《晶体的宏观对称性》PPT课件.ppt

材料科学基础材料科学基础第二节：晶体的宏观对称性对称性对称性是晶体的基本性质之一是晶体的基本性质之一，是晶体分类的基础。对称：symmetryLatin symmetria拉丁语拉丁语 symmetriafrom Greek summetria源自源自 希腊语希腊语 summetriafrom summetros of like measure源自源自 summetros 相似的尺寸相似的尺寸材料科学基础材料科学基础“对称”相关知识对双偶（音韵和谐）对双偶（音韵和谐）对仗对偶对联对仗对偶对联新年纳余庆新年纳余庆佳节号长春佳节号长春声律启蒙声律启蒙云对雨云对雨雪对风雪对风晚照对晴空晚照对晴空来鸿对去雁来鸿对去雁宿鸟对鸣虫宿鸟对鸣虫三尺剑，六钧弓，岭北对江东。三尺剑，六钧弓，岭北对江东。春对夏，秋对冬，暮鼓对晨钟。观山对玩水，春对夏，秋对冬，暮鼓对晨钟。观山对玩水，绿竹对苍松。冯妇虎，叶公龙绿竹对苍松。冯妇虎，叶公龙 中国第一副对联材料科学基础材料科学基础一些简单对称图形对称的称的现象在自然界和我象在自然界和我们日常生活中部日常生活中部很常很常见。如蝴蝶、花冠等。如蝴蝶、花冠等动植物的形体以植物的形体以及某些用具、器皿，都常呈及某些用具、器皿，都常呈对称的称的图形。形。对称：人为对称图形自然对称图形材料科学基础材料科学基础自然界一些对称现象植物 木槿花毛茛 材料科学基础材料科学基础人为的对称图形材料科学基础材料科学基础雪花凡草木花多五出，雪花独六出材料科学基础材料科学基础雪花为什么是六角形的？雪花为什么是六角形的？古代文献中有许多关于雪花形状的描述古代文献中有许多关于雪花形状的描述早在公元前的西汉时代，韩诗外传中就指出：早在公元前的西汉时代，韩诗外传中就指出：“凡草木花多五出，雪花独六出。凡草木花多五出，雪花独六出。”六出雪花天下奇六出雪花天下奇(梅花五瓣，雪花六出）梅花五瓣，雪花六出）北周北周庾信郊行值雪庾信郊行值雪:“雪花开六出，冰珠映九光雪花开六出，冰珠映九光”唐唐元稹元稹“一枝方见秀，六出已同开一枝方见秀，六出已同开”唐唐高骈高骈“六出飞花入户时六出飞花入户时”唐唐宋之问宋之问“银树长芳六出花银树长芳六出花”；宋宋韩琦韩琦“六花耒应腊，望雪一开颜六花耒应腊，望雪一开颜”材料科学基础材料科学基础清平乐孙道徇悠悠飏飏，悠悠飏飏，做尽轻模样，做尽轻模样，夜半萧萧窗外响，夜半萧萧窗外响，多在梅边竹上。多在梅边竹上。朱楼向晓帘开，朱楼向晓帘开，六花片片飞来，六花片片飞来，无奈熏炉烟雾，无奈熏炉烟雾，腾腾扶上金钗。腾腾扶上金钗。材料科学基础材料科学基础问题的引出雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下，却雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下，却可表现出各种样的形态。可表现出各种样的形态。为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下，雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下，却可表现出各种样的形态。却可表现出各种样的形态。为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?材料科学基础材料科学基础显然然对称的称的图形必形必须由由两个以上的相同的部分两个以上的相同的部分组成。成。但是，只具有相同的部分但是，只具有相同的部分还不一定是不一定是对称的称的图形。形。如下如下图是由两个全等的三角形是由两个全等的三角形组成，但它并不是成，但它并不是对称称图形。形。对称的称的图形形还必必须符合另一个条件，符合另一个条件，那就是那就是这些相些相同的部分，通同的部分，通过一定的操作一定的操作(如旋如旋转、反映、反伸、反映、反伸)可以可以发生重复；生重复；举例：例：（1 1）蝴蝶的两个相同的部分可以通）蝴蝶的两个相同的部分可以通过垂直平分它的垂直平分它的镜面的反映，彼此重合；面的反映，彼此重合；（2 2）花冠通）花冠通过围绕一根垂直它井通一根垂直它井通过它中心的直它中心的直线旋旋转，可以多次重复其原来的形象。，可以多次重复其原来的形象。材料科学基础材料科学基础晶体学中的对称和几何对称概念是有差别的！材料科学基础材料科学基础一、对称（symmetry)概念对称称（symmetry）就是物体相同部分有）就是物体相同部分有规律的律的重复重复对称称变换（symmetryconversion）亦称）亦称对称操称操作（作（symmetryoperation），它是指：能），它是指：能够使使对称物体（或称物体（或图形）中的各个相同部分，作有形）中的各个相同部分，作有规律重复的律重复的变换动作。作。对称要素称要素（symmetryelement）则是指：在是指：在进行行对称称变换时所凭借的几何要素所凭借的几何要素点、点、线、面等。面等。材料科学基础材料科学基础对称性是晶体的基本性称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是之一，一切晶体都是对称的；但不同晶体的称的；但不同晶体的对称性往往又是互有差称性往往又是互有差异的。异的。用用处：根据晶体：根据晶体对称特点上差异来称特点上差异来对晶体晶体进行行科学的分科学的分类。注意：晶体的注意：晶体的对称性称性不不仅包含包含几何意几何意义上上对称，称，而且也包含而且也包含物理意物理意义上的上的对称。称。对于我于我们理解晶体的一系列性理解晶体的一系列性质和和识别晶体，晶体，以至以至对晶体的利用都具有重要的意晶体的利用都具有重要的意义。晶体的晶体的对称性首先最直称性首先最直观地表地表现在它在它们的几何的几何多面体外形上，以及其他方面的宏多面体外形上，以及其他方面的宏观性性质上。上。材料科学基础材料科学基础宏观对称元素和对称操作宏观晶体中所可能出现的对称要素及相应对称宏观晶体中所可能出现的对称要素及相应对称变换如下：变换如下：（1）对称中心（）对称中心（centerofsymmetry,符号符号C）：）：为一假想的几何点，相应的对称变换是对于这为一假想的几何点，相应的对称变换是对于这个点的倒反（反伸）。个点的倒反（反伸）。（2）对称面（）对称面（symmetryplane,符号符号P）：为）：为一假想的平面，相应的对称变换为对此平面的一假想的平面，相应的对称变换为对此平面的反映。反映。材料科学基础材料科学基础（3）对称称轴（symmetryaxis,符号符号L）：）：为一一假想的直假想的直线，相，相应的的对称称变换为围绕此直此直线的的旋旋转：每：每转过一定角度，各个相同部分就一定角度，各个相同部分就发生生一次重复，亦即整个物体复原需要的最小一次重复，亦即整个物体复原需要的最小转角角则称称为基基转角。由于任一物体旋角。由于任一物体旋转一周后必然一周后必然复原，因此，复原，因此，轴次次n必必为正整数，而基正整数，而基转角角a必必须要能整除要能整除360，n=360/受晶体受晶体对称定律（称定律（lawofcrystalsymmetry）限）限制。在晶体中，只可能出制。在晶体中，只可能出现轴次次为一次、二次、一次、二次、三次、四次和六次的三次、四次和六次的对称称轴，而不可能存在五，而不可能存在五次及高于六次的次及高于六次的对称称轴。材料科学基础材料科学基础（4）倒）倒转轴（rotoinversionaxis,符号符号Lni）：亦称旋）：亦称旋转反伸反伸轴，又称反，又称反轴或反演或反演轴（inversionaxis）等。）等。是一种复合的是一种复合的对称要素。它的称要素。它的辅助几何要素有两个：助几何要素有两个：一根假想的直一根假想的直线和此直和此直线上的一个定点。相上的一个定点。相应的的对称称变换就是就是围绕此直此直线旋旋转一定的角度及一定的角度及对于此定点的于此定点的倒反（反伸）。倒反（反伸）。（5）映）映转轴（rotoreflectionaxis,符号符号Lns）：亦称旋）：亦称旋转反映反映轴。也是一种复合的。也是一种复合的对称要素。它的称要素。它的辅助几何助几何要素要素为一根假想的直一根假想的直线和垂直此干和垂直此干线的一个平面；相的一个平面；相应的的对称称变换就是就是围绕此直此直线旋旋转一定的角度及一定的角度及对于于此平面反映的复合。在晶体中，只能有一次，二次，此平面反映的复合。在晶体中，只能有一次，二次，三次，四次及六次的映三次，四次及六次的映转轴。材料科学基础材料科学基础晶体的对称操作及对称要素材料科学基础材料科学基础对称轴（symmetry axis,符号Ln)材料科学基础材料科学基础11一次对称轴（无实际意义）材料科学基础材料科学基础2二次对称轴L223三次对称轴 L3材料科学基础材料科学基础四次对称轴L446六次对称轴L6材料科学基础材料科学基础不可能存在的情况材料科学基础材料科学基础对称轴之特征1）在）在Ln的周围，晶体相等部分必须有的周围，晶体相等部分必须有n个等同的（面、个等同的（面、棱、角顶）棱、角顶）晶面：4角顶：4晶棱：4L4例1材料科学基础材料科学基础例2：L2面：2角顶：2棱：2材料科学基础材料科学基础2）对称轴只能是晶体、两个面中心连线、）对称轴只能是晶体、两个面中心连线、两个相对棱中心连线、两个相对角顶的连两个相对棱中心连线、两个相对角顶的连线以及一个角顶与和它相对的面的中心的线以及一个角顶与和它相对的面的中心的连线、一个棱和它相对面中心的连线。连线、一个棱和它相对面中心的连线。对称轴之特征材料科学基础材料科学基础例1L3过其中任意一个顶点过其中任意一个顶点作底面的垂线，此垂作底面的垂线，此垂线即为一个三次对称线即为一个三次对称轴，有四个顶点，故轴，有四个顶点，故有四个三次轴。有四个三次轴。材料科学基础材料科学基础例2L4L4：两相对面中心的连线共有六个面，除2得3L2：两条相对棱中心的连线，12条，除2得6L3：两个相对角顶的连线，8个角顶，除2得4材料科学基础材料科学基础对称中心（center of symmetry)C,国际符号：i特点：对于一个点的反伸（倒反）特点：对于一个点的反伸（倒反）晶体内部一个假象点，过此点作一直线在此直晶体内部一个假象点，过此点作一直线在此直线上距中心等距离的两端必然可出现晶体上的线上距中心等距离的两端必然可出现晶体上的相等部分（面、棱、角顶）相等部分（面、棱、角顶）1）具有对称中心的晶体，每一个晶面必有另）具有对称中心的晶体，每一个晶面必有另一相等晶面与它平行反向一相等晶面与它平行反向2）晶体对称中心必为几何中心且只能有一个，）晶体对称中心必为几何中心且只能有一个，反之不成立。反之不成立。材料科学基础材料科学基础举例ABCCABABC-ABCABC-ABCABC-ABCACB-ACB材料科学基础材料科学基础对称面（P，m)特点:镜面对称相同可以把晶体分为互为镜像关系的两部分，即：物镜像材料科学基础材料科学基础检验方法(1)把相等部分上的对应点的连线是否与把相等部分上的对应点的连线是否与对称面垂直等距。对称面垂直等距。(2)对称面必过晶体的几何中心，并能把对称面必过晶体的几何中心，并能把晶体分为互为镜像关系的两部分，且垂晶体分为互为镜像关系的两部分，且垂直平分某些晶面，晶棱或包含某些晶棱直平分某些晶面，晶棱或包含某些晶棱材料科学基础材料科学基础对称面材料科学基础材料科学基础正八面体有多少对称面？材料科学基础材料科学基础旋转反伸轴()即倒转轴即倒转轴绕一直线旋转和对此直线上的一点的倒绕一直线旋转和对此直线上的一点的倒反复合操作反复合操作旋转旋转倒反或倒反倒反或倒反旋转旋转有且只有五种有且只有五种材料科学基础材料科学基础21材料科学基础材料科学基础112材料科学基础材料科学基础15264C3材料科学基础材料科学基础135462材料科学基础材料科学基础等效情况等效情况材料科学基础材料科学基础倒转轴倒转轴（rotoinversion axis,符号符号 )材料科学基础材料科学基础四次反轴材料科学基础材料科学基础三个四次反轴的位置ABCDyxzEFGHOXOY OZ材料科学基础材料科学基础晶体中存在四次反轴的例子金刚石闪锌矿材料科学基础材料科学基础晶体中的宏观对称元素和对称操作问题：是不是每一种晶问题：是不是每一种晶体中所有这些对称要素体中所有这些对称要素都有？都有？如有，有多少？如有，有多少？材料科学基础材料科学基础正四面体和正八面体正四面体和正八面体材料科学基础材料科学基础举例：找出举例：找出正四面体中的对称要素正四面体有正四面体有6个对称面，个对称面，4个三次对称轴个三次对称轴,3个四次反轴个四次反轴六个对称面的位置：六个对称面的位置：过其中任意一条棱垂直于底面的一个平过其中任意一条棱垂直于底面的一个平面。共有六条棱，共有面。共有六条棱，共有6个对称面个对称面反轴位置：六条相对棱中心连线反轴位置：六条相对棱中心连线对称轴位置：四个顶点和底面中心连线对称轴位置：四个顶点和底面中心连线材料科学基础材料科学基础三：对称要素的组合及对称型特点：一种晶体中对称元素可以有很多，但并不是无特点：一种晶体中对称元素可以有很多，但并不是无限多，要遵循一定的规律。限多，要遵循一定的规律。1、晶体外形上观察到的规则多面体是一种宏观有限、晶体外形上观察到的规则多面体是一种宏观有限的图形。五种对称轴，五种反轴。的图形。五种对称轴，五种反轴。2、在进行宏观对称操作时在晶体中至少有一点是不、在进行宏观对称操作时在晶体中至少有一点是不动的。为什么？动的。为什么？3、借助于一个对称元素进行操作时，不仅对称图形、借助于一个对称元素进行操作时，不仅对称图形各个相同部分会得到有规律的重复出现，就是与对称各个相同部分会得到有规律的重复出现，就是与对称图形的各个相等部分有着固定几何位置关系的各种几图形的各个相等部分有着固定几何位置关系的各种几何图像，也必定得到有规律的再现。何图像，也必定得到有规律的再现。材料科学基础材料科学基础对称型对称型（称型（classofsymmetry）宏宏观晶体中所有晶体中所有对称要素的集合。称要素的集合。对称型也称称型也称为点群点群（pointgroup）为何称作点群？为何称作点群？由于在由于在结晶多面体中，全部晶多面体中，全部对称要素相交于一点称要素相交于一点(晶晶体中心体中心)，在，在进行行对称操作称操作时至少有一点不移至少有一点不移动，因，因此此对称型也称称型也称为点群。点群。材料科学基础材料科学基础根据根据结晶多面体中可能存在的晶多面体中可能存在的对称要素及其称要素及其组合合规律，推律，推导出晶体中可能出出晶体中可能出现的的对称型共有称型共有32种。种。表示方法：圣富利斯符号（表示方法：圣富利斯符号（Shoenflies)和国际和国际符号符号其中高次其中高次轴不多于一个的不多于一个的组合（合（A类）共）共27种；种；其中高次其中高次轴多于一个的多于一个的组合合（B类）共）共5种种材料科学基础材料科学基础第三节第三节 晶体的对称分类晶体的对称分类材料科学基础材料科学基础材料科学基础材料科学基础NaCl晶格点阵 八面体空隙 六个面上中心的 Cl原子构成 对称要素：对称要素：3L44L36L29PC材料科学基础材料科学基础国际符号表示方法用三个对称要素的符号表示某一晶系，具体选取方向见下表选取原则：1）首先标记出对称面2）对称轴3）无上述元素用倒转轴，同时存在对称轴和与之垂直的对称面时，用分式表示 材料科学基础材料科学基础材料科学基础材料科学基础说 明在某一方位出现的对称轴或倒转轴是指与这一在某一方位出现的对称轴或倒转轴是指与这一个方向平行的对称轴或旋转轴个方向平行的对称轴或旋转轴在某一方向上出现的对称面是指与这一方向垂在某一方向上出现的对称面是指与这一方向垂直的对称面。直的对称面。同时出现对称轴和对称面，对称轴轴次放于分同时出现对称轴和对称面，对称轴轴次放于分子上，对称面放于分母上。如子上，对称面放于分母上。如表示在某一方向上有一六次对称轴和与之方向表示在某一方向上有一六次对称轴和与之方向垂直的对称面。垂直的对称面。材料科学基础材料科学基础六方晶系采用四轴定向六方晶系采用四轴定向举例：举例：单斜晶系：单斜晶系：L2PCI方向（方向（y轴）轴）有有L2P存在，第一位写作存在，第一位写作二三位二三位空，空，L2垂直于垂直于P可导出有可导出有C存在，故国际符号为存在，故国际符号为材料科学基础材料科学基础L66L27PCI方向：方向：（Z轴）轴）L6垂直于垂直于P写作：写作：II方向：方向：(X轴）轴）L2垂直于垂直于P，写作，写作III方向：方向：(X轴与轴与U轴的平分线），同样有轴的平分线），同样有L2垂直于垂直于P，写作写作国际符号：国际符号：材料科学基础材料科学基础根据晶体根据晶体对称的特点可以称的特点可以对晶体晶体进行合理的科学分行合理的科学分类。晶体分晶体分类体系：三大晶族、七大晶系、三十二晶体系：三大晶族、七大晶系、三十二晶类首先，把属于同一首先，把属于同一对称型的晶体称型的晶体归为一一类，称，称为晶晶类。晶体中存在。晶体中存在32对称型，亦即有称型，亦即有32晶晶类。根据是否有高次根据是否有高次轴以及有一个或多个高次以及有一个或多个高次轴，把，把32个个对称型称型归纳为低低（正交，单斜和三斜），（正交，单斜和三斜），中中(六方、六方、四方和三方）四方和三方）高高级(立方立方)三个晶族。三个晶族。材料科学基础材料科学基础晶体晶体高级晶族（高次轴多于一个）高级晶族（高次轴多于一个）中级晶族（高次轴只有一个）中级晶族（高次轴只有一个）六方晶系六方晶系(有一个有一个L L6 6或或L Li i6 6)四方晶系（有一个四方晶系（有一个L L4 4或或L Li i4 4）三方晶系三方晶系(有唯一的高次轴有唯一的高次轴L L3 3)低级晶族（无高次轴）低级晶族（无高次轴）斜方晶系斜方晶系(L L2 2或或P P多于一个多于一个)单单斜斜晶晶系系 (L L2 2或或P P不不多多于于一一个个)三斜晶系三斜晶系(无无L L2 2，无，无P P)立方晶系立方晶系材料科学基础材料科学基础材料科学基础材料科学基础第四节：第四节：晶体定向和结晶符号晶体定向和结晶符号如何表示空间点阵中的要素：结点、行列和面网？（a a）立方体和（）立方体和（b b）八面体）八面体 a ba b对称型均为对称型均为3L3L4 44L4L3 36L6L2 29PC9PC解析几何方法解析几何方法笛卡尔解析几何笛卡尔解析几何材料科学基础材料科学基础一、选择坐标系一、选择坐标系一般采用解析几何法，先选取合适的坐标系，一般采用解析几何法，先选取合适的坐标系，最好和晶体的对称性相一致，即以任一点最好和晶体的对称性相一致，即以任一点阵结点为坐标原点，以单位平行六面体三阵结点为坐标原点，以单位平行六面体三个互不平行的棱作为坐标系的坐标轴，以个互不平行的棱作为坐标系的坐标轴，以点阵常数点阵常数a、b、c作为轴单位。作为轴单位。材料科学基础材料科学基础坐标轴和轴角一般标为一般标为X、Y、Z或或a、b、c轴轴如图所示：如图所示：a、b、c:确定晶胞大小确定晶胞大小、:确定晶胞形状确定晶胞形状材料科学基础材料科学基础坐标系的选择选取原则：选取原则：1）首先选取坐标轴为晶轴，缺少对称轴则选对称面）首先选取坐标轴为晶轴，缺少对称轴则选对称面的法线为晶轴。的法线为晶轴。2）二者皆无选取平行于主要晶棱方向。）二者皆无选取平行于主要晶棱方向。等轴，四方斜方、单斜和三斜五个晶系选取近似于等轴，四方斜方、单斜和三斜五个晶系选取近似于垂直的三个轴。，三方和六方晶系因为特殊可以垂直的三个轴。，三方和六方晶系因为特殊可以选取四个轴。选取四个轴。材料科学基础材料科学基础不同晶系，对称不同，点阵常数不同，举不同晶系，对称不同，点阵常数不同，举例：例：立方晶系：和直角坐标系一致，立方晶系：和直角坐标系一致，90三斜晶系：三斜晶系：90材料科学基础材料科学基础轴单位轴单位：坐标轴上作为长度单位计量的线段。是行：坐标轴上作为长度单位计量的线段。是行列上的结点间距，实际上因为结点间距极小，需用列上的结点间距，实际上因为结点间距极小，需用衍射方法来确定，使用不便，实际上用相对长度。衍射方法来确定，使用不便，实际上用相对长度。三个坐标轴轴单位的连比称为轴率。三个坐标轴轴单位的连比称为轴率。只涉及方向问题，不涉及具体位置和大小。只涉及方向问题，不涉及具体位置和大小。轴角轴角：晶轴之间的夹角，晶系不同，轴角也不同。：晶轴之间的夹角，晶系不同，轴角也不同。轴单位和轴角一起称为晶体的几何常数轴单位和轴角一起称为晶体的几何常数注意：注意：几何常数 晶格常数 点阵常数是完全一样的。是完全一样的。轴单位的确定材料科学基础材料科学基础遵循整数定律：以平行于不共面晶棱直遵循整数定律：以平行于不共面晶棱直线为坐标轴，则晶体上任二晶面在三坐线为坐标轴，则晶体上任二晶面在三坐标轴上间距地比值为一简单整数比。标轴上间距地比值为一简单整数比。晶体常数：鉴定晶体的一个根据晶体常数：鉴定晶体的一个根据续材料科学基础材料科学基础各晶系的定向法则各晶系的定向法则材料科学基础材料科学基础三、结晶符号表示晶面、晶棱等在晶体方位上的表示晶面、晶棱等在晶体方位上的简单数字符号。简单数字符号。材料科学基础材料科学基础xyz000原始点阵结点坐标1 结点表示方法结点表示方法材料科学基础材料科学基础000体心点阵结点坐标材料科学基础材料科学基础xyz面心点阵结点材料科学基础材料科学基础晶面指数标定步骤如下：晶面指数标定步骤如下：1)确定参考坐标系；确定参考坐标系；2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；3)取各截距的倒数；取各截距的倒数；4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为号，即表示该晶面的指数，记为(hkl)。2、晶面指数、晶面指数(一般用米氏（W.H.Miller)符号)材料科学基础材料科学基础？1/x=3,1/y=3/2,1/z=1截距倒数截距倒数x=1/3,y=2/3,z=1截距截距互质整数互质整数6,3,2(632)晶面指数晶面指数74Chapter2 Structure of Materials材料科学基础材料科学基础注意：晶面符号中：指数为负时，表示交于轴的负方向，负号晶面符号中：指数为负时，表示交于轴的负方向，负号写于指数上方。写于指数上方。晶面在某坐标轴上的截据越大，则晶面符号中对应的晶晶面在某坐标轴上的截据越大，则晶面符号中对应的晶面指数越小，如果平行于某一坐标轴，则对应截据为无面指数越小，如果平行于某一坐标轴，则对应截据为无穷大，指数则为穷大，指数则为0。几组典型的晶面符号。几组典型的晶面符号。应该是(632)材料科学基础材料科学基础立方晶系常见晶面立方晶系常见晶面材料科学基础材料科学基础注意：注意：同样，一个晶面指数代表相互平行的一组晶面；同样，一个晶面指数代表相互平行的一组晶面；平行晶面的晶面指数相同，或数字相同，正负号相反；平行晶面的晶面指数相同，或数字相同，正负号相反；材料科学基础材料科学基础 在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定相互垂直。在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定相互垂直。XZY(221)221(111)111材料科学基础材料科学基础3、晶棱（晶向）表示法、晶棱（晶向）表示法定义：点阵中结点连线和平行于结点连线的方向定义：点阵中结点连线和平行于结点连线的方向晶向晶向方法：过原点作一与晶向平行的直线，将直线上方法：过原点作一与晶向平行的直线，将直线上任一点化为无公约数的整数任一点化为无公约数的整数uvw即可。即可。注意注意（1）对应指数绝对值相同而正负号相反的两个晶对应指数绝对值相同而正负号相反的两个晶对应指数绝对值相同而正负号相反的两个晶对应指数绝对值相同而正负号相反的两个晶棱符号表示同一晶棱符号。棱符号表示同一晶棱符号。棱符号表示同一晶棱符号。棱符号表示同一晶棱符号。（2）一个晶向指数代表相互平行、方向一致的所有）一个晶向指数代表相互平行、方向一致的所有晶向晶向（3 3）系数为）系数为）系数为）系数为0 0表示晶棱垂直于相应坐标轴表示晶棱垂直于相应坐标轴表示晶棱垂直于相应坐标轴表示晶棱垂直于相应坐标轴材料科学基础材料科学基础80A:110B:111C:晶向指数实例晶向指数实例Chapter2 Structure of Materials材料科学基础材料科学基础立方晶系一些重要晶向的晶向指数立方晶系一些重要晶向的晶向指数三个坐标轴的晶向指数其它常见晶向指数材料科学基础材料科学基础六方晶系坐标轴：六方晶系坐标轴：用用4 4个轴个轴a a1 1、a a2 2、a a3 3、c c 表示表示（即（即X X、Y Y、UU、Z Z轴）轴）确定六方晶系晶面指数步骤：确定六方晶系晶面指数步骤：晶面指数标定与三轴坐标系相同。晶面指数标定与三轴坐标系相同。六方晶系晶面指数六方晶系晶面指数(hkil)(hkil)特点特点 ：同一平面上的同一平面上的h h、k k、i i三个坐标数三个坐标数中有一个是不独立的中有一个是不独立的i=(h+k)i=(h+k)六方晶系六方晶系(三方）指数的标定三方）指数的标定1）晶面标定）晶面标定材料科学基础材料科学基础六方晶系一些晶面的指数六方晶系一些晶面的指数