主成分法为主成分法).上面分解总是取和数的重要的头上面分解总是取和数的重要的头几项来近似几项来近似.第74页/共106页75X的协方差阵的协方差阵S S可以近似为可以近似为(如如Y Y忽略忽略)如如Y Y不忽略不忽略,S S可以近似为可以近似为应用中应用中,S,S可以用样本相关阵可以用样本相关阵R代替代替.第75页/共106页76正交模型正交模型X=m m+AF+e e的协方差结构的协方差结构根据前面模型，可以得出下面结果：根据前面模型，可以得出下面结果：上面上面s sii2=S Sjaij2+y yi2中中,S Sjaij2称为称为共性方差共性方差(公共方差公共方差或或变量共同度变量共同度common variance,communalities)，而，而y yi2称为称为特殊方差特殊方差.变量共同度刻画全部公共因子对变量变量共同度刻画全部公共因子对变量Xi的总方差所做的贡献的总方差所做的贡献.第76页/共106页77的统计意义就是第i个变量与第j个公共因子的相关系数,表示Xi依赖Fj的份量,这里eij是相应于特征值l li的特征向量ei的第j个分量.因子载荷阵中各列元素的平方和Sj=S Siaij2称为公共因子Fj对X诸变量的方差贡献之总和因子载荷第77页/共106页78除主成分法外还有最大似然法来估计除主成分法外还有最大似然法来估计A,m,m和和Y Y(在多元正在多元正态分布的假定下态分布的假定下).).当然当然,还有其他方法还有其他方法(有些互相类似有些互相类似).).第78页/共106页79令令T为任意为任意m正交方阵正交方阵(TT=TT=I),则则X-m m=AF+e=e=ATTF+e=Ae=A*F*+e,e,这里这里A A*=AT,F*=TF.因此因此S S=AA+Y Y=ATTA+Y Y=(A*)(A*)+Y Y也就是说也就是说,因子载荷因子载荷A只由一个正交阵只由一个正交阵T决定决定.载荷载荷A A*=AT与与A都给出同一个表示都给出同一个表示.由由AA=(A*)(A*)对角元给出的共性方差对角元给出的共性方差,也不因也不因T的选择而改变的选择而改变.第79页/共106页80正交变换正交变换T相当于相当于刚体刚体旋转旋转(或反射或反射),因子载荷因子载荷A的正交变换的正交变换AT称为称为因子旋转因子旋转估计的协方差阵或相关阵估计的协方差阵或相关阵,残差阵残差阵,特殊方差及共性方差都不特殊方差及共性方差都不随旋转而变随旋转而变.这里这里“残差阵残差阵”为协方差阵或相关阵与估计的为协方差阵或相关阵与估计的AA+Y Y之差之差.第80页/共106页81因子旋转的因子旋转的一个一个准则为最大方差准则准则为最大方差准则.它使旋转后的因子载荷的总方差达到最大它使旋转后的因子载荷的总方差达到最大.如如即要选变换即要选变换T使下式最大使下式最大(计算机循环算法计算机循环算法)第81页/共106页82需要由需要由X=AF变成变成F=b bX.或或Fj=b bj1X1+b bjpXp j=1,m,称为称为因子得分因子得分(函数函数).这通常用加权最小二乘法或回归法等这通常用加权最小二乘法或回归法等来求得来求得.第82页/共106页83总结总结模型模型X=m m+AF+e e因子分析的步骤因子分析的步骤1根据问题选取原始变量根据问题选取原始变量2求其相关阵求其相关阵R,探讨其相关性探讨其相关性3从从R求解初始公共因子求解初始公共因子F及因子载荷矩阵及因子载荷矩阵A(主成分法或最大似然法主成分法或最大似然法)4因子旋转因子旋转5由由X=AF到到F=bX(因子得分函数因子得分函数)6根据因子得分值进行进一步分析根据因子得分值进行进一步分析第83页/共106页84回到数值例子回到我们成绩例子.第84页/共106页85洛衫矶对洛衫矶对12个人口调查区的数据个人口调查区的数据(data15-01)编号 总人口 总雇员数 中等校 专业服务 中等房价 平均校龄 项目数 1570012.8250027025000 2100010.96001010000 334008.81000109000 4380013.6170014025000 5400012.8160014025000 682008.326006012000 7120011.44001016000 8910011.533006014000 9990012.534001801800010960013.73600390250001196009.63300801200012940011.4400010013000第85页/共106页86StatisticsDataReductionFactor:Variables:pop,school,employ,service,houseDescriptive:Statistics(UnivariateDescriptives,Initialsolution),CorrelationMatrix(Coefficients,Significancelevels)Extraction:Method(Principalcomponent),Analyze(Correlationmatrix),Extract(Number=2factors)Display(Unrotatedfactorsolution,Screeplot),MaximumIterationsfor(25)Rotation:Method(Varmax),Display(Rotatedsolusion,Loadingplot),MaximumIterationsfor(25)Score:Saveasvariables,Method(Regression),DisplayfactorscorecoefficientmatrixOptions:MissingValue(ExcludecasesListwise),Coefficientdisplayformat(Sortedbysize)第86页/共106页87第87页/共106页88第88页/共106页89共同度共同度S Sjaij第89页/共106页90第90页/共106页91旋转前的因子载荷旋转前的因子载荷第91页/共106页92旋转后的因子载荷旋转后的因子载荷第一主因子对中等房价第一主因子对中等房价,中等校平均校龄中等校平均校龄,专业服务项目有绝对值较大专业服务项目有绝对值较大的载荷的载荷(代表一般社会福利代表一般社会福利-福利条件因子福利条件因子);而第二主因子对总人口和而第二主因子对总人口和总雇员数有较大的载荷总雇员数有较大的载荷(代表人口代表人口-人口因子人口因子).正交变换阵正交变换阵第92页/共106页93旋转后的旋转后的因子载荷图因子载荷图第93页/共106页94因子得分的计算基础因子得分的计算基础(F=b bX)中的中的b b。把把n个观测值代入得到个观测值代入得到FACT_1和和FACT_2存入数据对每个观测值有存入数据对每个观测值有两个因子得分两个因子得分(一点一点)Fj=b bj1X1+b bj5X5,j=1,2第94页/共106页95因子得分之间不相关因子得分之间不相关第95页/共106页96销售人员数据销售人员数据(salesmen.sav)（50个观测值）个观测值）销售增长 销售利润 新客户销售额 创造力 机械推理 抽象推理 数学推理93.0096.0097.809.0012.009.0020.0088.8091.8096.807.0010.0010.0015.0095.00100.3099.008.0012.009.0026.00101.30103.80106.8013.0014.0012.0029.00102.00107.80103.0010.0015.0012.0032.0095.8097.5099.3010.0014.0011.0021.0095.5099.5099.009.0012.009.0025.00110.80122.00115.3018.0020.0015.0051.00102.80108.30103.8010.0017.0013.0031.00106.80120.50102.0014.0018.0011.0039.00103.30109.80104.0012.0017.0012.0032.0099.50111.80100.3010.0018.008.0031.00103.50112.50107.0016.0017.0011.0034.0099.50105.50102.308.0010.0011.0034.00第96页/共106页97第97页/共106页98第98页/共106页99第99页/共106页100第100页/共106页101第101页/共106页102旋转后的因子载荷旋转后的因子载荷第一主因子对除了抽象推理和数学推理之外的有绝对值较大的载荷第一主因子对除了抽象推理和数学推理之外的有绝对值较大的载荷(创造机械因子创造机械因子);而第二主因子为数学抽象因子而第二主因子为数学抽象因子.但两个因子解释利润但两个因子解释利润和新销售差不多和新销售差不多.第102页/共106页103第103页/共106页104第104页/共106页105结束主成分和因子分析后面是些附录内容，不必认真返回选择？第105页/共106页106谢谢您的观看！第106页/共106页