排列、组合和二项式定理.ppt
排列、组合排列、组合 和二项式定理和二项式定理人大附中 李秋生n n分类计数原理、分步计数原理分类计数原理、分步计数原理n n排列排列 排列数排列数n n 排列数应用排列数应用n n组合组合 组合数组合数n n 组合数应用组合数应用n n二项式定理二项式定理知识结构知识结构教学内容教学内容n n不仅有着许多直接应用，还是学习概率理不仅有着许多直接应用，还是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，因此它也是培养学生思维颖性与独特性，因此它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中多项能力的不可多得的好素材；作为初中多项式乘法公式的推广式乘法公式的推广二项式定理，不仅二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系。与后面概率中的二项分布有着密切联系。从教学中的一些现象谈起从教学中的一些现象谈起n n上课：听讲轻松做题难上课：听讲轻松做题难n n考试：入手容易算对难考试：入手容易算对难n n一道题目的困惑：一道题目的困惑：n n有有5名旅行者选择旅店住宿，共有名旅行者选择旅店住宿，共有8家旅店家旅店可任意选择，那么其中任意两人不住进同可任意选择，那么其中任意两人不住进同一旅店的住宿方式有多少种？恰有一旅店的住宿方式有多少种？恰有3人住进人住进同一家旅店的住宿方式有多少种？同一家旅店的住宿方式有多少种？听讲容易做题难听讲容易做题难-章节知识特章节知识特点点n n计数问题（分类、分步计数原理，排列、计数问题（分类、分步计数原理，排列、组合）无论是在科学研究中还是在生活实组合）无论是在科学研究中还是在生活实践中都是十分常见而又基础的。践中都是十分常见而又基础的。n n无论问题提出、思维过程还是解答表述无论问题提出、思维过程还是解答表述，都是学生身边的、经历过的、熟悉的。都是学生身边的、经历过的、熟悉的。n n正面：提高兴趣，增强自信正面：提高兴趣，增强自信n n反面：注重对学生的思维习惯加以梳理、反面：注重对学生的思维习惯加以梳理、总结总结解题的准确性解题的准确性-思维的严谨性和条理性思维的严谨性和条理性n n虽然排列和组合所涉及的基础知识比较少，虽然排列和组合所涉及的基础知识比较少，但由于抽象性、思维性都较强但由于抽象性、思维性都较强,也可以说是也可以说是高中数学中较难学的一个内容。高中数学中较难学的一个内容。为什么讲排列和组合？为什么讲排列和组合？第三个问题引起的思考为什么要讲排列、组合为什么要讲排列、组合n n排列、组合是常用的计数问题模型排列、组合是常用的计数问题模型n n有了排列、组合等常见模型，可以在反复有了排列、组合等常见模型，可以在反复应用中减少重复工作量、重复思维，提高应用中减少重复工作量、重复思维，提高效率效率n n计数问题有很多种常见模型，解决问题的计数问题有很多种常见模型，解决问题的基础是分类计数原理与分步计数原理基础是分类计数原理与分步计数原理n n在遇到新的计数问题时，自然有必要去想在遇到新的计数问题时，自然有必要去想一想它（或者其一部分）是否可以归于某一想它（或者其一部分）是否可以归于某个模型个模型解决计数问题应注重的思想方法解决计数问题应注重的思想方法n n分类讨论的思想分类讨论的思想n n转化的思想转化的思想分类讨论分类讨论n n贯穿中学数学学习贯穿中学数学学习n n绝对值、几何、参数绝对值、几何、参数绝对值、几何、参数绝对值、几何、参数n n不等式、函数不等式、函数不等式、函数不等式、函数n n对学生的分类讨论实施能力的总结和提升对学生的分类讨论实施能力的总结和提升n n序：一个维度，一个主元序：一个维度，一个主元序：一个维度，一个主元序：一个维度，一个主元分类讨论分类讨论n n(5)从从1,3,5,7中任取中任取2个数字个数字,从从0,2,4,6,8中中任取任取2个数字个数字,组成没有重复数字的四位数组成没有重复数字的四位数,其中能被其中能被5整除的四位数共有整除的四位数共有 个个 n n二维：有二维：有5有有0，有，有5无无0，无，无5有有0n n主元：个位为主元：个位为0，个位为，个位为5（再根据需要细（再根据需要细分，选分，选0与不选与不选0）n n在在6名内科医生和名内科医生和4名外科医生中，内科主名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现在要组成人医疗任和外科主任各一名，现在要组成人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种方小组送医下乡，依下列条件各有多少种方法：法：n n既有内科医生又有外科医生既有内科医生又有外科医生（间接考察）（间接考察）n n既有主任又有外科医生既有主任又有外科医生n n情形情形1：有外科主任：有外科主任n n情形情形2：没有外科主任，则必须有内科主任，：没有外科主任，则必须有内科主任，再间接考察再间接考察n n教练要从教练要从6名选手中确定名选手中确定4 100接力名单接力名单，要求选手甲不能跑第一棒，选手乙不能跑要求选手甲不能跑第一棒，选手乙不能跑最后一棒，那么有多少种不同的报名结果最后一棒，那么有多少种不同的报名结果？n n首先，在运用乘法原理时意识到需要分类首先，在运用乘法原理时意识到需要分类 n n情形情形1：甲跑最后一棒：甲跑最后一棒n n情形情形2：甲跑第二棒或第三棒：甲跑第二棒或第三棒n n情形情形3：甲没有入选：甲没有入选其他的分类方法其他的分类方法n n情形情形1：最后一棒是甲：最后一棒是甲n n情形情形2：最后一棒不是甲，：最后一棒不是甲，则则则则(最后一棒最后一棒最后一棒最后一棒)4)4 (第一棒第一棒第一棒第一棒)4)4 4 4 3 3n n一天要排语文、数学、英语、生物、体育、一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课，其中上午四节，下午两节。班会六节课，其中上午四节，下午两节。要求上午第一节不排体育，数学排在上午，要求上午第一节不排体育，数学排在上午，班会排在下午，有多少种不同的排课方法班会排在下午，有多少种不同的排课方法？n n可能的某种思维过程可能的某种思维过程n n数学在第几节（数学在第几节（数学在第几节（数学在第几节（1 1；2424）n n体育在第几节（上午；下午）体育在第几节（上午；下午）体育在第几节（上午；下午）体育在第几节（上午；下午）n n体育在上午还是下午：体育在上午还是下午：3 3 2 3!+2 4!=156n n第一节排数学吗：第一节排数学吗：2 4!+3 3 2 3!=156转化的思想转化的思想n n建立模型建立模型n n排列、组合排列、组合排列、组合排列、组合n n分组分组分组分组n n设设设设A=a,b,cA=a,b,c，B=3,4,5,6,7B=3,4,5,6,7则从集合则从集合则从集合则从集合A A到集合到集合到集合到集合B B的映射一共有的映射一共有的映射一共有的映射一共有 个个个个。n n放球、选学校、比赛报名放球、选学校、比赛报名放球、选学校、比赛报名放球、选学校、比赛报名n n四名优等生保送到三所学校去，每所学校四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是至少得一名，则不同的保送方案的总数是_.n n答案：答案：36转化的思想转化的思想n n对应的方法对应的方法-一一对应一一对应n n7个人排两行照相，前排个人排两行照相，前排3人，后排人，后排4人人n n屋子里散放着屋子里散放着7把椅子，把椅子，7个人坐个人坐n n用用19组成满足百位小于十位、十位小于个组成满足百位小于十位、十位小于个位的三位数的个数位的三位数的个数n n7个人照相个人照相,中间高中间高,两边都逐渐降低两边都逐渐降低n n擂台赛擂台赛n n沿着沿着4 6方格表的边从左下角用方格表的边从左下角用10步走到右步走到右上角，有多少种走法上角，有多少种走法多对一的对应多对一的对应-除法原理除法原理n n组合数的推导组合数的推导n n用用19组成满足百位小于十位、十位小于个组成满足百位小于十位、十位小于个位的三位数的个数位的三位数的个数n n分组问题分组问题分组问题分组问题n n9本书分给甲、乙、丙三人本书分给甲、乙、丙三人n n(1)甲甲2本，乙本，乙3本，丙本，丙4本本n n(2)甲、乙、丙各甲、乙、丙各3本本n n(3)分成三堆，分别有分成三堆，分别有2本、本、3本、本、4本本n n(4)分成三堆，每堆分成三堆，每堆3本本考点诠释考点诠释n n两个原理两个原理 n n两个概念两个概念 n n两类基本公式两类基本公式 n n组合数的基本性质组合数的基本性质 n n排列组合的综合应用排列组合的综合应用 n n二项式定理二项式定理分类计数原理分类计数原理n n学生有基础，易接受学生有基础，易接受n n分类讨论，互斥事件分类讨论，互斥事件n n分类注意事项：不重不漏分类注意事项：不重不漏n n建议单就分类讨论做足功课，切勿急噪，建议单就分类讨论做足功课，切勿急噪，逐步了解各种分类讨论的思维方式逐步了解各种分类讨论的思维方式分步计数原理分步计数原理n n分类还是分步？分类还是分步？n n相互独立事件，条件概率相互独立事件，条件概率n n如何分步？把自己假想成为任务实施者如何分步？把自己假想成为任务实施者n n有有5名旅行者选择旅店住宿，共有名旅行者选择旅店住宿，共有8家旅店家旅店可任意选择，那么恰有可任意选择，那么恰有3人住进同一家旅店人住进同一家旅店的住宿方式有多少种？的住宿方式有多少种？运用分步计数原理的注意事项运用分步计数原理的注意事项n n确实将任务完成、并且不重复确实将任务完成、并且不重复n n如何检验：如何检验：n n会不会有两个过程的结果相同？会不会有两个过程的结果相同？会不会有两个过程的结果相同？会不会有两个过程的结果相同？n n能不能从结果反推出完成过程？能不能从结果反推出完成过程？能不能从结果反推出完成过程？能不能从结果反推出完成过程？n n从从6双手套中取出双手套中取出4只，则至少取出一双的方只，则至少取出一双的方法有法有 种？种？（垫底法）（垫底法）n n如图，三行三列的方阵中有如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的取法有列的取法有 种。种。n n 排列排列n n概念：不同元素概念：不同元素n n解题要点：解题要点：n n特殊元素特殊位置特殊元素特殊位置特殊元素特殊位置特殊元素特殊位置n n相邻与不相邻相邻与不相邻相邻与不相邻相邻与不相邻n n“减法原理减法原理减法原理减法原理”：从反面想一想：从反面想一想：从反面想一想：从反面想一想n n“除法原理除法原理除法原理除法原理”：重复计数：重复计数：重复计数：重复计数n n12(03,北京北京)某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5个节目个节目已排成节目单已排成节目单,开演前又增加了两个新节目开演前又增加了两个新节目,如果将这两个新节目插入原节目单中如果将这两个新节目插入原节目单中,那么那么不同的插法种数为不同的插法种数为()n n(A)42.(B)30.(C)20.(D)12.n n在一块并排在一块并排10垄田地中，选择两垄分别种垄田地中，选择两垄分别种植植A、B两种作物，要求间隔不小于两种作物，要求间隔不小于6垄，则垄，则有多少种不同的种植方案？有多少种不同的种植方案？n n24.进行进行8次射击次射击,命中命中3次次,其中恰有其中恰有2次连续次连续命中的情形共有命中的情形共有 种种.n n25.一个车库有一排连续的一个车库有一排连续的12个车位，早上个车位，早上来了来了8辆相同的车停下，如果要求留出一辆辆相同的车停下，如果要求留出一辆SUV（须占两个连续的车位）的位置，那么（须占两个连续的车位）的位置，那么这这8辆车有多少种停法？辆车有多少种停法？组合组合n n组合数的概念和推导组合数的概念和推导组合数的概念和推导组合数的概念和推导n n组合数公式组合数公式组合数公式组合数公式n n组合数性质组合数性质组合数性质组合数性质计数综合问题计数综合问题n n先选后排先选后排n n7.从从3名男生和名男生和3名女生中，选出名女生中，选出3名分别担名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少任语文、数学、英语的课代表，要求至少有有1名女生，则选派方案共有（名女生，则选派方案共有（）n n（A）19种种 （B）54种种 n n（C）114种种 （D）120种种n n19.(06陕西陕西)某校从某校从8名教师中选派名教师中选派4名教师名教师同时去同时去4个边远地区支教个边远地区支教(每地每地1人人),其中甲其中甲和乙不同去和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去甲和丙只能同去或同不去,则则不同的选派方案共有不同的选派方案共有 种种 二项式定理二项式定理n n二项式定理作为初中一种多项式乘法公式的复习二项式定理作为初中一种多项式乘法公式的复习二项式定理作为初中一种多项式乘法公式的复习二项式定理作为初中一种多项式乘法公式的复习和推广和推广和推广和推广n n二项式定理的学习过程可以看作是应用两个计数二项式定理的学习过程可以看作是应用两个计数二项式定理的学习过程可以看作是应用两个计数二项式定理的学习过程可以看作是应用两个计数原理解决问题的典型过程原理解决问题的典型过程原理解决问题的典型过程原理解决问题的典型过程n n由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合恒等式，这对深化组合数定理可以导出一些组合恒等式，这对深化组合数定理可以导出一些组合恒等式，这对深化组合数定理可以导出一些组合恒等式，这对深化组合数的认识有好处；它与后面概率中的独立重复试验的认识有好处；它与后面概率中的独立重复试验的认识有好处；它与后面概率中的独立重复试验的认识有好处；它与后面概率中的独立重复试验和二项分布有着密切联系因此可以说二项式定和二项分布有着密切联系因此可以说二项式定和二项分布有着密切联系因此可以说二项式定和二项分布有着密切联系因此可以说二项式定理综合性较强，具有联系不同知识内容、承上启理综合性较强，具有联系不同知识内容、承上启理综合性较强，具有联系不同知识内容、承上启理综合性较强，具有联系不同知识内容、承上启下的重要作用下的重要作用下的重要作用下的重要作用 知识结构知识结构二项式定理教学建议二项式定理教学建议n n引入时，从以前学过的平方和与立方和公引入时，从以前学过的平方和与立方和公式出发，让学生从已有的知识中结合排列式出发，让学生从已有的知识中结合排列组合知识来分析，从而引入二项式定理，组合知识来分析，从而引入二项式定理，让学生领悟从让学生领悟从“特殊到一般特殊到一般”的思想方法的思想方法 n n注意相似概念的讲解注意相似概念的讲解 n n注意利用函数图像研究二项式系数对称性注意利用函数图像研究二项式系数对称性和增减性的数形结合的思想方法和增减性的数形结合的思想方法 n n二项式定理给出的是一个恒等式，因此对二项式定理给出的是一个恒等式，因此对一些特定的值当然也成立这是解决二项一些特定的值当然也成立这是解决二项式问题的一种重要方法式问题的一种重要方法 细化二项式定理的获得过程细化二项式定理的获得过程n n1 1(a a+b b)n n是是是是n n个多项式个多项式个多项式个多项式(a a+b b)的乘法问题的乘法问题的乘法问题的乘法问题n n2 2展开式的每一项是通过展开式的每一项是通过展开式的每一项是通过展开式的每一项是通过n n步乘积构成的，每一步乘积构成的，每一步乘积构成的，每一步乘积构成的，每一步有两种选择，因此展开式的项数为步有两种选择，因此展开式的项数为步有两种选择，因此展开式的项数为步有两种选择，因此展开式的项数为2 2n n（未合并（未合并（未合并（未合并同类项之前）同类项之前）同类项之前）同类项之前）n n3 3展开式的每一项由若干个展开式的每一项由若干个展开式的每一项由若干个展开式的每一项由若干个a a和若干个和若干个和若干个和若干个b b的乘积构的乘积构的乘积构的乘积构成，成，成，成，a a和和和和b b的个数之和等于的个数之和等于的个数之和等于的个数之和等于n n，它可以表示为，它可以表示为，它可以表示为，它可以表示为a an n-k kb bk kn n4 4展开式中形为展开式中形为展开式中形为展开式中形为a an n-k kb bk k的同类项的个数是多少呢的同类项的个数是多少呢的同类项的个数是多少呢的同类项的个数是多少呢？n n5 5在展开式中共有在展开式中共有在展开式中共有在展开式中共有(n n+1)+1)种不同的同类项，根据种不同的同类项，根据种不同的同类项，根据种不同的同类项，根据加法原理，其展开式为加法原理，其展开式为加法原理，其展开式为加法原理，其展开式为分层次训练分层次训练n n正用公式正用公式n n反用公式反用公式n n合理变形后再用公式合理变形后再用公式 38，39n n待定系数待定系数n n合理赋值合理赋值 34n n构造证明构造证明n n综合应用综合应用一些试题一些试题n n递推法递推法-染色问题染色问题n n先捆绑后插空先捆绑后插空:(05辽宁辽宁)用用1,2,3,4,5,6,7,组成组成没有重复数字的八位数没有重复数字的八位数,要求要求1与与2相邻相邻,3与与4相邻相邻,5与与6相邻相邻,而而7与与8不相邻这样的八位不相邻这样的八位数共有数共有 个个.n n相同元素的排列相同元素的排列n n圆排列圆排列:25位骑士围绕着圆桌坐下位骑士围绕着圆桌坐下,从中选从中选3名骑士完成任务名骑士完成任务,那么那么3名骑士两两不相邻名骑士两两不相邻的选法有多少种的选法有多少种?排列组合与立体几何相结合排列组合与立体几何相结合n n(07广东广东)如果一个凸多面体是如果一个凸多面体是n棱锥棱锥,那么那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有多少条有多少条?这些直线中共有多少对异面直线这些直线中共有多少对异面直线?n n四面体的顶点和各棱的中点共四面体的顶点和各棱的中点共10个点个点,在其在其中取中取4个不共面的点个不共面的点,不同的取法共有不同的取法共有()种种n n(A)144(B)147(C)150(D)141排列组合与立体几何相结合排列组合与立体几何相结合n n四棱锥的四棱锥的8条棱代表条棱代表8种不同的化工产品种不同的化工产品,有有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的仓库是危险的,没有公共点的两条棱代表的没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用现打算用编号为编号为、的的4个仓库存放这个仓库存放这8种种化工产品化工产品,那么安全存放的不同方法种数为那么安全存放的不同方法种数为()n n(A)96.(B)48.(C)24.(D)0.B
