专升本(高数—)第五章多元函数微积分学讲课讲稿.ppt

专升本专升本(高数高数)第五章多第五章多元函数微积分学元函数微积分学 第五章 多元函数微积分学(11年考了22分）第一节第一节 多元函数、极限和连续多元函数、极限和连续第三节第三节 二元函数的极值二元函数的极值第四节第四节 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分第五节第五节 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算第六节第六节 极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算第七节第七节 二重积分的应用二重积分的应用本讲出题在本讲出题在18分分26分之间，本讲内容是分之间，本讲内容是一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、填空题、解答题中出现。填空题、解答题中出现。本讲重点：本讲重点：（1）二元函数的偏导数和全微分。）二元函数的偏导数和全微分。（2）二元函数的有关极值问题及应用。）二元函数的有关极值问题及应用。（3）会计算二重积分）会计算二重积分建议重点复习前几年考过的试题，把握考建议重点复习前几年考过的试题，把握考试重心和知识点，重在模仿解题。试重心和知识点，重在模仿解题。考试点津：平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性偏导数在偏导数在经济上的应用经济上的应用多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数第一节第一节 多元函数、极限和连续多元函数、极限和连续 （一）多元函数（一）多元函数 1.二元函数、多元函数的定义二元函数、多元函数的定义图11.1-3设二元函数 z=f(X)=f(x,y),定义域为D.如图Dz=f(x,y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时(从任任何何方方向向,以任任何何方方式式),对应的函数值 f(X)无限接近于数 A,则称A为当X趋近于X0时f(X)的极限.MX0Ayzxof(X)1.二元函数的极限二元函数的极限图11.1-4多元函数的性质多元函数的性质（1）多元连续函数的和、差、积、商（若分母不）多元连续函数的和、差、积、商（若分母不为）都是连续函数；为）都是连续函数；（2）多元连续函数的复合函数都是连续函数；）多元连续函数的复合函数都是连续函数；（3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数的多元函数叫多元初等函数（4）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大上至少取得它的最大值和最小值各一次值和最小值各一次（5）介值定理）介值定理在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上取得两个不同的上取得两个不同的函数值，则它在函数值，则它在D D上取得介于这两值之间的任何值至少一次上取得介于这两值之间的任何值至少一次第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分例例2011年选择题、年选择题、4分分解解把把x看作常量，对看作常量，对y求导数，得求导数，得A.A.B.B.C.C.D.D.答案答案D练练练练相似度很高，好好练相似度很高，好好练2.2.偏导数的几何意义偏导数的几何意义设二元函数设二元函数在点在点有有如图如图,为曲面为曲面偏导数偏导数.上的一点上的一点,过点过点作作平面平面此平面此平面与曲面相交得一曲线与曲面相交得一曲线,曲线的曲线的方程为方程为由于偏导数由于偏导数等于一元函数等于一元函数的的导数导数故由故由一元函数导数的几何意义一元函数导数的几何意义可知可知:偏导数偏导数在几何上表示在几何上表示曲线曲线在点在点处的切线对处的切线对x轴轴的斜率的斜率;偏导数偏导数在几何上表示在几何上表示曲线曲线在点在点处的切线对处的切线对y轴轴的斜率的斜率.（二）（二）全微分全微分2.2.性质性质例例2011年选择题、年选择题、4分分解解把把x看作常量，对看作常量，对y求导数，得求导数，得A.A.B.B.C.C.D.D.答案答案C把把y看作常量，对看作常量，对x求导数，得求导数，得因此因此2010年填空、年填空、4分。练练看分。练练看2009年解答、年解答、8分。练练看分。练练看相似度很高，好好练相似度很高，好好练纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义2.二阶偏导数二阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为一般地一般地,多元函数的高阶混合偏导数如果连多元函数的高阶混合偏导数如果连续就与续就与求导次序无关求导次序无关.例例解解2011年填空、年填空、4分分先把先把y看作常量，对看作常量，对x求导数，得求导数，得再继续对再继续对 求求y的导数，得的导数，得（四）（四）复合函数求导法则复合函数求导法则（了解，没考过）（了解，没考过）以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.3.3.全微分形式不变性全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.隐函数的求导公式隐函数的求导公式（四）（四）隐函数微分法隐函数微分法（近四年没见考过）（近四年没见考过）第三节第三节 二元函数的极值二元函数的极值定义定义（了解即可，考到机会不大。近（了解即可，考到机会不大。近4年，就年，就2011年考了年考了很简单的填空题）很简单的填空题）二元函数取得极值的条件二元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点（2011年填空、年填空、4分）分）答案：答案：0解解第四节第四节 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质第五节第五节 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算第六节第六节 极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算第七节第七节 二重积分的应用二重积分的应用说明：说明：1 1、因为教学条件所限，该部分内容请观看、因为教学条件所限，该部分内容请观看高等数学二高等数学二重积分视频和幻灯片。重积分视频和幻灯片。2、二重积分的计算为必考题，出现在解答题中，分值、二重积分的计算为必考题，出现在解答题中，分值10分，大多数情况下考直角坐标系下的二重积分计算。分，大多数情况下考直角坐标系下的二重积分计算。3、重点掌握、重点掌握2011年和年和2010年考过的试题，掌握解题原理。年考过的试题，掌握解题原理。4 二重积分的计算：D是矩形区域 含“复习 2，图19：平行截面面积为已知的立体的体积”5 二重积分的计算：D是曲线梯形区域 6 二重积分计算的两种积分顺序3多元函数积分学概况12 曲顶柱体的体积789 10 将二重积分化成二次积分.D:x+y=1,xy=1，x=0所围11 将二重积分化成二次积分D:由四条直线:x=3，x=5,3x 2y+4=0,主 目 录(1 26)(1 26)与 3x 2y+1=0 共同围成的区域 16 利用极坐标计算二重积分 17 怎样用极坐标计算二重积分 (1)极点不在区域 D 的内部 18 怎样用极坐标计算二重积分 (2)极点位于区域 D 的内部 14（练习）将二重积分化成二次积分15 为什么引用极坐标计算二重积分19212012 将二重积分换序：13 将二重积分换序：.2223.25 将积分换序26 将积分化为极坐标形式24（按积分区域分类）（按积分区域分类）（按积分区域分类）（按积分区域分类）积分区域积分区域积分区域积分区域定积分定积分二重积分二重积分三重积分三重积分D曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分一型：对弧长一型：对弧长二型：对坐标二型：对坐标一型：对面积一型：对面积二型：对坐标二型：对坐标Stokes 公式公式高斯公式高斯公式格林公式格林公式1.多元函数积分学概况多元函数积分学概况推推 广广推推 广广推推 广广推推 广广x0z y DSS:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2 以平代曲以平代曲2.曲顶柱体的体积 ix0z yDS:z=f(x,y)3 积零为整积零为整2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2.曲顶柱体的体积.ix0z yDS:z=f(x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细 i2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2.曲顶柱体的体积.V=x0z yDS:z=f(x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2.曲顶柱体的体积.V=x0z yS:z=f(x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细V2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零.2.曲顶柱体的体积.V=0y x112x+y=1x+y 1由二重积分的性质由二重积分的性质更确切的更确切的I1 I23.比较大小4.二重积分的计算(D是矩形区域)复习22：平行截面面积为已知的立体的体积y0 xz yabcdDD是矩形区域是矩形区域 a,b;c,d z=f(x,y)y0 xz yabcdDD是矩形区域是矩形区域 a,b;c,d z=f(x,y)问题：问题：Q(y)是什么图形？是什么图形？Q(y)=是曲边梯形。是曲边梯形。.4.二重积分的计算二重积分的计算(D是矩形区域是矩形区域).I0 xz yyabcdD.Q(y)=I同理，也可以先对同理，也可以先对 y 积分积分.z=f(x,y)D是矩形区域是矩形区域 a,b;c,d 4.二重积分的计算二重积分的计算(D是矩形区域是矩形区域)0 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x (y)c y d 5.二重积分的计算（D是曲线梯形区域）0 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).y问题：问题：Q(y)是什么图形？是什么图形？D:(y)x (y)c y d也是曲边梯形也是曲边梯形!.Q(y)=I=5.5.二重积分的计算二重积分的计算（D是曲线梯形区域）是曲线梯形区域）.0 xz yx=(y)ycdD.D:(y)x (y)c y d.Q(y)=I=5.5.二重积分的计算二重积分的计算（D是曲线梯形区域）是曲线梯形区域）x=(y)z=f(x,y)D:x1(y)x x2(y)c y dI=0y x x2(y)x1(y)cdy 6.二重积分计算的两种积分顺序D0y xcdyD x2(y)x1(y)I=6.二重积分计算的两种积分顺序.D:x1(y)x x2(y)c y d0y xcdyDD:y1(x)y y2(x)a x b0y xI=ab y1(x)y2(x)D x2(y)x1(y)xI=6.二重积分计算的两种积分顺序.D:x1(y)x x2(y)c y d0y x0y xcdyDI=ab y1(x)y2(x)D x2(y)x1(y)x6.二重积分计算的两种积分顺序.I=D:x1(y)x x2(y)c y dD:y1(x)y y2(x)a x b0y x0y xcdyDI=ab y1(x)y2(x)D x2(y)x1(y)x6.二重积分计算的两种积分顺序.I=D:x1(y)x x2(y)c y dD:y1(x)y y2(x)a x b0y x113y=xx=y 2D.7.计算11y=x20y xD2 先对先对 y 积分（从下到上）积分（从下到上）1 画出区域画出区域 D 图形图形3 先对先对 x 积分（从左到右）积分（从左到右）.y=x.8.用两种顺序计算0y x D:x+y=1,x y=1，x=0 所围所围111先对先对 y 积分积分.y=1 xy=x 1.10.将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分0y xD:x+y=1,x y=1，x=0 所围所围111先对先对 y 积分积分.先对先对 x 积分积分D1D2.x=1 yx=y+1（不分块儿行吗？）（不分块儿行吗？）10.将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分.D:由四条直线由四条直线:x=3，x=5,3x 2y+4=0,3x 2y+1=0 共同围成的区域共同围成的区域.oxy35583x 2y+4=03x 2y+1=0D.D1D2D3先对先对y积分积分先对先对x积分积分.（需分块）（需分块）（需分块）（需分块）.（需分块）（需分块）（需分块）（需分块）11.将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分 D:.0y x11y=xy=x2.12.将二重积分换序D:.0y xaa.x=y13.将二重积分换序一一一一 先对先对先对先对x x积分积分积分积分yxoabDyxoabDyxoabD.14.(练习)将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分二二二二 先对先对先对先对 y y 积分积分积分积分yxoabyxoabyxoabDDD.14.(练习)将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分.15.为什么引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分21DD:.怎么计算？怎么计算？需使用需使用极坐标系！极坐标系！极坐标系！极坐标系！此题用直角系算麻烦此题用直角系算麻烦必须把必须把D分块儿分块儿!0y xD4D3D1D2极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素将将变换到变换到极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系0D用用坐标线坐标线坐标线坐标线:=常数常数；r r r r =常数常数常数常数 分割区域分割区域 D iriri+1.16.利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 i i i+iI=rir.17.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)(1)极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 0ABFE DD:rr17.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)(1)0ABFE DD:.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r17.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)(1)0ABFE DD:.步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r,上、下限；上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 0 DrD:18.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2)(2)r D:D018.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2)(2).极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r D:.D0 步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r,上、下限；上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd 18.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2)(2).极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r0y x2a.解解19.此题用直角系算麻烦，此题用直角系算麻烦，需使用需使用极坐标系！极坐标系！极坐标系！极坐标系！21D0y xD:变换到变换到极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系.20.计算计算D:1 r 2 0 2 2R区域区域边界：边界：x=0.0y x 即即 r=2Rsin r=2Rsin 21.0y x12 y=xD.22.0y x4r=4 cos r=8 cos 8D 1 223.计算计算y=2xx=y0y xr=8 cos D48.r=4 cos 2 123.计算计算I=.24.I=不分块儿行吗？不分块儿行吗？解：解：不行！不行！2r=2 cos y xo1D.0y x2a2a25.将积分换序aD:解解0 x 2aD1D2D3.还有别的方法吗？还有别的方法吗？0y x2a2aaD:解解0 x 2aD1D2.25.将积分换序.注：注：这种方法要求这种方法要求 f(x,y)在在D2上有定义以至连续上有定义以至连续26.将积分化为极坐标形式r=Ry=R xD1D2.R0y xD.arctanR.I=I=xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体.aV复习2222 图19：平行截面面积为已知的立体的体积b返回原页2011年解答题、年解答题、10分分解解x y y=xy=x y=0y=0 1 1 极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算相似度很高，好好练相似度很高，好好练2010年解答题、年解答题、10分分解解x y y=0y=0 1 1 （1 1，1 1）0 0 该题先对该题先对y积分，再对积分，再对x积分，积分，请改变积分顺序，换种方法练练请改变积分顺序，换种方法练练直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算相似度很高，好好练相似度很高，好好练结束结束