2.2.1-2.2.2 直线与平面,平面与平面平行的判定定理-悠.ppt

2.2.1 直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理1.空间直线与平面的位置关系有哪几种空间直线与平面的位置关系有哪几种?2.如何判定一条直线和一个平面平行呢？如何判定一条直线和一个平面平行呢？直线直线a在平面在平面 内内a 复习引入复习引入直线直线a与平面与平面 相交相交a A直线直线a与平面与平面 平行平行a 将课本的一边将课本的一边AB紧靠桌面，并绕紧靠桌面，并绕AB转动，观察转动，观察AB的对的对边边CD在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？从中你能得出什么结论？从中你能得出什么结论？ABCDCD是桌面外一条直线，是桌面外一条直线，AB是桌面内一是桌面内一条直线，条直线，若若CDAB，则，则CD桌面桌面.直线直线AB、CD与桌面分别是什么位置关系呢？与桌面分别是什么位置关系呢？猜想猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行那么这条直线和这个平面平行.观察观察:若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行.(2)该定理作用：该定理作用：“线线平行线线平行线面平行线面平行”空间问题空间问题“平面平面化化”即即1.直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理ab(1)用该定理判断直线用该定理判断直线a和平面和平面平行，须具备三个条件：平行，须具备三个条件：“面外、面内、平行面外、面内、平行”(3)应用该定理，关键是在平面应用该定理，关键是在平面内找到一条直线与已知直线内找到一条直线与已知直线a平行平行.已知已知:空间四边形空间四边形ABCD中，中，E、F分别是分别是AB、AD的中点的中点.求证求证:EF/平面平面BCD.分析：分析：EF在面在面BCD外，要证明外，要证明EF面面BCD，只要只要证明证明EF和面和面BCD内一条直线平行即可内一条直线平行即可.AEFBDCEF和面和面BCD哪一条直线平行呢？哪一条直线平行呢？直线直线BD例例求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面另外两边的平面.在在ABD中，中，E、F分别是分别是AB、AD的中点的中点证明：证明：EFBDEF平面平面BCDBD平面平面BCD又又EF平面平面BCD，连接连接BD，三角形的中位线是常三角形的中位线是常用的找平行线的方法用的找平行线的方法.1.如图，如图，四面体四面体ABCD中，中，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，AD的中点的中点.BCADEFGH(3)你能说出图中满足线面平行位置关系你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？的所有情况吗？(1)E、F、G、H四点是否共面？四点是否共面？(2)试判断试判断AC与平面与平面EFGH的位置关系；的位置关系；练习练习解：解：(1)E、F、G、H四点共面四点共面.在在ABD中，中，E、H分别是分别是AB、AD的中点的中点.EHBD且且同理同理GFBD且且EHGF且且EHGFE、F、G、H四点共面四点共面.(2)AC平面平面EFGH解解:（3）由）由EFHGAC，得，得EF平面平面ACD，AC平面平面EFGH，HG平面平面ABC.由由BDEHFG，得，得BD平面平面EFGH，EH平面平面BCD，FG平面平面ABD.BCADEFGH1.如图，如图，四面体四面体ABCD中，中，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，AD的中点的中点.(3)你能说出图中满足线面平行位置关系你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？的所有情况吗？(1)E、F、G、H四点是否共面？四点是否共面？(2)试判断试判断AC与平面与平面EFGH的位置关系；的位置关系；（1）平行）平行（2）相交）相交1.平面与平面有几种位置关系？平面与平面有几种位置关系？没有公共点没有公共点有一条公共直线有一条公共直线复习引入复习引入问问1：两个平面平行，那么其中一个平面的直线与另一：两个平面平行，那么其中一个平面的直线与另一个平面的位置关系如何个平面的位置关系如何?平行平行问问2：如果一个平面内的所有直线，都与另一个平面：如果一个平面内的所有直线，都与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系如何平行，那么这两个平面的位置关系如何?平行平行结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题个平面平行的问题.当然我们不需要证明所有直线都与另一平面平行，那当然我们不需要证明所有直线都与另一平面平行，那么么需要几条直线需要几条直线才能说明问题呢？才能说明问题呢？复习引入复习引入2.问题：还可以怎样判定平面与平面平行呢？问题：还可以怎样判定平面与平面平行呢？（两平面平行）（两平面平行）（两平面相交）（两平面相交）l探究探究（两平面平行）（两平面平行）（两平面相交）（两平面相交）lEF直线的条数不是直线的条数不是关键关键!探究探究直线相交才是关键！直线相交才是关键！探究探究线不在多，线不在多，重在相交！重在相交！2.平面与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理若一个平面内若一个平面内两条相交直线两条相交直线分别平行于另一个平面，分别平行于另一个平面，则这两个平面平行则这两个平面平行.(1)该定理中，该定理中，“两条两条”，“相交相交”都是必要条件，缺一不可：都是必要条件，缺一不可：(2)该定理作用：该定理作用：“线面平行线面平行面面平行面面平行”(3)应用该定理，关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一应用该定理，关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一平面内两条直线平行即可平面内两条直线平行即可.线线平行线线平行线线平行线线平行线面平行线面平行线面平行线面平行面面平行面面平行面面平行面面平行证明：证明：因为因为ABCDA1B1C1D1为正方体，为正方体，所以所以D1C1A1B1，D1C1A1B1又又ABA1B1，ABA1B1，D1C1AB，D1C1AB，D1C1BA是平行四边形，是平行四边形，D1AC1B，又又因为因为D1A平面平面C1BD，CB平面平面C1BD.由直线与平面平行的判定由直线与平面平行的判定，可知可知同理同理D1B1平面平面C1BD.又又D1AD1B1=D1，所以，平面所以，平面ABAB1 1D D1 1平平面面C C1 1BD.BD.D1A平面平面C1BD，平行四边形对边平行是平行四边形对边平行是常用的找平行线的方法常用的找平行线的方法.练练2:正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，若中，若M、N、P、Q分别是棱分别是棱A1D1，A1B1，BC，CD的中点，求证：平面的中点，求证：平面AMN/平面平面C1QP.ABCA1B1C1D1DMNEF练练1:正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，若中，若M、N、E、F分别是棱分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证的中点，求证:平面平面AMN/平面平面EFDB.K变式变式练习练习证明：证明：如图，连接如图，连接BD1，在在DBD1中，中，EF为三角形中位线，为三角形中位线，所以所以EF/BD1，又又EF平面平面ABC1D1，BD1平面平面ABC1D1所以所以BD1/平面平面ABC1D1例例如图，在棱长为如图，在棱长为2的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E，F分别为分别为DD1，DB的中点的中点.求证：求证：EF/平面平面ABC1D1.解：解：直线直线BD1/平面平面AEC，证明如下证明如下:如图，连接如图，连接BD交交AC于于O，再连接，再连接OE在在DBD1中，中，OE为三角形中位线，为三角形中位线，所以所以OE/BD1，又又BD1平面平面AEC，OE平面平面AEC，故故BD1/平面平面AEC.P562如图，在长方体如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E为为DD1的的中点中点.试判断试判断BD1与平面与平面AEC的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由.O注意：在直观图中，线段平行关系不变，可利用此特性先直观注意：在直观图中，线段平行关系不变，可利用此特性先直观地找出平行线的可能所在地找出平行线的可能所在.练习练习如图，已知如图，已知P、Q是边长为是边长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1的面的面AA1DD1,面面ABCD的中心的中心.求证求证PQ/平面平面AA1B1B,并求线段的并求线段的PQ长长.解解:（1）连接连接AB1，在，在AB1D1中，中，显然显然P，Q分别是分别是AD1，D1B1的中点，的中点，所以，所以，PQ/AB1，且，且PQ=CD1又因为又因为PQ平面平面AA1B1BCD1平面平面AA1B1B所以所以PQ/平面平面AA1B1B（2）AB1=，PQ=问：问：PQ/平面平面DD1C1C？PQ/C1D练习练习C1ACB1BMNA1F证明：证明：取取A1C1中点中点F，连结，连结NF，FCN为为A1B1中点，中点，M是是BC的中点，的中点，NFCM为平行四边形，为平行四边形，故故MNCFB1C1NF又又BCB1C1，即即MCNFMN平面平面AA1C1C.例例如图，三棱柱如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，中，M、N分别是分别是BC和和A1B1的中点，求证：的中点，求证：MN平面平面AA1C1CMCB1C1练习练习练练1：三棱柱：三棱柱ABC-A1B1C1中，中，E是是AC1上的点，上的点，F是是CB1上的中点，上的中点，求证：求证：A1B/平面平面ADC1.法一：线面平行判定定理法一：线面平行判定定理连接连接BC1，则，则DE为为ABC1中位线，中位线，所以所以EF/AB,又又EF平面平面ABC，AB平面平面ABC，故故EF/平面平面ABC.法二：由面面平行判定线面平行法二：由面面平行判定线面平行取取CC1的中点的中点G，连接，连接GE和和GF，则则GE为为ACC1中位线，中位线，所以所以GE/AC,又又GE平面平面ABC，AC平面平面ABC，故故GE/平面平面ABC.G同理可证同理可证GF/GF/平面平面ABC.ABC.又又GEGF=G，所以面，所以面GEF/面面ABC.解：解：依题意点依题意点D为边为边BC的中点的中点.连接连接A1C交交AC1于于E，连接，连接DE.在在ADC1中，中，DE为三角形中位线，为三角形中位线，所以所以DE/A1B,又又DE平面平面ADC1，A1B平面平面ADC1故故A1B/平面平面ADC1练练2：在三棱柱：在三棱柱ABC-A1B1C1中，中，ABC为正三角形，为正三角形，D是是BC上的点，若上的点，若ADBC，求证：，求证：A1B/平面平面ADC1.E练习练习例例如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，M，N分别是分别是AB，PC的中点的中点,求证：求证：MN/平面平面PAD.HG法二：法二：取取DC的中点的中点G，连接，连接GN，GM，往证面往证面GMN/面面PAD即可即可.证明：证明：取取PD的中点的中点H，连接，连接HN，AH，在三角形在三角形PDC中，中，HN为三角形中位线，为三角形中位线，所以所以HN/DC且且HN=DC又因为底面为正方形，且又因为底面为正方形，且M为为AB中点，中点，所以所以AM/DC且且AM=DCAM/HN且且AM=HN即即AMNH为平行四边形，故为平行四边形，故MN/AH又又AH平面平面PAD，MN平面平面PAD，故故MN/平面平面PAD.练：如图，四棱锥练：如图，四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PAD是正是正三角形，三角形，E，F分别是分别是PC，BD的中点，求证：的中点，求证：EF/平面平面PAD.证明：证明：分别取分别取PD，AD的中点的中点G，H，连接，连接GE，HF，GH在在PDC中，中，GE为三角形中位线，为三角形中位线，所以所以GE/DC且且GE=DC同理，同理，HF/AB且且HF=AB又又底面为正方形，底面为正方形，AM/DC且且AM=DCGE/HF且且GE=HF即即HFEG为平行四边形，故为平行四边形，故EF/GH又又GH平面平面PAD，EF平面平面PAD，故故EF/平面平面PAD.GH练习练习例例如图，点如图，点B为为ACD所在平面外一点，所在平面外一点，M，N分别为分别为ABC，ABD的重心的重心.(1)求证：求证：MN/平面平面ACD.(2)若底面边长为若底面边长为1为正三角形，求线段的为正三角形，求线段的MN的长度的长度.解解:(1)分别分别连接连接BM，BF交交AC，AD于点于点E，F.因为因为M，N分别为对应三角形的重心，分别为对应三角形的重心，故故E，F为相应边的中点，且有为相应边的中点，且有BM:ME=2:1，BN:NF=2:1MN/EF且且MN=EF.又因为又因为MN平面平面ACD，EF平面平面ACD所以所以MN/平面平面ACD.EF(2)又因为在又因为在ACD中，中，EF是三角形的中位线，是三角形的中位线，所以，所以，EF/CD且且EF=CD.MN=，CD=线段成比例也是常用线段成比例也是常用的找平行线的方法的找平行线的方法.练练如图点如图点B为为ACD所在平面外一点，所在平面外一点，M，N，G分别为分别为ABC，ABD，BCD的重心的重心.(1)求证：平面求证：平面MNG/平面平面ACD.(2)求求的值的值.EFH同理，同理，连接连接BG交交CD于中点于中点H，可证，可证NG/平面平面ACD且且NG=FH.又因为又因为MNNG=N，所以面，所以面MNG/面面ACD.练习练习解解:(1)分别分别连接连接BM，BF交交AC，AD于点于点E，F.因为因为M，N分别为对应三角形的重心，分别为对应三角形的重心，故故E，F为相应边的中点，且有为相应边的中点，且有BM:ME=2:1，BN:NF=2:1MN/EF且且MN=EF.又因为又因为MN平面平面ACD，EF平面平面ACD所以所以MN/平面平面ACD.同理可证明同理可证明NG=AC且且NG/AC，MG=AD且且NG/AD练练如图点如图点B为为ACD所在平面外一点，所在平面外一点，M，N，G分别为分别为ABC，ABD，BCD的重心的重心.(1)求证：平面求证：平面MNG/平面平面ACD.(2)求求的值的值.练习练习EFH解：解：(2)因为因为EF是是ACD的中位线，的中位线，所以，所以，EF/CD且且EF=CD.由由(1)知知MN=EF.MN=CD且且MN/CD练练1：如图在正方体：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点中，点E在在AB1上，上，F在在BD上，上，B1E=BF，求证：，求证：EF/平面平面BB1C1C.解解:（1 1）连接连接AFAF交交BCBC于点，再连接于点，再连接B B1 1K K，K又因为又因为EF平面平面BB1C1CB1K平面平面BB1C1C所以所以EF/平面平面BB1C1C练习练习练练2：P是长方形是长方形ABCD所在平面外的一点，所在平面外的一点，AB、PD两点两点M、N满足满足AM：MB=ND：NP.求证：求证：MN平面平面PBC.PNMDCBAE练习练习过过M作作ME/AD交交BD于点于点E，连接，连接EN2.线面平行判定定理线面平行判定定理应用应用时应注意时应注意:“面外，面内，平行面外，面内，平行”；面面平行判定定理判定面面平行判定定理判定应用应用时应注意时应注意:“两条，相交两条，相交”；小结：小结：1.直线与平面平行的判定以及平面和平面平行的判定：直线与平面平行的判定以及平面和平面平行的判定：(1)运用定义；运用定义；(2)运用判定定理：运用判定定理：线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行3.应用应用判定定理判定线面平行的关键是判定定理判定线面平行的关键是找平行线找平行线方法一：三角形的中位线定理；方法一：三角形的中位线定理；方法二：平行四边形的平行关系方法二：平行四边形的平行关系.方法三：线段成比例方法三：线段成比例.作业：作业：P562+P581/2/3+P623/7/8(1)与直线与直线AB平行的平面是平行的平面是:(2)与直线与直线AD平行的平面是平行的平面是:(3)与直线与直线AA1 平行的平面是平行的平面是:平面平面A1C1 和和 平面平面 DC1 平面平面BC1 和和 平面平面A1C1 平面平面BC1 和和 平面平面 DC1 2、判断说法是否正确、判断说法是否正确:(1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行.(2)过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行.(3)如果一直线与平面平行，则它与该平面内的任何直线平行如果一直线与平面平行，则它与该平面内的任何直线平行.1 1、如图，在长方体的六个面中，、如图，在长方体的六个面中，CD 面面CD1,AB平面平面CD1ABCD,AB 面面CD1,因为平行四边形对边平行因为平行四边形对边平行3.判断下列命题是否正确，并说明理由判断下列命题是否正确，并说明理由（1）若平面）若平面 内的两条直线分别与平面内的两条直线分别与平面 平行，则平行，则 与与 平行；平行；（2）若平面）若平面 内有无数条直线分别与平面内有无数条直线分别与平面 平行，则平行，则 与与 平行；平行；（3）如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面）如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行那么这两个平面平行；（4）平行于同一直线的两个平面平行；）平行于同一直线的两个平面平行；（5）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 行；行；（6）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面行的平面P581、3证明：假设证明：假设c.则则c，ca，a，a与与c没有交点，没有交点，又因为直线又因为直线a和和c共面于面共面于面，而而ac.同理同理bc.于是在平面于是在平面内过点内过点P有两条相交直线与有两条相交直线与c平行，平行，这与平行公理矛盾，假设不成立这与平行公理矛盾，假设不成立.acbbackbackAD1DCBA1B1C1