偏导数的定义及其计算法说课讲解.ppt

8.2 偏 导 数一、偏导数的定义(dngy)及其计算法二、高阶偏导数(do sh)第一页，共18页。一、偏导数(do sh)的定义及其计算法 类似(li s)地,可定义函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数.v偏导数(do sh)的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 若极限存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作 第二页，共18页。一、偏导数的定义(dngy)及其计算法v偏导数(do sh)的定义 v偏导数(do sh)的符号 如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么f(x y)对x的偏导数是x、y的函数 这个函数称为函数zf(x y)对x的偏导函数(简称偏导数)记作v偏导函数第三页，共18页。一、偏导数的定义(dngy)及其计算法v偏导数(do sh)的定义 v偏导数(do sh)的符号 v偏导函数v偏导函数的符号 第四页，共18页。v偏导函数(hnsh)偏导数的概念(ginin)还可推广到二元以上的函数 例如 三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为其中(qzhng)(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 第五页，共18页。v偏导数(do sh)的求法v 求函数对一个自变量的偏导数(do sh)时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.v偏导函数(hnsh)讨论 下列求偏导数的方法是否(sh fu)正确？第六页，共18页。例1 求zx23xyy2在点(1,2)处的偏导数(do sh).解 例2 求zx2sin2y的偏导数(do sh).解 第七页，共18页。解 证 例3 例4 第八页，共18页。证 本例说明一个问题(wnt):偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)求证第九页，共18页。v偏导数的几何意义(yy)fx(x0 y0)f(x y0)x fy(x0 y0)f(x0 y)y zf(x y0)zf(x0 y)是截线z=f(x,y0)在点(x0,y0)处的切线(qixin)Tx对x轴的斜率.是截线z=f(x0,y)在点(x0,y0)处的切线(qixin)Ty对y轴的斜率.第十页，共18页。v偏导数的几何意义(yy)第十一页，共18页。v偏导数与连续(linx)性 v 对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续(linx).例如但函数(hnsh)在点(0,0)并不连续.在点(0 0)有fx(0 0)0 fy(0 0)0 提示(tsh)：提示：当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有 因此 函数f(x y)在(0 0)的极限不存在 当然也不连续 第十二页，共18页。二、高阶偏导数(do sh)v二阶偏导数(do sh)如果(rgu)函数zf(x,y)的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数zf(x,y)的二阶偏导数.函数zf(x,y)的二阶偏导数有四个:其中fxy(x y)、fyx(x y)称为混合偏导数 类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数第十三页，共18页。解 此例中两个混合偏导数(do sh)是相等的.第十四页，共18页。那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 定理 解 第十五页，共18页。证 例7 第十六页，共18页。证 例8 提示(tsh)第十七页，共18页。证 例8 第十八页，共18页。